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B05 南通市2017届高三数学第一次模拟考试数学试题

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江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(5)有答案

江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(5)有答案

（第9题）F EDCBA(第4题)2017年高考模拟试卷（5） 南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{1,2,3},{2,3,6}A B ==，则AB = ．2． 若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是 ． 3. 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组． 若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组 抽取的号码为 ．4. 如图是一个算法流程图，若输入n 的值是6，则输出S 的值是 ．5． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个球的概率为 ． 6． 设x ∈R ，则“2log 1x <”是“220x x --<”的条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．7． 已知圆22(1)4x y ++=与抛物线22y px =（0p >）的准线交于A 、B 两点，且AB =则p 的值为 ．8． 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，7193()S a a =+，则54a a 的值为 ． 9． 如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积 为 ．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ．12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO +=，||||AB AO =，则CA CB ⋅= ．13．设a b c ，，是三个正实数，且()a a b c bc ++=，则a b c+的最大值为 ．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B ＝π4．（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．(本小题满分14分)某市2016年新建住房面积为500万m 2，其中安置房面积为200万m 2.计划以后每年新建住房 面积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万m 2. 记2016年为第1年. （1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18．(本小题满分16分)已知椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，点A ，B 分别为其左、右顶点，点12,F F 分别为其左、右焦点，以点A 为圆心1AF 为半径作圆A ，以点B 为圆心OB 为半径作圆B ．若直线l ：y =被圆A 和圆B ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知a =7，问在x 轴上是否存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，若存在，请求出所有点P（第16题）（第21—A 题）19．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x f x x k =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）． （1）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）①若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求k 的取值范围；②若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．20．(本小题满分16分)给定数列{}n a ，记该数列前i 项12i a a a ，，，中的最大项为i A ，该数列后n i -项 12i i n a a a ++，，，中的最小项为i B ，i i i d A B =-（1231i n =-，，，，）． （1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的123d d d ，，；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n ∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中0λ>且1λ≠． ① 设23(1)n n b a λ=+-，判定数列{}n b 是否为等比数列；② 若数列{}n a 对应的i d 满足：1i i d d +>对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立， 求λ的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．B ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.C ．选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且曲线C上的点M 对应的参数π3ϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若12π(,)(,)2A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．D ．选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求12a ＋1＋2b ＋1 的最小值．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点. （1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n ＝(a ＋b 2)n ．（1）证明：A 2＞B 2；题图BCD A 1 B 1C 1第22题图（2）比较A n 与B n （n ∈N*）的大小，并给出证明．2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．29． 6．充分不必要． 7．4． 8．76． 9．10．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα ． 10．76π．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为31()()3f f αβ==()()3π222332αβππ+++=⨯，所以76αβπ+=．11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点． 12．12．由2AB AC AO +=可得OB OC +=0，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,36B C BC AC ====12CA CB ⋅=．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a==，则1x y xy ++=，1ab c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c+．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上 任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a ax '=-≤，即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，所以142a -≤≤．二、解答题 15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以a ＝3（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B＝2，即tan B ＝2，因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 所以EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD . (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 所以DE ⊥平面P AC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE . 17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m 2，则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2.（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =.答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. ·····14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ，由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112a AA BB ==，因为圆A 以1AF 为半径，所以半径为c ，被直线l截得的弦长为圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l截得的弦长为因为直线l：y =被圆A 和圆B，==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）.因为c e a =，所以所求的离心率为34,（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-,直线截圆A所得的弦长为, 直线截圆B所得的弦长为34==,化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），由（1）离心率为34，得22169c a =，即方程（*）为0)1)(49(002=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(-；当10-=x 时，||6||8k k⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<，当490-=x 时，||42||56k k⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<,即有无数条直线；故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值． （ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值． （2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<， 因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41e xxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex x g x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，故2max228e 8()(2)1e e g x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知，0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，此时2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e，2()e()()e e kx xx k h x x k -'=--22()()k xxx k --=e e e ，∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ， 故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ． 20．解：（1）111312A B d ===，，；222413A B d ===，，；333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+，两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 所以11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦．……………………………6分因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--， 所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n bb λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分② 由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--．……………………………………………………………10分又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=-，，，，，，， {}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=-，，，，，，．由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++，，，≤，，，，所以由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +<，，，，，，．所以{}1211max i i a a a a ++=，，，对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立，即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠．………………12分因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，所以1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．综上所述，λ的取值范围是()113，． ……………………………………………………16分第II 卷（附加题，共40分）21A ．证：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． …………………… 10分21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分所以曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|x |+3|y |=1， 所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= .……10分21C ．解：（1）将M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 3sin 3a b ππ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=. ……4分 （2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入 得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=. ……10分21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，从而(12a ＋1＋2b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2≥5＋22b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋2＝9． …………………… 6分 所以12a ＋1＋2b ＋1≥95．当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23 时，12a ＋1＋2b ＋1取得最小值95． …………………… 10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，……………………………………………………2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以111111335cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅， 所以直线1DB 与平面11A C D ；…………………………………5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅，二面角111B A D C --13010分 23．（1）证明：0)(121)2()(31222222>-=+-++=-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；,)2(,11,311nn n n n b a B b a b a n A n +=--+=≥++令,,y b a x b a =-=+且0,>y x ，于是,)2(],)()[()1(21)2()2(1111111n n n n n n n n x B y x y x y n y y x y x n A =--++=--++=+++++ 因为y x C y x C y x C y x y x nn n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ， 所以n n n n nn n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2(22)1(21111．。

