2009年第五届北方数学奥林匹克数学邀请赛试题含答案

第五届北方数学奥林匹克邀请赛试卷

（辽宁 沈阳）第 一 天

(2009年7月30日 8:40 —11:40)

注：本试卷共四道题，每题25分，满分100分.

一、(25分)设数列{}n x

满足111,(2)-==+≥n n x x x n .求数列}{n x 的通项

公式.

二、(25分)如图，在锐角△ABC 中，AC AB >，1cos cos =+C B .F E 、分别是AB 、AC

延长线上的点，且

90=∠=∠ACE ABF .

（1）求证：EF CF BE =+；

（2）设E B C ∠的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分BCF ∠.

三、(25分)已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.

四、(25分)船长和三位水手共得到2 009枚面值相同的金币，四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整数分别为1b 、2b 、3b ，满足123≥≥b b b ，且123++=b b b 2 009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2 009枚金币分成3堆,各堆数量分别1a 、2a 、3a ，且123≥≥a a a .对于水手k (1,2,3=k ),当

F

第 二 天

(2009年7月31日 8:40 —11:40)

注：本试卷共四道题，每题25分，满分100分.

五、（25分）如图，C 为扇形AOB 的弧

A B 上一点，在射线OC 上任取一点P ,连结A P ，过点B 作直线B Q ∥A P 交OC 于点Q .证明：五边形O AQ PB 的面积与点C 、P 的选取无关。

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六、（25分）若0>、、x y z 且32

22=++z y x ，求证：

+

+--z

y x x

)1(20082009

x

z y y

+--)1(20082009

)(2

1)1(20082009

z y x y

x z z

++≥

+--+

.

七、（25分）记[]m 为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[]1⎡⎤=-⎣⎦x ny n 成立.证明：1,=xy 且y 是大于1的无理数. 八、（25分）求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.

参考答案