绪论 数值计算方法的研究对象和特点
数值计算1-5章
数值计算1-5章数值计算⽅法第1章绪论1.1数值计算⽅法的研究对象和特点数值计算⽅法也称数值分析，它研究⽤计算机求解各种数学问题的数值⽅法及其理论。
数学学科内容⼗分⼴泛，数值计算⽅法属于计算数学的范畴，这⾥只涉及科学和⼯程计算中常见的数学问题，如函数的插值、逼近、离散数据的拟合、数值积分与数值微分、线性和⾮线性⽅程数值解法和矩阵特征值问题数值解法和微分⽅程数值解法等.由于计算机科学与技术的迅速发展，数值计算⽅法的应⽤已经普遍深⼊到各个科学领域，很多复杂和⼤规模的计算问题都可以在计算机上进⾏计算，新的、有效的数值⽅法不断出现.现在，科学与⼯程中的数值计算已经成为各门⾃然科学和⼯程技术科学研究的⼀种重要⼿段，成为与实验和理论并列的⼀个不可缺少的环节.所以，数值计算⽅法既是⼀个基础性的，同时也是⼀个应⽤性的数学学科分⽀，与其他学科的联系⼗分紧密.⽤数值⽅法求解数学问题⾸先要构造算法，即由运算规则（包括算术运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程.同⼀个数学问题可能有多种数值计算⽅法，但不⼀定都有效.评价⼀个算法的好坏主要有两条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价.我们⾃然应该选择代价⼩⼜能满⾜精度要求的算法.计算代价也称为计算复杂性，包括时间复杂性和空间复杂性.时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数决定.空间复杂性好是指节省存储量，主要由使⽤的数据量决定.⽤计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉及多⽅⾯的理论问题，例如，算法的收敛性和稳定性等.除理论分析外，⼀个数值⽅法是否有效，最终要通过⼤量的数值实验来检验.数值计算⽅法具有理论性、实⽤性和实践性都很强的特点.作为数值计算⽅法的基础知识，本课程不可能⾯⾯俱到.除构造算法外，各章根据内容⾃⾝的特点，讨论的问题有所侧重.学习时我们⾸先要注意掌握⽅法的基本原理和思想，要注意⽅法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论.其次，要通过例⼦，学习使⽤各种数值⽅法解决实际计算问题，熟悉数值⽅法的计算过程.最后，为了掌握本课程的内容，还应做⼀定数量的理论分析与计算练习.1.2数值计算的误差1.2.1误差的来源应⽤数学⼯具解决实际问题，⾸先，要对被描述的实际问题进⾏抽象、简化，得到实际问题的数学模型.数学模型与实际问题之间会出现的误差，我们称之为模型误差.在数学模型中，通常要包含⼀些由观测数据确定的参数.数学模型中⼀些参数观测结果⼀般不是绝对准确的.我们把观测模型参数值产⽣的误差称为观测误差.例如，设⼀根铝棒在温度t时的实际长度为Lt,在t=0时的实际长度为L0，⽤lt来表⽰铝棒在温度为t时的长度计算值，并建⽴⼀个数学模型l t =L(1+at), a≈0.0000238/℃,其中a是由实验观测得到的常数，a∈[0.0000237,0.0000239],则称Lt -lt为模型误差，a-0.0000238是a 的观测误差.在解实际问题时，数学模型往往很复杂，因⽽不易获得分析解，这就需要建⽴⼀套⾏之有效的近似⽅法和数值⽅法.我们可能⽤容易计算的问题代替不易计算的问题⽽产⽣误差，也可能⽤有限的过程代替⽆限的过程⽽产⽣误差.我们将模型的准确解与⽤数值⽅法求得的准确解之间的误差称为截断误差或⽅法误差.例如，对函数()()35721sin 13!5!7!21!n x x x xn x x n +=-+-+++-+,该式右边有⽆限多项，计算机上⽆法计算.然⽽，根据微积分学中的泰勒（Taylor ）定理，当|x |较⼩时，我们若⽤前3项作为sin x 的近似值，则截断误差的绝对值不超过77!x .⽤计算机做数值计算时，⼀般也不能获得数值计算公式的准确解，需要对原始数据、中间结果和最终结果取有限位数字.我们将计算过程中取有限位数字进⾏运算⽽引起的误差称为舍⼊误差.