2017届南通高三一模数学试卷

2017届南通高三一模数学试卷

2017届高三一模考试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为_________。

2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。

3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。

4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。

摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为___________。

5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。

6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为______。

7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。

8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______________。

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。

11．在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为___________。

12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。

若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为______________。

13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为__________。

南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷 含答案

南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷 含答案

20XX 年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 若集合2{|11},{|20}M x x N x x x =-≤≤=-≤，则MN = ▲ ．2． 已知复数(2)z i i =--，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限.3． 某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4． 双曲线22132x y -=的离心率为 ▲ ．5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ．7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．8． 在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9． 若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e xf -<)(的解集为 ▲ ．10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅= ▲ ．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13． 设实数1m ≥，不等式||2x x m m -≥-对[1,3]x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．yAB 14．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值：(2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求以||a 、||b 为边，夹角为θ的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分）如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为圆弧TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR ..（1）设PAB θ∠=,试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； （2）求停车场PQCR 面积的最大值及最小值. .18．(本小题满分14分）如图，点A （1，3）为椭圆1222=+ny x 上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B 、C 两点. （1）求椭圆方程;（2）若直线AB 、AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形.()i 求直线BC 的斜率；()ii 求△ABC 的面积最大值，并求出此时直线BC 的方程.19．(本小题满分16分）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn.（1）若12k =，且20172017S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1,2n k S =-求.20．(本小题满分16分）已知函数'()ln ,()f x x a x f x =+为()f x 的导数，()f x 有两个零点1212,,()x x x x < ，且1202x x x +=.（1）当3a =-时，求 ()f x 的单调区间；（2）证明：'0()0f x > ；（3）证明：02(,),t x x ∃∈使得'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）O E D C B A21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）.求证：∠CBE =∠BDE ．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a A 203，A 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-10311b A （1）求a,b 的值；（2）求A 的特征值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知x,y,z 都是正数且xyz =8,求证：(2+x )(2+y )(2+z )≥64【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．23．对于给定的大于1的正整数n ，设2012n n x a a n a n a n =++++，其中i a ∈{0,1,2,,1n -}，1,2,,0,,1i n n =-，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为A n .（1）求A 2（2）设n A =(1)()2n n n f n -，求f （n ）.20XX 年高考模拟试卷(2)参考答案一、填空题1．[]0,1 2．四 3．16 4/3 5．286． 4/5. 1—（2222C C +）/25C =4/5 .7．3.圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高，故V=3. 8． 64. 先得公比q 2=4,知7a =64 .9． (,-∞-e). 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) . 10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键） 11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得2sin()0,,,66x x k k Z πππππ+=+=∈则15((66M N -，故OM ON ⋅=158((669-⋅12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为12d d ==12l l ==弦长之比得231030k k -+=，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.13．7(1,2][,)2+∞.（1）当12m≤≤时，不等式显然成立；（2）当3m≥时，由1(1)32(2)3m mm m-≥-⎧⎨-≥-⎩得72m≥；（3）当23m<<时，由02m≥-得m<2, 矛盾，综上，7[1,2][,)2m∈+∞..切化弦得22232()c a b=+，222221cos263a b c a bCab ab+-+==≥，于是知sinC的最大二、解答题15．(1)因为⊥a b，所以=0⋅a b，所以π2sin sin03θθ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即5sin cos022θθ+=．因为cos0θ≠，所以tan5θ=-．(2)由a∥b，得π2sin sin13θθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2ππ2sin cos2sin cos sin133θθθ+=，即()11cos2212θθ-+=，整理得，π1sin262θ⎛⎫-=⎪⎝⎭又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以ππ266θ-=，即π6θ=．所以三角形的面积1sin302=16．（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC平面ABC BC=，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB，且PB AB B=，,AB PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．APBDxyAB CO又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ． 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ， 所以l //平面PBC ．17.(1)S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ）＝8100sin θcos θ－9000（sin θ＋cos θ）＋10000 , θ∈[0，2π]. （2）由（1）知S P Q C R ＝f （θ）＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000 ,θ∈[0，2π] .令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）.答:停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－90002 （m 2）和950（m 2）.18． (1)把点A （1，3）代入1222=+n y x 得n ＝6，故椭圆方程为22126x y +=. （2）（i ）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为1k 、2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-162)1(3221y x x k y得点B 的横坐标为33261211++-=k k x （1=x 为点A 的横坐标）， ∴点B 的纵坐标为3632321121++-=k k k y ，即)36323,33261(21121211++-++-k k k k k B .同理可得点C 的坐标为)36323,33261(22222222++-++-k k k k k C∵ 021=+k k ,∴ 直线BC 的斜率为3=BC k .(ii)设直线BC 的方程为m x y +=3，代入方程16222=+y x 得0632622=-++m mx x ，∴ 212332||m BC -=又点A 到直线BC 的距离为2||m d =∴ 36)6(63)12(63||212222+--=-=⋅=m m m d BC S ∴ 当62=m ，即6=m 或6-=m 时，△ABC 面积取得最大值为3.此时，直线BC 的方程为63±=x y .19．⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，故12017201720172016(1)2a a =+⨯⨯-，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-,1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式，综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．20．(1) '3()3ln ,()x f x x x f x x-=-=，可得f (x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+∞）. (2) 设2(1)()ln (1)1x x x x x ϕ-=->+，可证此函数在（1，+∞）是增函数，且(1)0ϕ>，令211x x x =>，代入得到211221ln ln 2x x x xx x -+<-， 而由21112221ln ,ln ln ln x x x a x x a x a x x -=-=-⇒=-->122x x +-,故有12''12012122()22()()1102x x x x af x f x x x x +-+==+>+=++. (3)令2200()ln()x G x x x x x =--，'2020(,),()ln 0,xx x x G x x ∈=>G(x)是增函数，D令201x t x =>，则有0022()[ln (1)]01()[ln (10G x x t t G x x t t =--<⎧⎪⎨=-->⎪⎩（用到lnx<x-1）, 由零点定理知，存在02(,),()0t x x G t ∈=， 即20202020ln ln ln ln 111x x x x aa tx x t x x --=⇔+=+--即'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.A .因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， 又CA CB =， 所以2CB CE CD =⋅， 即CB CDCE CB=， 又BCD BCD ∠=∠， 所以BCE ∽DCB ， 所以∠CBE =∠BDE ．B ．（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎡⎦⎤1001． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． （2）由（1）得A ＝⎣⎡⎦⎤3021， 则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．C ．（1）⊙M ：227(()42x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)2,(2,2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()122x y -+-=（2）PQ =MN -3=431-=.D ．因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ．同理 2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ．（5分）所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22222288x y z xyz = 因为xyz ＝8， 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64．22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率： p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=， P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 PEξ==1．23．⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22． ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -,n a 的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， 当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法， 故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n nn nn ----++++--⋅=⋅；当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅；所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n nn +---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-．。

江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷 有答案

江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷 有答案

2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA 与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1，+1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m ∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c 的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos （2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f（0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tan，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tan+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cos]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，）因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣，h′（x）=﹣=，所以h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x）=，令h′（x）=0，即x2﹣2（a﹣1）x+1=0，△=4（a﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a≤2，此时△≤0，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（0，+∞）单调递增；②若a ＞2，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＞0，所以h （x ）在（0，a ﹣1﹣）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减，在（a ﹣1+，+∞）上单调递增；③若a ＜0，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＜0，所以h （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a ≤2，h （x ）在（0，+∞）单调递增，若a ＞2，h （x ）在（0，a ﹣1﹣），（a ﹣1+，+∞）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx ＞在（1，+∞）恒成立，所以f （x +1）=ln （x +1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2，φ′′（x ）=2e x ﹣2， 易知φ″（x ）＞0在（0，+∞）恒成立， 所以φ′（x ）在（0，+∞）单调递增， 所以φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2＞φ′（0）=0， 所以φ（x ）在（0，+∞）单调递增， 所以φ（x ）＞φ（0）=0，所以＞，即当x ＞0时，f （x +1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣（﹣1）n ，n ∈N *．（1）在数列{a n }中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n }中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r 、s ，使得a 1、a r 、a s 成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(5)

江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(5)

