非线性时间序列的高阶奇异谱分析

非线性时间序列的高阶奇异谱分析

袁　坚　肖先赐

(电子科技大学电子工程系,成都　610054)

(1997年8月28日收到)

基于反映线性相关结构的协方差矩阵的奇异谱分析,本质上是一种线性的方法.奇异谱

分析用于吸引子重构的可靠性问题引发了一些争议.本文基于具有盲高斯噪声及体现非线性相关等性质的高阶累积量,提出了一种高阶的奇异谱分析方法.通过对H énon 映射、Logistic 映射和Lorenz 模型的分析说明了该方法的有效性,并在不同的延时、嵌入维数、抽样时间及有噪声的情况下表现出较好的鲁棒性.

PACC :0545

1　引言

对于不同系统产生的不规则动态行为解释为确定性的混沌过程,这一认识在几乎所有学科中得到广泛的应用.而用动力系统方法分析非线性时间序列,状态空间的重构是必不可少的一个步骤.从标量时间序列重构多维状态矢量的延迟坐标法,是在无法观测系统各个变量情况下的一种折衷方法.延迟坐标间不可避免地存在着线性依赖及人为的对称性.Takens 的嵌入定理[1]隐含着无噪声影响,且假设数据长度为无限长.这样对任意的延时都不会导致重构的退化.而实际得到的时间序列是有限长度的,并且不可避免地受到噪声的影响.延时选择过大或过小,都会导致噪声增强[2].另外,当对分析的系统无任何先验认识,无从得知其拓扑维数时,对嵌入维数的选择也成问题.

基于多通道时间序列主元分析的奇异谱分析(singular 2spectrum analysis ,SSA ),最先由Broomhead 和K ing [1]引入非线性动力学领域.该方法一方面将延迟矢量变换到一正交空间里,以消除坐标间的线性依赖及人为的对称性;另一方面在奇异谱上区分出信号成分及噪声平台,在确定出最小嵌入维数的基础上,一个维数等于最小嵌入维数的子空间内的轨迹代表了信噪比增强的重构.

但是,SSA 作为一种线性方法,其所用的协方差矩阵反映出的是线性相关的结构,而无法反映内在的非线性关系.另外,一些实际的分析结果更加深了对这一方法的质疑[3—5].文献[2,6,7]对奇异谱方法作了详尽的分析和确认工作.并且针对Palu 等[5]用SSA 研究H énon 和Lorenz 模型所提出的质疑,文献[8,9]中分别指出了这是由于重构窗口(包括延时和嵌入维数)选择不当而导致的错误理解.我们在工作中也发现,在选择合适的重构窗口前提下,Lorenz 模型的奇异谱分析是成功的[10].然而对H énon 模型无论选择怎样的重构窗口,分析出的奇异谱都无法得到满意的结果[3,5].

奇异谱分析所用的属于二阶统计的协方差矩阵,体现的是线性相关.高阶统计作为一

第47卷第6期1998年6月

100023290/98/47(6)/0897209物　理　学　报ACTA PHYSICA SIN ICA Vol.47,No.6,J une ,1998ν1998Chin.Phys.S oc.

898物 理 学 报47卷

种非线性的信号处理工具,可以反映高阶相关的非线性关系[11,12].从高阶统计的角度认识混沌,不仅可以开发出更多的信息,而且也有助于从一个新的角度认识该现象.高阶统计具有盲高斯噪声及体现非线性结构等性质,但与研究比较完善的二阶统计相比,尚缺少物理性质的解释.而将其引入动力系统理论,更存在着用动力学语言难以描述的问题.高阶统计用于混沌动力学研究的文献很少,见到的一篇是用高阶累积量估计重构延时[13],另一篇是利用三阶谱鉴别观测信号是否达到混沌状态[14].而作为一种数字信号处理的新手段,高阶统计在信号处理的各个领域得到了广泛的应用[11].其中,阵列测向中用四阶累积量进行奇异值分解(SVD),得到四阶子空间进行方向估计,比二阶的方法有着一些明显特点[15].由此也引发我们用高阶累积量分析混沌序列的高阶奇异谱分析的思路.

本文提出了一种基于高阶累积的高阶奇异谱分析(H2SSA)方法.对Hénon,Lorenz和Logistic等模型的分析说明,H2SSA是比SSA更加有效的方法,同时在不同延时、嵌入维数、抽样时间及有噪声的情况下表现出一定的鲁棒性.

2　吸引子的重构方法

若维数相差很大的动力系统的渐近动态行为限制在相同维数的吸引子流形上,则它们有可能属于同一等价类型.这构成了将定性的动力学特点引入实验领域的技术基础.对

一个动力系统d z

=F(z),我们将Takens的嵌入定理[1]叙述如下.

d t

定理(T akens)　设M是n维的紧流形.F表示一个光滑的(C2)矢量场,v为M 上的一个光滑函数.则ΦF,v:M→R2n+1,表示ΦF,v(z)=(v(z),v(φ1(z)),…, v(φ2n(z)))T是一个嵌入.这φi是F的流.

v(z)对应着系统状态为z(∈M)时的观测值.包含着像ΦF,v(M)的空间称作嵌入空间,嵌入空间的维数称作嵌入维数,应用Takens定理重构状态空间的方法称作延迟坐标法.

延迟坐标是由时间序列构造出的多维状态空间矢量.对一个N点的时间序列{x(1),x(2),…,x(N)},离散时刻i上的重构状态矢量为

X i=[x(i)　x(i+J)　…　x(i+(m-1)J)]T,(1)其中J为重构延时,m为嵌入维数.相应的重构轨迹为

X=[X1　X2　…　X K],(2)其中K=N-(m-1)J.

Takens定理对重构延时的选择没有任何指导性的建议.这一定理隐含着无噪声影响,且假设数据长度为无限长,这样对任意的J都不会导致重构的退化.而实际得到的时间序列既不可避免地受到噪声的影响,又是有限长度的.延时J过小,由测量误差(包括量化误差)引起的冗余误差相应地增大;适当地增加延时,测量误差的影响减小,而依赖于系统初值敏感性的动态误差的影响相应地增大[2].另外,当对分析的系统没有任何先验的认识,无从得知其拓扑维数n时,嵌入维数m的选择也成问题.数值分析的结果表明[7,10],J和m的选择一定程度上可归结为重构延时窗口(m-1)J的选择问题.但这一