例如，13=0.33333…,如果我们取⼩数点后4位数字，则13-0.3333=0.000033…就是舍⼊误差.在数值分析中，除了研究数学问题的算法外，还要研究计算结果的误差是否满⾜精度要求，这就是误差估计问题.在数值计算⽅法中，主要讨论的是截断误差和舍⼊误差.1.2.2 误差与有效数字定义1.1 设x 是某实数的精确值，A x 是它的⼀个近似值，则称x -A x 为近似值A x 的绝对误差，或简称误差.Ax x x-称为x A 的相对误差.当x =0时，相对误差没有意义.在实际计算中，精确值x 往往是不知道的，所以通常把AAx x x -作为A x 的相对误差.定义1.2 设x 是某实值的精确值，A x 是它的⼀个近似值，并可对A x 的绝对误差作估计|x -A x |?A ε，则称εA 是A x 的绝对误差界,或简称误差界.称AAx ε是A x 的相对误差界.例 1.1 我们知道π=3.1415926…,若取近似值πA =3.14,则π-πA =0.0015926…,可以估计绝对误差界为0.002，相对误差界为0.0006.例 1.2 测量⼀⽊板长是954 cm,问测量的相对误差界是多⼤？解因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界⼀般不超过最⼩刻度的半个单位，所以当x =954 cm 时，有A ε=0.5 cm ，其相对误差界为0.50.00052410.053%954AAx ε==< .定义1.3 设A x 是x 的⼀个近似值，将A x 写成12100.,k A i x a a a =±? , (1.1) 它可以是有限或⽆限⼩数的形式，其中i a (i =1,2,…)是0，1，…，9中的⼀个数字，1a ≠0,k 为整数.如果|x －A x |?0.5×10k n -,则称A x 为x 的具有n 位有效数字的近似值.可见，若近似值A x 的误差界是某⼀位的半个单位，该位到A x 的第⼀位⾮零数字共有n 位,则A x 有n 位有效数字.通常在x 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值，就采⽤四舍五⼊的原则，不难验证，采⽤四舍五⼊得到的近似值，其绝对误差界可以取为被保留的最后数位上的半个单位.例如|π－3.14|?0.5×210-, |π－3.142|?0.5×310-.按定义，3.14和3.142分别是具有3位和4位有效数字的近似值.显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差界就越⼩，反之也对.下⾯，我们给出相对误差界与有效数字的关系.定理1.1 设x 的近似值A x 有(1.1)式的表达式. (1) 如果A x 有n 位有效数字,则 111×102A nAx x x a --≤; (1.2)(2) 如果()111×1021A nAx x x a --≤+, (1.3)则A x ⾄少具有n 位有效数字.证由(1.1)式可得到()111--?+≤≤?k A k a x a . (1.4)所以，当A x 有n 位有效数字时11110.5101×10,×102k nA nk Ax x x a a ----?≤=即(1.2)式得证.由(1.3)式和(1.4)式有()()nk nk AAA A a a x x x x x x ---?=?+?+≤-=-105.0101211011111,即说明A x 有n 位有效数字，(2)得证.例1.30.1%,应取⼏位有效数字？解由于因此1a =4,设有n 位有效数字，则由(1.2)式，可令11110a -?≤,即410n -?18,得n ?4.故只要对4位有效数字，其相对误差就可⼩于0.1%,4.472.例1.4 已知近似数A x 的相对误差界为0.3%，问A x ⾄少有⼏位有效数字？解设A x 有n 位有效数字，由于A x 的第⼀个有效数1a 没有具体给定，⽽我们知道1a ⼀定是1,2,…,9中的⼀个，由于()12311101000210291A Ax x x --≤<=+,故由(1.3)式知n=2,即A x ⾄少有2位有效数字.1.2.3 函数求值的误差估计对⼀元函数ｆ(x )，⾃变量x 的⼀个近似值为A x ，以ｆ(A x )近似ｆ(x )，其误差界记作ε(ｆ(A x )).