（第9题）F EDCBA(第4题)2017年高考模拟试卷（5）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 设集合{1,2,3},{2,3,6}A B ==，则A B = ▲ ． 2． 若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是 ▲ ． 3. 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组． 若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组 抽取的号码为 ▲ ．4. 如图是一个算法流程图，若输入n 的值是6，则输出S 的值是 ▲ ．5． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 6． 设x ∈R ，则“2log 1x <”是“220x x --<”的 ▲条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 7． 已知圆22(1)4x y ++=与抛物线22y px =（0p >）的准线交于A 、B 两点，且AB =则p 的值为 ▲ ．8． 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，7193()S a a =+，则54a a 的值为 ▲ ． 9． 如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积 为 ▲ ．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO += ，||||AB AO =，则CA CB ⋅=▲ ．13．设a b c ，，是三个正实数，且()a a b c bc ++=，则a b c +的最大值为 ▲ ．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B ＝π4．（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．(本小题满分14分)某市2016年新建住房面积为500万m 2，其中安置房面积为200万m 2.计划以后每年新建住房面积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万m 2. 记2016年为第1年.（第16题）（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18．(本小题满分16分)已知椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，点A ，B 分别为其左、右顶点，点12,F F 分别为其左、右焦点，以点A 为圆心1AF 为半径作圆A ，以点B 为圆心OB 为半径作圆B ．若直线l：y x =被圆A 和圆B．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知a =7，问在x 轴上是否存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x f x x k =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）． （1）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）①若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求k 的取值范围；②若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．20．(本小题满分16分)给定数列{}n a ，记该数列前i 项12i a a a ，，，中的最大项为i A ，该数列后n i -项 12i i n a a a ++ ，，，中的最小项为i B ，i i i d A B =-（1231i n =- ，，，，）．（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的123d d d ，，；（第21—A 题）（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n ∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中0λ>且1λ≠． ① 设2n n b a λ=+，判定数列{}nb 是否为等比数列；② 若数列{}n a 对应的i d 满足：1i i d d +>对任意的正整数1232i n =- ，，，，恒成立，求λ的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．B ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.C ．选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且曲线C上的点M 对应的参数π3ϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若12π(,)(,)2A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．D ．选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求12a ＋1＋2b ＋1 的最小值．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n＝(a ＋b 2)n ．（1）证明：A 2＞B 2；（2）比较A n 与B n （n ∈N*）的大小，并给出证明．题图BCD A 1 B 1C 1第22题图2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．29． 6．充分不必要． 7．4． 8．76． 9．10．10．已知函数()sin(2)f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα▲ ．10．76π．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==<，所以()()3π222332αβππ+++=⨯， 所以76αβπ+=．11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．12．12．由2A B A C A O += 可得OB OC += 0，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,36B C BC AC ====，所以12CA CB ⋅= ．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a ==，则1x y xy ++=， 1ab c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c +的最大值．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a a x '=-≤，即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，所以142a -≤≤．二、解答题15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以a ＝3（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B＝2，即tan B ＝2，因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 所以EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD .(2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 所以DE ⊥平面P AC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE .17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m 2， 则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2.（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =.答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. ·····14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ，由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112a AA BB ==，因为圆A 以1AF 为半径，所以半径为c ，被直线l 截得的弦长为圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l 截得的弦长为因为直线l ：y =被圆A 和圆B ，==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）. 因为c e a=，所以所求的离心率为34,（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-, 直线截圆A 所得的弦长为直线截圆B 所得的弦长为,34==,化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），由（1）离心率为34，得22169c a =，即方程（*）为0)1)(49(002=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(-；当10-=x 时，||6||8k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<，当490-=x 时，||42||56k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩k <,即有无数条直线；故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值．（ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值．（2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<， 因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41ex xk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex xg x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=，因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增， 故2max228e 8()(2)1e e g x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知， 0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，此时2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e， 2()e ()()e e k xxx k h x x k -'=--22()()k x x x k --=e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ．20．解：（1）111312A B d ===，，；222413A B d ===，，；333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 所以11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦．……………………………6分 因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--， 所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n bb λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分② 由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--． (10)分又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=- ，，，，，，， {}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=- ，，，，，，．由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++ ，，，≤，，，，所以由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +< ，，，，，，．所以{}1211max i i a a a a ++= ，，，对任意的正整数1232i n =- ，，，，恒成立， 即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠． (12)分因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，所以1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．综上所述，λ的取值范围是()113，． (16)分第II 卷（附加题，共40分）21A ．证：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． …………………… 10分21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分 所以曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|x |+3|y |=1，所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= .……10分21C ．解：（1）将M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 3sin 3a b ππ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=. ……4分（2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入 得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=. ……10分21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，从而(12a ＋1＋2b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2≥5＋22b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋2＝9． …………………… 6分 所以12a ＋1＋2b ＋1≥95．当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23 时，12a ＋1＋2b ＋1取得最小值95． …………………… 10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，……………………………………………………2分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==- ，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n = ，而1(1,2,3)DB =-，所以111111cos ,n DB n DB n DB ⋅<>=⋅所以直线1DB 与平面11A C D；…………………………………5分（2）11(2,0,0)A B = ，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z = ，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n = ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅， 二面角111B A D C --．……………………………………………10分23．（1）证明：0)(121)2()(31222222>-=+-++=-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；,)2(,11,311nn n n n b a B b a b a n A n +=--+=≥++令,,y b a x b a =-=+且0,>y x ， 于是,)2(],)()[()1(21)2()2(1111111n n n n n n n n x B y x y x y n y y x y x n A =--++=--++=+++++ 因为y x C y x C y x C y x y x n n n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ，所以n n n n n n n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2(22)1(21111．。

优质金卷：江苏省南通市2017届高三第一次模拟考试数学试题(考试版)

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绝密★启用前江苏省南通市2017届高三第一次模拟考试考试范围：集合、函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、随机变量概率与数学期望、数学归纳法；考试时间：120+30分钟； 【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-13题等，第14题注重考查新情境下向量知识运用，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第16题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第17题考查实际应用能力，第15，18,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查新情境下数列知识运用，难度较大．本卷一轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查概率，第23题归纳较难 一、填空题1．已知集合{}0,1,2A =，则A 的子集个数为__________．2．已知复数12z ai =+, 22z i =-（其中0a >， i 为虚数单位）.若12z z =，则a =__． 3．执行如图所示的流程图，则输出的结果S =_________．4．若直线1y x b e =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是__________．5．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________． 6．已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，…， (),n ax b a b R +∈ 的方差为12，则a 的值为__________．7．我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为__________． 8．在平面直角坐标系中，如果双曲线的焦距为，那么当任意变化时，的最大值是__________．9．已知函数()()21,0{1,0x x f x f x x --+≤=->，若方程()()log 2(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为__________． 10．已知函数()2cos f x x x =-，数列{}n a 是公差为8π的等差数列，若()()()()()123455f a f a f a f a f a π++++=， 则()2315f a a a ⎡⎤-=⎣⎦__ ____．11．在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆((222:49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为__________．12．已知实数6n ≤，若关于x 的不等式()2280xm x n +--≥对任意的[]4,2x ∈-都成立，则443m n m n-的最小值为__________． 13．已知角,αβ满足tan 7tan 13αβ=，若()2sin 3αβ+=，则()sin αβ-的值为________． 14．将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为______． 二、解答题15．在平面直角坐标系中，已知点()0,0A ， ()4,3B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点D . （1）求cos CAD ∠的值； （2）求点C 的坐标.16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且2ABC π∠=.（1）求证： //BC 平面11AB C ； （2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C .17．已知城A 和城B 相距20km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和.记点到C 城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k .当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数.（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由.18．已知椭圆22:31(0)C mx my m +=>的长轴长为， O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程和离心率.（2）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.19．已知函数()32(0)f x ax bx cx b a a =-++=>.（1）设0c =.①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点()1,0，求0x 的值； ②若a b >，求()f x 在区间[]0,1上的最大值.（2）设()f x 在1x x =， 2x x =两处取得极值，求证： ()11f x x =， ()22f x x =不同时成立.20．若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1mi ii a b=-∑.（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离. （2）记A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =， 13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤， 0n a =或1）的集合， T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： T 中的元素个数小于或等于16.21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]如图， AB BC ，分别与圆O 相切于点D ， C ， AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证： 2BC OD =.B.[选修4-2：矩阵与变换]在平面直角坐标系中，已知点()0,0A ， ()2,0B ， ()2,2C ， ()0,2D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M .C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1{x cos y sin αα=+=（α为参数）.现以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程.D.[选修4-5：不等式选讲]已知,a b 为互不相等的正实数，求证： ()()3334a b a b +>+.22．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =中，抽取三个不同的元素构成子集{}123,,a a a . （1）求对任意的i j ≠满足2i j a a -≥的概率；（2）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n=，且()221,1{,2n n n S n f n S S n -==-≥.（1）计算()()()123f f f ，，的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.。