若ｆ(x )具有⼆阶连续导数，ｆ′(A x )与ｆ″(A x )的⽐值不太⼤，则可忽略|x -A x |的⼆次项，由Taylor 展开式得到ｆ(A x )的⼀个近似误差界ε(ｆ(A x ))≈|ｆ′(A x )|ε(A x ).对n 元函数ｆ(x 1,x 2,…,x n )，⾃变量x 1,x 2,…,x n 的近似值分别为x 1A ,x 2A ,…,x n A ，则有()()()12121,,,,,,nn A A nA k kA k k Af f x x x f x x x x x x=??-≈- ∑ ,其中()12,,,A A nA k k f f x x x x x A.因此，可以得到函数值的⼀个近似误差界()()()121,,,nAA nA kA k k Af f x x x x x εε=??≈ ∑. 特别地，对ｆ(x 1,x 2)=x 1±x 2有ε(x 1A ±x 2A )=ε(x 1A )+ε(x 2A ).同样，可以得到ε(x 1A x 2A )≈|x 1A |ε(x 2A )+|x 2A |ε(x 1A ),()()12211222A A A A A A A x x x x x x x εεε+??≈，20A x ≠例1.5 设有长为l,宽为d 的某场地.现测得l 的近似值l A =120 m,d 的近似值d A =90 m ，并已知它们的误差界为|l-l A |?0.2 m,|d-d A |?0.2 m.试估计该场地⾯积S=ld 的误差界和相对误差界.解这⾥ε(l A )=0.2,ε(d A )=0.2,并且有2,,10800A A A S S d l S l d mld====.于是有误差界()21200.2900.242A S m ε≈?+?=,相对误差界()()420.39%10800A r A AS S l dεε=≈=.例1.6 设有3个近似数a=2.31, b=1.93, c=2.24,它们都有3位有效数字.试计算p=a+bc 的误差界和相对误差界，并问p 的计算结果能有⼏位有效数字?解 p=2.31+1.93×2.24=6.6332.于是有误差界ε(p)=ε(a)+ε(bc)≈ε(a)+|b|ε(c)+|c|ε(b) =0.005+0.005(1.93+2.24)=0.02585,相对误差界εr (p)=()0.025856.6332p pε≈≈0.39%.因为ε(p)≈0.02585<0.05,所以p=6.6332能有2位有效数字.1.2.4 计算机中数的表⽰任意⼀个⾮零实数⽤(1.1)式表⽰，是规格化的⼗进制科学记数⽅法.在计算机中通常采⽤⼆进制的数系(或其变形的⼗六进制等),并且表⽰成与⼗进制类似的规格化形式，即浮点形式±2m ×0.β1β2…βt ,这⾥整数m 称为阶码，⽤⼆进制表⽰为m=±α1α2…αs , αj =0或1(j=1,2,…,s),s 是阶的位数.⼩数0.β1β2…βt 称为尾数,其中β1=1,βj =0或1(j=2,3,…,t)，t 是尾数部位的位数.s 和t 与具体的机器有关.由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表⽰的数系是⼀个特殊的离散集合,此集合的数称为机器数.⽤浮点⽅式表⽰的数有⽐较⼤的取值范围.⼗进制输⼊计算机时转换成⼆进制，并对t 位后⾯的数作舍⼊处理，使得尾数为t 位，因此⼀般都有舍⼊误差.两个⼆进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似的舍⼊处理，使得尾数为t 位，从⽽也有舍⼊误差.在实现算法时，计算的最后结果与算法的精确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍⼊误差造成的，包括输⼊数据和算术运算的舍⼊误差.因此有必要对计算机中数的浮点表⽰⽅法和舍⼊误差有⼀个初步的了解.有时为了分析某⼀个计算⽅法可能出现的误差现象，为了适应⼈们的习惯，我们会采⽤⼗进制实数系统进⾏误差分析.1.3 数值稳定性和要注意的若⼲原则 1.3.1 数值⽅法的稳定性实际计算时，给定的数据会有误差，数值计算中也会产⽣误差，并且，这些误差在进⼀步的计算中会有误差传播.因此，尽管数值计算中的误差估计⽐较困难，我们还是应该重视计算过程中的误差分析.定义 1.4 对于某个数值计算⽅法，如果输⼊数据的误差在计算过程中迅速增长⽽得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的.下⾯举例说明误差传播的现象.例 1.7 计算积分值105nxdx I x =+?, n=0,1,…,6.解由于要计算系列的积分值，我们先推导In 的⼀个递推公式.由1110555n n n n x x I I dx x --++=+?111n xdx n-==,可得下⾯两个递推算法.算法1：115n n I I n-=-,n=1,2, (6)算法2：1115n n I I n -??=-,n=6,5, (1)直接计算可得0ln 6ln 5I =-.如果我们⽤4位数字计算，得I 0的近似值为0I *=0.1823.记n n n E I I *=-,I n *为In 的近似值.对算法1，有15n n E E -=-=…=()5n-E 0.按以上初始值I0的取法有|E 0|?0.5×410-,事实上|E 0|≈0.22×410-.这样，我们得到|E 6|=65|E 0|≈0.34.这个数已经⼤⼤超过了I 6的⼤⼩，所以6I *连⼀位有效数字也没有了，误差掩盖了真值.对算法2,有E k-n =15n ??-E k ,|E 0|=615??|E 6|.如果我们能够给出I 6的⼀个近似值，则可由算法2计算I n (n=5,4,…,0)的近似值.并且，即使E 6较⼤，得到的近似值的误差将较⼩.由于()()11011616551kkk xxI d d x x k k =<<=++??,因此，可取Ik 的⼀个近似值为()()11126151k I k k *=+?? ? ?++??. 对k=6有6I *=0.0262.按0I *=0.1823和6I *=0.0262，分别按算法1和算法2计算，计算结果如表1-1，其中()1n I 为算法1的计算值, ()2n I 为算法2的计算值.易知，对于任何⾃然数n,都有0表1-1n()1nI()2nInI （4位）0 0.1823 0.1823 0.18231 0.0885 0.0884 0.08842 0.0575 0.0580 0.05803 0.0458 0.0431 0.04314 0.0210 0.0344 0.03435 0.0950 0.0281 0.02856-0.3083 0.0262 0.0243当然，数值不稳定的⽅法⼀般在实际计算中不能采⽤.数值不稳定的现象属于误差危害现象.下⾯讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题.1.3.2 避免有效数字的损失在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很⼤，⽽计算机位数有限，如不注意，“⼩数”的作⽤可能消失，即出现“⼤数”吃“⼩数”的现象. 例1.8 ⽤3位⼗进制数字计算x =101+δ1+δ2+…+δ100,其中0.1?δi ?0.4,i =1,2, (100)解在计算机内计算时，要写成浮点数形式，且要对阶.如果是101与δ1相加，对阶时，101=0.101×103,δ1=0.000×103.因此,如果我们⾃左⾄右逐个相加，则所有的δi 都会被舍掉，得x ≈101.但若把所有的δi 先加起来，再与101相加，就有111=101+100×0.1?x ?101+100×0.4=141.可见，计算的次序会产⽣很⼤的影响.这是因为⽤计算机计算时，在运算中要“对阶”，对阶引起了⼤数吃⼩数的现象.⼤数吃⼩数在有些情况下是允许的，但有些情况下则会造成谬误.在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失.例1.9 求实系数⼆次⽅程20ax bx c ++=的根，其中b 2-4ac>0,ab ≠0. 解考虑两种算法. 