2017年南通市数学学科基地命题高考模拟试卷(1)(含详解)

2017年南通市数学学科基地命题高考模拟试卷(1)(含详解)

2017年高考模拟试卷(1) 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ． 2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ．6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ．7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ．8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ． 9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ．10．已知x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ． 11．已知正数x ，y 满足121x y+=，则22log log x y +的最小值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ．13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅ ，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC，求a ，b 的值．16．（14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB //DE ，BC //EF ．（1）求证：平面ABC //平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ．（第5题）AFED CB（第16题）（第17题）17．（14分）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的长分别为m 分米，n 分米． （1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ，BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的取值范围. 19．（16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，．（1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式；（2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m * ( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n n b -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()fa fb =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=． （第18题）（第21- A 题） 第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵ABC ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长． D．（选修4-5：不等式选讲）求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分. 22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒．（1）求p 的值；（2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标． 23． (1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：kM ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；（2）猜想n p 的表达式，并证明．＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ …………………… ＊ ＊ … ＊ ＊2017年高考模拟试卷(1)参考答案一、填空题1．()12，．A B = ()12，．2．12． (2)(1)2i 13.i i i z ++++===，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所求概率是536． 5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76或1878． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π． 9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 11⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，0y x =>，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===--()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥． 12． 5．圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=，从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>， 2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=．14． ()()5114-∞- ，，．{}()max 11f x x x =-+， 2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点，当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，结合图形知，实数k 的取值范围是()()5114-∞- ，，． 二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=，解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜，从而23C π=，即23C π=．（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ①由三角形ABC的面积1sin 2ab C1ab =， ②由①②得，a b ==．16． （1）因为AB //DE ，又AB ⊄平面DEF ， DE ⊂平面DEF ，所以AB //平面DEF ， 同理BC //平面DEF ， 又因为AB BC C = ，A B B C⊂，平面ABC ， 所以平面ABC //平面DEF . （2）因为CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，，又因为CA AB A = ，AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ，又DA ⊂平面DABE ， 所以平面ABC ⊥平面DABE .17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，则△PNF 与△MPE 相似， 从而PF NF =，所以21n -=，即211+=．欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积12S mn =最小．由211m n =+≥8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时，“=”成立），此时min 4S =（平方分米）．（2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n m =即2m =1n =时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-18． （1）由椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）知，焦距为2，解得a =a ＞1，所以a =（2）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段长为ΑΡ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222120a k x a kx ++=，解得10x =，222221a k x a k =-+．因此2122221a kΑΡx a k=-=+．（第17题）（3）因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（2）知，1AP2AQ12，所以22222222121212)1(2)0k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦（， 因为1k ，20k >，12k k ≠，所以22222212121(2)0k k a a k k +++-=，变形得，()()22221211111(2)a a k k ++=+-，从而221+(2)1a a -＞，解得a则)1c e a =． 19． （1）因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，即()()()323222x a x b x c x ax bx c -+-+-+=----， 整理得，20ax c +=， 所以0a c ==，从而3()2f x x bx =+，又函数()f x 图象过点(12)-，，所以4b =-． 从而3()24f x x x =-．（2）①32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，的导函数2()62f x x ax b '=++． 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值，所以(1)0(2)0f f ''==，，即6202440a b a b ++=⎧⎨++=⎩，，解得912a b =-=，． ②由（1）得32()2912()f x x x x c c =-++∈R ，()6(1)(2)f x x x '=--． 列表：显然，函数()f x 在[0由表知，函数()f x 在[0，3]上的最小值为(0)f c =，最大值为(3)9f c =+．所以当0c >或90c +<（即9c <-）时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0． 当50c -<<时，因为(0)(1)(5)0f f c c =+<，且函数()f x 在(0，1)上是单调增函数，所以函数()f x 在(0，1)上有1个零点．当54c -<<-时，因为(1)(2)(5)(4)0f f c c =++<，且()f x 在(1，2)上是单调减函数， 所以函数()f x 在(1，2)上有1个零点．当94c -<<-时，因为(2)(3)(4)(9)0f f c c =++<，且()f x 在(2，3)上是单调增函数， 所以函数()f x 在(2，3)上有1个零点．综上，当0c >或9c <-时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0； 当95c -<-≤或40c -<≤时，零点个数为1；当4c =-或5c =-时，零点个数为2；当54c -<<-时，零点个数为3．20．（1）依题意，11111166022a a a aa b ++=- （当且仅当111a a =时，等号成立）． （2）易得()1342n n --=--，当n 为奇数时，()13420n n --=--<，所以43n <，又*n ∈N ，故1n =，此时111a b ==-； 当n 为偶数时，()13420n n --=-->，所以43n >，又*n ∈N ，故246n =，，，… 若2n =，则222a b ==，若4n =，则448a b ==， 下证：当6n ≥，且n 为偶数时，()1342n n --<--，即()12134n n --->-． 证明：记()12()34n p n n ---=-，则()()()112434(2)341()32322n n n p n n p n n n +----+-=⋅=>++--， 所以()p n 在6n ≥，且n 为偶数时单调递增， 从而17()(6)17p n p >=>．综上，124n =，，，所以m 的值为3． （3）证明：假设3m =，不妨123n n n <<，满足11n n a b =，22n n a b =，33n n a b =， 设1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，其中0q >，且1q ≠， 记11()(1)xb f x a x d q q=+--⋅， 则1()ln x b f x d q q q '=-⋅，()21()ln x b f x q q q''=-⋅， 由参考结论，知112()n n ξ∃∈，，1()0f ξ'=，223()n n ξ∃∈，，2()0f ξ'=， 同理，12()ηξξ∃∈，，()0f η''=，即()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅=， 这与()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅≠矛盾，故假设不成立，从而3m ≠． 第Ⅱ卷（附加题，共40分）A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．因为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ， 所以111011020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB ． 由逆矩阵公式得，1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ． C ．以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ． 则圆24sin 50ρρθ--=化为普通方程22450x y y +--=，即22(2)9x y +-=．直线π()3θρ=∈R化为普通方程y =0y -=．圆心(02)，0y -=的距离为1d ==，于是所求线段长为=D ．由柯西不等式可得，(()22222215⎤++=⎦≤，（当且仅当=16[34]x =∈，时，“=”成立．）22． （1）依题意，将(12)C ，代入22(0)y px p =>得，2p =； （2）因为 90BCA ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，其中2(122)CA a a =-- ，，2(122)CB b b =--，， 从而22(1)(1)4(1)(1)0a b a b --+--=，化简得，5a b +=-；（3）易得直线AB 的方程为222()y a x a b a-=-+， 令5x =得，22(5)2251y a a a a a =-+=-+-++． 23．当2n =时，1，2，3排成一个三角形有：共有6种，其中满足12M M <的有如下4种：所以242p ==；（2）设当n k =时，12k M M M <<⋅⋅⋅的概率为k p ，则当1n k =+时，121k k M M M M +<<⋅⋅⋅<的概率为1k p +， 而1k +排在第1k +行的概率为12(1)(11)22k k k k +=++++， 1 2 3 1 3 2 21 32 3 1 3 1 2 3 2 11 2 3 1 3 22 1 32 3 1所以12(2)2k kp p k k +=+≥，即12(2)2k k p k p k +=+≥， 故3224p p =，4325p p =，5426p p =， (12)n p -=， 叠乘，得()22214n n p p n n -=+⨯⨯⋅⋅⋅⨯，其中24263p ==， 所以n p 2(1)!n n =+．。