算法1:1,22x a=算法2:(12b sign b x a--=, 21c x ax =,其中sign 表⽰取数的符号，即()1,0,0,0,1,0.b sign b b b >??==??-对算法1，若ac b 42>>,则是不稳定的，否则是稳定的.这是因为在算法1中分⼦会有相近数相减的情形,会造成有效数字的严重损失,从⽽结果的误差很⼤.算法2不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的.因此称算法1是条件稳定的，算法2是⽆条件稳定的.例如，对于⽅程262.10 1.0000x x ++=,⽤4位有效数字计算，结果如下：算法1:x 1=-62.08, x 2=-0.02000. 算法2:x 1=-62.08, x 2=-0.01611.准确解是x 1=-62.083892…,x 2=-0.016107237….这⾥，ac b 42>>,所以算法1不稳定，舍⼊误差对x 2的影响⼤.在进⾏数值计算时，如果遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失.例如，如果|x |≈0,有变换公式1cos sin sin 1cos x x xx-=+.如果x 1≈x 2,有变换公式1122lg lg lgx x x x -=.如果x 〉〉1,有变换公式.此外，⽤绝对值很⼩的数作除数时，舍⼊误差会很⼤，可能对计算结果带来严重影响.因此，要避免除数绝对值远远⼩于被除数绝对值的除法运算.如果⽆法改变算法，则采⽤增加有效位数进⾏计算，或在计算上采⽤双精度运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.1.3.3 减少运算次数在数值计算中，要注意简化计算步骤，减少运算次数，这也是数值分析中所要研究的重要内容.同样⼀个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少误差的积累.下⾯举例说明简化计算公式的重要性.例1.10 给定x ,计算多项式()110nn n n n P x a x a xa --=+++的值.如果我们先求ak x k ，需要进⾏k 次乘法，再相加，则总共需要()12n n +次乘法和n次加法才能得到⼀个多项式的值.如果我们将多项式写成下⾯的形式()(){}1210n n n n P x x x x a x a a a a --??=+++++?? ,则只需n 次乘法和n 次加法即可得到⼀个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法，可描述为1,,1,2,,0,n n k k k u a u u x a k n n +=??=+=--?最后有()0n u P x =.例1.11 计算ln2的值. 解如果利⽤级数()()11ln 11nn n xx n∞+=+=-∑计算ln2，若要精确到误差的绝对值⼩于10-5,要计算10万项求和，计算量很⼤，并且舍⼊误差的积累也⼗分严重.如果改⽤级数()35211ln 213!5!21!n xx x xx x n +??+=+++++ ? ?-+??来计算ln2，取x =1,则只要计算前9项，截断误差便⼩于10-10.1.4 向量和矩阵的范数为了对矩阵计算进⾏数值分析，我们需要对向量和矩阵的“⼤⼩”引进某种度量.在解析⼏何中，向量的⼤⼩和两个向量之差的⼤⼩是⽤“长度”和“距离”的概念来度量的.在实数域中，数的⼤⼩和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的.范数是绝对值概念的⾃然推⼴.1.4.1 向量的范数定义1.5 如果向量x ∈n R 的某个实值函数ｆ(x )=‖x ‖满⾜ (1) 正定性：x ?0,且x =0当且仅当x =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有αx =|α|x ； (3) 三⾓不等式：对任意x ,y ∈R n ,都有+x y ?x +y ,则称x 为n R 上的⼀个向量范数.