【江苏省南通市】2017年高考一模数学试卷-答案

【江苏省南通市】2017年高考一模数学试卷-答案

江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞， 又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e af e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜．所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点．所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-． 设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =．当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()． 所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a qk q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q qna k q k q --+<<=+恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =， 所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分．23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分 所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQ AP AQ AP AQ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒， 所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分．26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2py =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x ﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。

【江苏省南通市】2017年基地命题高考模拟数学试卷(一)-答案

【江苏省南通市】2017年基地命题高考模拟数学试卷(一)-答案

当 9 c 5 或 4 c 0 时，零点个数为 1； 当 c 4 或 c 5 时，零点个数为 2；
当 5 c 4 时，零点个数为 3．
4/7
20．（1）依题意，
a6
b6
a1
a11 2
b1b11
a1
a11 2
a1a11 0 ，
（当且仅当 a1 a11 时，等号成立）．
（2）易得 3n 4 (2)n1 ，当 n 为奇数时， 3n 4 (2)n1 0 ，所以 n 4 ， n 1 3
从而 (a2 1)(b2 1) 4(a 1)(b 1) ，
6/7
化简得， b a 5 ； a 1
（3）易得直线 AB 的方程为 y 2a 2 (x a2 ) ， ba
令 x 5 得，
y
a
2 5
a
(5
a2 )
2a
2
．
a 1
23．当 n 2 时，1，2，3 排成一个三角形有：
1 23
k
1 行的概率为
(k
k 1 1)(1 k
1)
k
2
2
，
2
所以
pk 1
k
2
2
pk (k
2) ，即
pk 1 pk
k
2
(k 2
2) ，
故 p3 2 ， p4 2 ， p5 2 ，…， pn 2 ，
p2 4 p3 5 p4 6
pn1 n 1
叠乘，得 pn
2n2
p2 (n 1) n
4
，其中
证明：记
p(n)
(2)n1 3n 4
，则
p(n 2) p(n)
(2)n1 3n 2

江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷

江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷

2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f 2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A 的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x ∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B 的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F 1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f （0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a ＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC 1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=θ，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tanθ，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tanθ+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cosθ]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，θ（0，）（，）S’+0﹣S↗极大值↘因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣，h′（x）=﹣=，所以h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x）=，令h′（x）=0，即x2﹣2（a﹣1）x+1=0，△=4（a﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a≤2，此时△≤0，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（0，+∞）单调递增；②若a＞2，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＞0，所以h（x）在（0，a﹣1﹣）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减，在（a﹣1+，+∞）上单调递增；③若a＜0，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a≤2，h（x）在（0，+∞）单调递增，若a＞2，h（x）在（0，a﹣1﹣），（a﹣1+，+∞）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx＞在（1，+∞）恒成立，所以f（x+1）=ln（x+1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，φ′（x）=2e x﹣2x﹣2，φ′′（x）=2e x﹣2，易知φ″（x）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x）=2e x﹣2x﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x）＞φ（0）=0，所以＞，即当x＞0时，f（x+1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t ﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：X0123P∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a 1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