在n R 中，记()12,,,Tn x x x =x ,实际计算中最常⽤的向量范数有： (1) 向量的∞范数1max i i nx ∞≤≤=x；(2) 向量的1范数11nii x ==∑x；(3) 向量的2范数12221in x i ==??∑x.容易验证，向量的∞范数和1范数满⾜定义1.5中的条件.对于2范数，满⾜定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利⽤向量内积的Cauchy-Schwarz 不等式可以验证.更⼀般地，有如下向量的p 范数1pipn px i ==??∑x,其中p ∈ [1,+∞).容易验证1ppn∞∞≤≤xxx,由此可得如下定理.定理1.2 lim pp ∞→∞=xx.下⾯，我们利⽤向量范数的连续性来说明向量范数的重要特征.定理1.3 设给定A ∈R n ×n ,x =(x 1,x 2,…,x n )T ∈R n ,则对R n 上每⼀种向量范数，‖A x ‖都是x 1,x 2,…,x n 的n 元连续函数.证设a j 为A 的列向量，将A 写成A =(a 1,a 2,…,a n ). 则由三⾓不等式，对h =(h 1,h 2,…,h n )T ∈R n,有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|?‖A h ‖=‖1ni i h =∑a i ‖1ni i h =∑‖a i ‖M max|h i |,其中M=1ni =∑‖a i ‖.所以，对任意的ε>0,当max|h i |<Mε时，有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|<ε, 这就证明了‖A x ‖的连续性.推论1.1 ‖x ‖是x 的各分量的连续函数. 向量范数的⼀个重要特征是具有等价性.定理 1.4 R n 上的所有向量范数是彼此等价的，即对R n 上的任意两种向量范数‖x ‖s和‖x ‖t ，存在常数c 1,c 2>0,使得对任意x ，有c 1‖x ‖s ?‖x ‖t ?c 2‖x ‖s .证只要就‖x ‖s =‖x ‖∞证明上式成⽴即可，即证明存在常数c 1,c 2>0,对⼀切x ∈R n且x ≠0，有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.记R n 上的有界闭集D={x :x =(x 1,x 2,…,x n )T ,‖x ‖∞=1}.由定理1.3的推论知，‖x ‖t 是D 上的n 元连续函数，所以在D 上有最⼤值c 2和最⼩值c 1,且x ∈D 时有x ≠0,故有c 2?c 1>0.现考虑x ∈R n ,且x ≠0,则有∞x x ∈D,所以有c 1?‖∞x x ‖t ?c 2, ?x ∈R n ,x ≠0.从⽽对x ≠0有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.⽽x =0时上式⾃然成⽴，定理得证.由于向量范数之间具有等价性，对于范数的极限性质，我们只需对⼀种范数进⾏讨论，其余范数也都具有相似的结论.⽐如，我们可以⽅便地讨论向量序列的收敛性.定义1.6 设向量序列x (k)=()()()()12,,,Tk k k nx x x ∈R n ,k=1,2,…,若存在x *=()12 ,,,Tn x x x ***∈R n ,使得()lim k iik x x *→∞=, i =1,2,…,n,则称序列{x (k)}收敛于x *,记为()lim k ik *→∞=x x.按定义有)()lim lim 0k k k k **→∞→∞∞=?-=xx xx.⼜因为()()()12k k k c c ***∞∞-≤-≤-xxxxxx,所以有()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=xx xx.因此，若向量序列在⼀种范数下收敛，则在其他范数下也收敛.不必强调是在哪种范数意义下收敛.1.4.2矩阵的范数定义1.7 如果矩阵A ∈R n ×n 的某个实值函数ｆ(A )=‖A ‖满⾜ (1) 正定性：‖A ‖?0,且‖A ‖=0当且仅当A =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有‖αA ‖=|α|‖A ‖；(3) 三⾓不等式：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A +B ‖?