南通一模数学(八)DA

南通一模数学(八)DA

(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(八)(南通市)数学参考答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1.2π32. {1，3，5}3. －34. 0.175. 56. 77. 208. 329. 5 10. 1322 11. 2 12. 233 13. (－∞，－2)∪(2，＋∞)14. [6－2，6＋2]二、 解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. 解：(1) 在△AOB 中，由余弦定理得， AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA·OB cos ∠AOB ，所以 cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB (2分)＝12＋12－⎝⎛⎭⎫25522×1×1＝35， 即cos β＝35. (6分)(2) 因为cos β＝35，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(8分)因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513，因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213. (10分)所以cos ()α＋β＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，(12分)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B ⎝⎛⎭⎫－3365，5665. (14分) 16. 证明：(1) 连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点．又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA. (4分)又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线PA ∥平面BDE. (6分)(2) 因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD. (8分) 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC. (10分)又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ， 所以OE ⊥平面PCD. (12分)又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD. (14分)17. 解：(1) 由题意得，c a ＝22，a 2c －c ＝1, (2分)解得a ＝2，c ＝1，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2，所以1OP 2＋1OQ 2＝1. (6分)当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y ＝kx.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1. (9分)因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2. (12分) 所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP 2＋1OQ 2＝1. (14分) 18. 解：(1) 当∠EFP ＝π4时，由条件得∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝π4.所以∠FPE ＝π2.所以FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形．( 3分) 所以四边形MNPE 的面积 S ＝PN·MN ＝2 m 2.( 5分) (2) 解法一：设∠EFD ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，由条件，知∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝θ.所以PF ＝2sin （π－2θ）＝2sin 2θ，NP ＝NF －PF ＝3－2sin 2θ， ME ＝3－2tan θ. (8分)由⎩⎪⎨⎪⎧3－2sin 2θ>0，3－2tan θ>0，0<θ<π2，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ>23，tan θ>23， （*）0<θ<π2.所以四边形MNPE 面积为 S ＝12(NP ＋ME)MN＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－2sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫3－2tan θ×2 ＝6－2tan θ－2sin 2θ＝6－2tan θ－2（sin 2θ＋cos 2θ）2sin θcos θ＝6－⎝⎛⎭⎫tan θ＋3tan θ (12分)≤6－2tan θ3tan θ＝6－2 3. 当且仅当tan θ＝3tan θ，即tan θ＝3，θ＝π3时取“＝”．(14分)此时，(*)成立． 答：当∠EFD ＝π3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大， 最大值为6－2 3 m 2. (16分)解法二：设BE ＝t m ，3<t<6，则ME ＝6－t.因为∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ，所以PE ＝PF ，即（3－BP ）2＋22＝t －BP.所以BP ＝13－t 22（3－t ），NP ＝3－PF ＝3－PE ＝3－(t －BP)＝3－t ＋13－t 22（3－t ）. (8分)由⎩⎪⎨⎪⎧3<t<6，13－t 22（3－t ）>0，3－t ＋13－t 22（3－t ）>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<t<6，t>13， （*）t 2－12t ＋31<0.所以四边形MNPE 面积为S ＝12(NP ＋ME)MN＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t ＋13－t 22（3－t ）＋（6－t ）×2 ＝3t 2－30t ＋672（3－t ）(12分)＝6－⎣⎡⎦⎤32（t －3）＋2t －3≤6－2 3.当且仅当32(t －3)＝2t －3，即t ＝3＋43＝3＋233时取“＝”. (14分) 此时，(*)成立．答：当点E 距B 点3＋233 m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6－2 3 m 2. (16分)19. 解：(1) 当a ＝38时，f(x)＝38x 2－x －ln x.所以f′(x)＝34x －1－1x ＝（3x ＋2）（x －2）4x ，(x>0). (2分)令f′(x)＝0，得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x)<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 所以当x ＝2时，f(x)有最小值f(2)＝－12－ln 2.(4分)(2) 由f(x)＝ax 2－x －ln x ，得f′(x)＝2ax －1－1x ＝2ax 2－x －1x，x>0.所以当a ≤0时，f ′(x)＝2ax 2－x －1x<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上最多有一个零点．(6分) 因为当－1≤a ≤0时，f(1)＝a －1<0，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e 2－e ＋ae 2>0， 所以当－1≤a ≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上有零点． 综上，当－1≤a ≤0时，函数f(x)有且只有一个零点. (8分) (3) 解法一：由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上最多有一个零点． 因为函数f(x)有两个零点，所以a>0. (9分)由f(x)＝ax 2－x －ln x ，得f′(x)＝2ax 2－x －1x，(x>0)，令g(x)＝2ax 2－x －1.因为g(0)＝－1<0，2a>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，设为x 0.当x ∈(0，x 0)时，g(x)<0，f ′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g(x)>0，f ′(x)>0. 所以函数f(x)在(0，x 0)上单调递减；在(x 0，＋∞)上单调递增． 要使得函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点， 只需要函数f(x)的极小值f(x 0)<0，即ax 20－x 0－ln x 0<0.又因为g(x 0)＝2ax 20－x 0－1＝0，所以2ln x 0＋x 0－1>0，又因为函数h(x)＝2ln x ＋x －1在(0，＋∞)上是增函数，且h(1)＝0， 所以x 0>1，得0<1x 0<1.又由2ax 20－x 0－1＝0，得2a ＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋122－14，所以0<a<1. (13分)以下验证当0<a<1时，函数f(x)有两个零点． 当0<a<1时，g ⎝⎛⎭⎫1a ＝2a a 2－1a －1＝1－aa >0， 所以1<x 0<1a.因为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 2－1e ＋1＝e 2－e ＋ae 2>0，且f(x 0)<0. 所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫1e ，x 0上有一个零点. 又因为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝4a a 2－2a －ln 2a ≥2a －(2a －1)＝1>0(因为ln x ≤x －1)，且f(x 0)<0. 所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫x 0，2a 上有一个零点． 所以当0<a<1时，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫1e ，2a 内有两个零点. 综上，实数a 的取值范围为(0，1). (16分) 下面证明：ln x ≤x －1. 设t(x)＝x －1－ln x ，所以t′(x)＝1－1x ＝x －1x，(x>0)．令t′(x)＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，t ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)>0. 所以函数t(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以当x ＝1时，t(x)有最小值t(1)＝0.所以t(x)＝x －1－ln x ≥0，得ln x ≤x －1成立． 解法二：由(2) 知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上最多有一个零点． 因为函数f(x)有两个零点，所以a>0. (9分)由f(x)＝ax 2－x －ln x ＝0，得关于x 的方程a ＝x ＋ln xx 2，(x>0)有两个不等的实数解．又因为ln x ≤x －1，所以a ＝x ＋ln x x 2≤2x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1，(x>0)．因为x>0时，－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1≤1，所以a ≤1.又当a ＝1时，x ＝1，即关于x 的方程a ＝x ＋ln xx2有且只有一个实数解．所以0<a<1. (13分) (以下解法同解法1)20. 解：(1) 由已知可得：a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋7d), (2分) 整理可得：4d 2＝3a 1d.因为d ≠0，所以a 1d ＝43. (4分)(2) 设数列{k n }为等比数列，则k 22＝k 1k 3. 又因为ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1＋(k 1－1)d][a 1＋(k 3－1)d]＝[a 1＋(k 2－1)d]2. 整理，得a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d(k 1k 3－k 22－k 1－k 3＋2k 2)． 因为k 22＝k 1k 3，所以a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d(2k 2－k 1－k 3)． 因为2k 2≠k 1＋k 3，所以a 1＝d ，即a 1d ＝1.(6分)当a 1d ＝1时，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ，所以ak n ＝k n d. 又因为ak n ＝ak 1q n －1＝k 1dq n －1，所以k n ＝k 1q n －1.所以k n ＋1k n ＝k 1q nk 1q n －1＝q ，数列{k n }为等比数列．综上，当a 1d＝1时，数列{k n }为等比数列．(8分)(3) 因为数列{k n }为等比数列，由(2)知a 1＝d ，k n ＝k 1q n －1(q>1)．ak n ＝ak 1q n －1＝k 1dq n －1＝k 1a 1q n －1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1. 因为对于任意n ∈N *，不等式a n ＋ak n >2k n 恒成立．所以不等式na 1＋k 1a 1q n －1>2k 1q n －1,即a 1>2k 1q n －1n ＋k 1qn 1，0<1a 1<n ＋k 1q n －12k 1q n 1＝12＋q 2k 1nq n 恒成立．(10分) 下面证明：对于任意的正实数ε(0<ε<1)，总存在正整数n 1，使得n 1qn 1<ε.要证n 1qn 1<ε，即证ln n 1<n 1ln q ＋ln ε.因为ln x ≤1e x <12x ，则ln n 1＝2ln n 112<n 112，解不等式n 121<n 1ln q ＋ln ε，即()n 1212ln q －n121＋ln ε>0，可得n 121>1＋1－4ln q ln ε2ln q，所以n 1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4ln q ln ε2ln q 2.不妨取n 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4ln q ln ε2ln q 2＋1，则当n 1>n 0时，原式得证．所以0<1a 1≤12，所以a 1≥2，即得a 1的取值范围是[2，＋∞). (16分)附加题21. A . 解：设CD ＝x ，则CE ＝2x. 因为CA ＝1，CB ＝3，由相交弦定理，得CA·CB ＝CD·CE ， 所以1×3＝x·2x ＝2x 2，所以x ＝62.(2分) 取DE 中点H ，则OH ⊥DE.因为OH 2＝OE 2－EH 2＝4－⎝⎛⎭⎫32x 2＝58，所以OH ＝104.(6分) 又因为CE ＝2x ＝6，所以△OCE 的面积S ＝12OH ·CE ＝12×104×6＝154. (10分)B . 解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11.所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. (4分) 因为点P (1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. (8分) 解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(10分)C. 解：解法一：在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即AB ＝2 2. (10分)解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ， ① (3分)曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0. ② (6分)由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， (8分)所以A (0，0)，B (2，2)，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长AB ＝2 2. (10分)D. 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos2x ＝3sin x ＋4cos 2x (2分) 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25，(8分) 所以y max ＝5，此时sin x ＝35.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos2x 的最大值为5. (10分)22. 解：以{}AB →，AD →，AA 1→为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.(1) 因为AP →＝(1，2，2)，AQ →＝(2，0，1)，所以cos <AP →，AQ →>＝AP →·AQ →|AP →||AQ →|＝1×2＋2×0＋2×19×5＝4515.所以AP 与AQ 所成角的余弦值为4515.(4分)(2) 由题意可知，AA 1→＝(0，0，2)，AQ →＝(2，0，2λ)． 设平面APQ 的法向量为n ＝()x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2z ＝0，2x ＋2λz ＝0.令z ＝－2，则x ＝2λ，y ＝2－λ.所以n ＝(2λ，2－λ，－2)．(6分)又因为直线AA 1与平面APQ 所成角为45°， 所以|cos<n ，AA 1→>|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AA 1→|n ||AA 1→|＝42()2λ2＋()2－λ2＋()－22＝22， 可得5λ2－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝45. (10分)23. 解：(1) 抛物线x 2＝2py(p>0)的准线方程为 y ＝－p 2，因为M(m ，1)，由抛物线定义，知MF ＝1＋p2，所以1＋p2＝2，即p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y.(3分) (2) 因为y ＝14x 2，所以y′＝12x.设点E ⎝⎛⎭⎫t ，t 24，t ≠0，则抛物线在点E 处的切线方程为y －t 24＝12t(x －t)．令y ＝0，则x ＝t 2，即点P(t2，0)．因为P ⎝⎛⎭⎫t 2，0，F(0，1)，所以直线PF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎫x －t 2，即2x ＋ty －t ＝0. 则点E ⎝⎛⎭⎫t ，t24到直线PF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2t ＋t 34－t 4＋t2＝||t 4＋t 24.(5分)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，2x ＋ty －t ＝0，消元，得t 2y 2－(2t 2＋16)y ＋t 2＝0.因为Δ＝(2t 2＋16)2－4t 4＝64(t 2＋4)>0， 所以y 1＝2t 2＋16＋64（t 2＋4）2t 2，y 2＝2t 2＋16－64（t 2＋4）2t 2，所以AB ＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝2t 2＋16t 2＋2＝4（t 2＋4）t 2.(7分)所以△EAB 的面积为S ＝12×4（t 2＋4）t 2×||t 4＋t 24＝12×（t 2＋4）32||t .不妨设g(x)＝（x 2＋4）32x (x>0)，则g′(x)＝（x 2＋4）12x 2(2x 2－4)． 因为x ∈(0，2)时，g ′(x)<0，所以g(x)在(0，2)上单调递减；x ∈(2，＋∞)上，g ′(x)>0，所以g(x)在(2，＋∞)上单调递增． 所以当x ＝2时，g(x)min ＝（2＋4）322＝6 3. 所以△EAB 的面积的最小值为3 3.(10分)。