‖A ‖+‖B ‖； (4) 相容性：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A B ‖?‖A ‖‖B ‖；则称‖A ‖为Rn ×n上的⼀个矩阵范数.可以验证，对()ij n na ?=A ,12211Fn n a ij i j ?? ?=∑∑ ?==??A是⼀种矩阵范数，称之为Froben i us 范数，简称F 范数.由于矩阵与向量常常同时参与讨论与计算，矩阵范数与向量范数之间需要有⼀种联系. 定义1.8 对于给定的R n 上的⼀种向量范数‖x ‖和R n ×n 上的⼀种矩阵范数‖A ‖，如果满⾜‖A x ‖?‖A ‖‖x ‖,则称矩阵范数‖A ‖与向量范数‖x ‖相容.上⾯的定义1.7是矩阵范数的⼀般定义，下⾯我们通过已给的向量范数来定义与之相容的矩阵范数.定义 1.9 设x ∈R n ,A ∈R n ×n ,对给出的⼀种向量范数v x ,相应地定义⼀个矩阵的⾮负函数m axvvx v≠=A x Ax.称之为由向量范数导出的矩阵范数，也称为算⼦范数或从属范数.由定义可得vvv≤A xAx，1max vvv==xAAx.算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(1)和(2)是显然的，现验证满⾜条件（3）和（4）.对任意的A ,B ∈R n ×n ,有()1maxvvv =+=+xA B x11max max v vvvvvxx==≤+=+Ax BxAB1max vvv==xABABx1max vvvvvv=≤=xABxA.因此，算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(3)和(4).由常⽤的向量范数，可以导出与其相容的矩阵算⼦范数.定理1.5 设A ∈R n ×n ,记()ij n na ?=A ,则(1)11max nij i nj a ∞≤≤==∑A,称之为矩阵A 的⾏范数；(2) 111m ax nij j ni a ≤≤==∑A ，称之为矩阵A 的列范数；(3)2=A称之为矩阵A 的2范数或谱范数，其中，()max TλA A 表⽰T A A的最⼤特征值.证这⾥只对(1)和(3)给出证明，(2)的证明同理可得. 先证明(1):设x =(x 1,x 2,…,x n )T ≠0,不妨设A ≠0，则有1111max max nnij j ij i ni nj j xa x xa ∞∞≤≤≤≤===≤∑∑A .111max max nij xi nj a ∞∞∞=≤≤===∑AAx.设矩阵A 的第p ⾏元素的绝对值之和达到最⼤，即111max nnpj ij i nj j a a ≤≤===∑∑.取向量()12,,,Tn ξξξ= ξ,其中1,0,1,0.a pj j apjξ≥??=?-显然，‖ξ‖∞=1,⽽且1111m ax m axnn∞∞=≤≤===≥==∑∑xAA xA ξ.于是(1)得证.再证明(3):显然，A TA 是对称半正定矩阵，它的全部特征值均⾮负，设为120n λλλ≥≥≥≥ .由实对称矩阵的性质，各特征值对应的特征向量必正交.设对应的标准正交特征向量为12,,,nu u u ,即T i i i λ=A Au u (i =1,2,…,n),(u i ,u j )=δi j (i ,j=1,2,…,n).对向量x ∈R n ,‖x ‖2=1,可由R n 的⼀组基u i (i =1,2,…,n)线性表⽰，即有1niii c ==∑x u ,22211nii c===∑x11nnT Ti ii i i cc λλλ====≤=∑∑A xx A A x .另⼀⽅⾯，取ξ=u 1,显然有‖ξ‖2=1,211112T T Tλλ===A ξξA A ξu u .因此，2221m ax ===xAA x得证.由定理1.5可见，计算⼀个矩阵的⾏范数和列范数是⽐较容易的，⽽矩阵的2范数计算却不⽅便，但由于它有许多好的性质，所以在理论上还是有⽤的.