2017年江苏省南通市高考一模数学

2017年江苏省南通市高考一模数学

9.在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 2x+y=0 为双曲线
x2 y2 1 (a＞0， b＞0)的一条渐近线， a 2 b2
则该双曲线的离心率为 . 解析：利用双曲线的渐近线方程得到 a，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可. 直线 2x+y=0 为双曲线
2 2
x2 y2 1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线， a 2 b2
2 x y 4 x 3y 7 6.若实数 x，y 满足 ，则 z=3x+2y 的最大值为 x 0 y 0
解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).
.
3 1 x z， 2 2 3 1 平移直线 y x z ， 2 2 3 1 3 1 由图象可知当直线y x z经过点A时，直线y x z的截距最大 ， 2 2 2 2
由 z=3x+2y 得 y
此时 z 最大. 由
2 x y 4 ，解得 A(1，2)， x 3y 7
代入目标函数 z=3x+2y 得 z=3×1+2×2=7. 即目标函数 z=3x+2y 的最大值为 7. 答案：7. 7.抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩(单位：分)，结果如下：
2
可得 b=2a，即 c -a =4a ， 可得
c 5. a
答案： 5 . 10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列， 上面 4 节的容积共 3 升， 下面 3 节的容积共 4 升， 则该竹子最上面一节的容积为 升. 解析：设最上面一节的容积为 a1， 利用等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出方程组：
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 解析：根据题意，对于甲，其平均数 x甲

江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷含答案解析

江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷含答案解析

2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A 的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x ∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f （0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tan，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tan+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cos]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，）因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R ）．（1）若a=2，求证：f （x ）＞g （x ）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h （x ）=f （x ）﹣g （x ）的单调性；（3）求证：当x ＞0时，f （x +1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h （x ）的导数，通过讨论a 的范围，判断h （x ）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣，h′（x ）=﹣=， 所以h′（x ）＞0在（1，+∞）恒成立，h （x ）在（1，+∞）上单调递增，所以h （x ）＞h （1）=0，所以f （x ）＞g （x ）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x ）=，令h′（x ）=0，即x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0，△=4（a ﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a ≤2，此时△≤0，h′（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h （x ）在（0，+∞）单调递增；②若a ＞2，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＞0，所以h （x ）在（0，a ﹣1﹣）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减，在（a ﹣1+，+∞）上单调递增；③若a ＜0，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＜0， 所以h （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a ≤2，h （x ）在（0，+∞）单调递增，若a ＞2，h （x ）在（0，a ﹣1﹣），（a ﹣1+，+∞）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx ＞在（1，+∞）恒成立，所以f （x +1）=ln （x +1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2，φ′′（x ）=2e x ﹣2， 易知φ″（x ）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x ）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x ）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x ）＞φ（0）=0，所以＞，即当x ＞0时，f （x +1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣（﹣1）n ，n ∈N *．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t ﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

B05 南通市2017届高三数学第一次模拟考试数学试题

B05 南通市2017届高三数学第一次模拟考试数学试题

南通市2017届高三第一次调研测试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为 。

2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A = 。

3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 。

4的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.355．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为 。

6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 。

7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 。

8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为 cm 3。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 。

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 11．在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为 。

12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。

若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 。

结束↓ 开始 ↓ a ←1 ↓ 输出n N A BCDD 1C 1B 1A 113．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为 。

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆422=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值范围是 。

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南通市2017届高三第一次调研测试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为 。

2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A = 。

3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 。

4的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.355．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为 。

6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 。

7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 。

8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为 cm 3。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 。

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 11．在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为 。

12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。

若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 。

结束↓ 开始 ↓ a ←1 ↓ 输出n N A BCDD 1C 1B 1A 113．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为 。

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆422=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值范围是 。

二：解答题15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，552=AB 。

（1）求βcos 的值； （2）若点A 的横坐标为135，求点B 的坐标。

16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP=OC ，PA ⊥PD 。

求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD 。

CABDPOE17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1. （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2=y 于点Q ，求2211OQ OP +的值；18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪。

已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪。

（1）当4π=∠EFP 时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。

19．（本题满分16分）已知函数R a x x ax x f ∈--=,ln )(2。

（1）当83=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若01≤≤-a ，证明：函数)(x f 有且只有一个零点； （3）若函数)(x f 又两个零点，求实数a 的取值范围。

20．（本题满分16分）已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，且)(,,,,2121 <<<<n k k k k k k a a a n 成等比数列，公比为q 。

（1）若8,3,1321===k k k ，求da 1的值； （2）当da 1为何值时，数列}{n k 为等比数列； （3）若数列}{n k 为等比数列，且对于任意*N n ∈，不等式n k n k a a n 2>+恒成立，求1a 的取值范围。

21、【选做题】 [选修4-2：矩阵与变换]已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为'(33)P ，，求矩阵A.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，求直线=4πθρ∈（R ）被直线=4sin ρθ所截得的弦长.【必做题】（每小题10分）22、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱11C D 的中点，Q 为棱1BB 上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠. （1）若1=2λ，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线1AA 与平面APQ 所成的角为45︒，求实数λ的值.23、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB ∆面积的最小值。

南通市2017届高三第一次调研测试数学试题Ⅰ参考答案一：填空题 1．32π 2．}5,3,1{ 3．3- 4．0.17 5．5 6． 7 7．20 8．239．5 10．2213 11．2 12．332 13．),2()2,(+∞--∞ 14．]26,26[+- 二：解答题15.解（1）在AOB ∆中，由余弦定理得：AOB OB OA OB OA AB ∠⋅-+=cos 2222，所以OB OA AB OB OA AOB ⋅-+=∠2cos 222…………………………………………2分53112)552(112=⨯⨯-+=，即53cos =β；…………………………………………6分（2）因为53cos =β，且β为锐角，所以54)53(1cos 1sin 22=-=-=ββ，……8分 因为点A 的横坐标为135，由三角函数定义可得：135cos =α，因为α为锐角，所以1312)135(1cos1sin 22=-=-=αα，…………………………10分所以653354131253135sin sin cos cos )cos(-=⨯-⨯=-=+βαβαβα，…………12分 655654135531312sin cos cos sin )sin(=⨯+⨯=+=+βαβαβα， 所以点)6556,6533(-B 。

……………………………………………………………………14分 16.证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以OE//PA ，………………4分 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA//平面BDE ；…………………………6分 （2）因为OE//PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD ，……8分 因为OP=OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC ，……10分 又PC∩PD=P ，PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，ABCDP OE所以OE ⊥平面PCD ，………………………………12分因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD 。

………………………………14分17. 解：（1）由题意得：2222,1,22c b a c c a a c +==-=，………………2分解得：1,1,2===b c a ，所以椭圆的标准方程为1222=+y x ；……4分 （2）由题意知OP 的斜率存在， 当OP 的斜率为0时，2,2==OQ OP ，所以2211OQOP +=1，……6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为kx y =，由⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 1222得：2)12(22=+x k ，解得：12222+=k x ，所以122222+=k k y ， 所以1222222++=k k OP ，…………………………………………………………9分因为OQ OP ⊥，所以直线OQ 的方程为x ky 1-=， 由⎪⎩⎪⎨⎧-==xk y y 12得：k x 2-=，所以2222+=k OQ ，……………………12分 所以2211OQ OP +=12212212222=++++k k k ， 综上，可知2211OQ OP +=1.………………………………………………14分 18. 解：（1）当4π=∠EFP 时，4π=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，所以2π=∠FPE ，即BC FN ⊥，所以四边形MNPE 为矩形，………………3分所以四边形MNPE 的面积为22m MN PN S =⋅=；…………………………5分 （2）设)2,0(,πθθ∈=∠EFD ，由条件知：θ=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，θθπ2sin 2)2sin(2=-=PF ，θ2sin 23-=-=PF NF NP ，θtan 23-=ME ，……8分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>->-200tan 2302sin 23πθθθ得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>2032tan 322sin πθθθ，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>+2032tan 32tan 1tan 22πθθθθ解得：253tan 32+<<θ， 所以四边形MNPE 的面积为2)]tan 23()2sin 23[(21)(21⨯-+-=⋅+=θθMN ME PN S )2sin 2tan 2(6θθ+-= ………………………………………………………………12分 326)tan 3(tan 6)tan 2tan 1tan 2(62-≤+-=++-=θθθθθ当且仅当θθtan 3tan =，即)253,32(3tan +∈=θ，3πθ=时取“=”……14分 答：当3π=∠EFP 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，为326-。

…16分19. 解：（1）当83=a 时，x x x x f ln 83)(2--=， 所以)0(,4)2)(23(1143)(>-+=--='x xx x x x x f ，…………………………2分 令)(x f '=0，得2=x ，当)2,0(∈x 时，)(x f '<0，当),2(+∞∈x 时，)(x f '>0， 所以函数)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增， 所以当2=x 时，)(x f 有最小值2ln 21)2(--=f ；…………………………4分 （2）由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x x x ax x ax x f 所以当0≤a 时，012)(2<--='xx ax x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递减， 所以当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点，……………………6分又当01≤≤-a 时，0)1(,01)1(22>+-=<-=eae e ef a f ， 所以当01≤≤-a 时，函数)(x f 在),0(+∞上有零点，综上，当01≤≤-a 时，函数)(x f 有且只有一个零点；……………………8分（3）由（2）知：当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点， 因为函数)(x f 有两个零点，所以0>a ，……………………………………9分由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x xx ax x ax x f 令12)(2--=x ax x g ，因为02,01)0(><-=a g ， 所以函数)(x g 在),0(+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当),0(0x x ∈时，)(x g <0，)(x f '<0，当时),(0+∞∈x x ，)(x g >0，)(x f '>0， 所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，要使得函数)(x f 在),0(+∞上有两个零点，只需要函数)(x f 的最小值0)(0<x f ， 即0ln 0020<--x x ax ，又因为012)(0200=--=x ax x g ， 消去a 得：01ln 200>-+x x ，又因为1ln 2)(-+=x x x h 在),0(+∞上单调递增，且0)1(=h ，所以0x >1， 则1100<<x ，因为012020=--x ax ，所以41)211(1)1(220020-+=+=x x x a ， 所以2a 在)1,0(上单调递增，所以10<<a ，………………………………………13分 以下验证当10<<a 时，函数)(x f 有两个零点。

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