例1.12 设矩阵1234-??=解 {}m ax 3,77∞==A,{}1m ax 4,66==A ,10141420T-??=-A A ()21014det 3041420Tλλλλλ--==-+-I A A ,求得115λ=+215λ=-因此25.46=≈A.定义1.10 设A ∈R n ×n 的特征值为λi (i =1,2,…,n),称()1max i i nρλ≤≤=A为A 的谱半径.谱半径在⼏何上可解释为以原点为圆⼼，能包含A 的全部特征值的圆的半径中最⼩者.例1.13 计算例1.12中矩阵的谱半径.解由A 的特征⽅程()2=--=-I A得12λ=,22λ=所以() 5.372ρ=≈A .定理1.6 设A ∈R n ×n ,则有()ρ≤A A .证设A x =λx ,x ≠0,且|λ|=ρ(A ),必存在向量y ,使x y T 不是零矩阵.于是()TTTTA ρλ==≤A xyxyxyA xy,即得ρ(A )?‖A ‖.例1.14 设矩阵A 与矩阵B 是对称的，求证ρ(A +B )?ρ(A )+ρ(B ).证因T =A A ,于是有()()()222max max 2A A AA ,即‖A ‖2=ρ(A ).同理‖B ‖2=ρ(B ).由于A +B =(A +B )T,因此()()()222ρρρ+=+≤+=+A B A BABA B .定理1.7 如果‖B ‖<1,则I ±B 为⾮奇异矩阵，且()111-±≤-I B B,这⾥的矩阵范数是指矩阵的算⼦范数.证若I ±B 奇异，则存在向量x ≠0,使(I ±B )x =0,故有ρ(B )?1,这与‖B ‖<1⽭盾，所以I ±B ⾮奇异.由于()()11--±=± I B I B I B ,于是得()()11--±≤+±I B I BI B .上的任意两种矩阵范数都是等价的，即对Rn ×n上的任意两种矩阵范数sA和t A ，存在常数c 1,c 2>0,使得12stsc c ≤≤AAA.由矩阵范数的等价性，我们可以⽤矩阵的范数描述矩阵序列的极限性质.定义1.11 设矩阵序列()()()kk n nijn na ??=∈A R,k=1,2,…,若存在()n nij n na **=∈A R,使得()lim k ijijk a a *→∞()lim k k *→∞=AA.可以验证()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=AA AA.评注本章介绍了数值计算的研究对象、误差及相关概念、数值计算的稳定性及构造算法的基本原则.考虑到矩阵计算的数值分析，本章还介绍了向量范数和矩阵范数的基本概念和常⽤定理.误差分析问题是数值分析中重要⽽困难的问题.误差的基本概念和误差分析的若⼲原则，对学习本课程是很有必要的.但是，作为⼯程或科学计算的实际问题则要复杂得多，往往要根据不同问题分门别类地进⾏分析.例如，由于舍⼊误差有随机性，有⼈应⽤概率的观点研究误差规律.在⼯程计算中，常⽤⼏种不同办法（包括实验⽅法）进⾏⽐较，以确定计算结果的可靠性.20世纪60年代以来，发展了两种估计误差的理论：⼀种是J.H.W i lk i nson 等⼈针对计算机浮点算法提出了⼀套预先估计的研究误差的⽅法，使矩阵运算的舍⼊误差研究获得了新发展；另⼀种是R .E.Moore 等⼈应⽤区间分析理论估计误差，开创了研究误差的新⽅法. 关于范数⽅⾯，所述内容是为以下各章服务的⼀些初步概念和常⽤的定理，对本书够⽤就可以了.例如只讨论了R n ×n 的范数，⽽没有顾及R n ×m .⼜例如介绍了R n 和R n ×n 上范数的等价性，此性质对有限维空间都是成⽴的，⽽对于C[a,b]则没有这个性质，这些都是赋范线性空间有关的问题，详细讨论这些问题是泛函分析的内容.习题 11.1 已知e=2.71828…,问下列近似值A x 有⼏位有效数字，相对误差界是多少？ (1) x =e, A x =2.7； (2) x =e, A x =2.718； (3) x =e100, A x =0.027； (4) x =e100, A x =0.02718. 1.2 设原始数据的下列近似值每位都是有效数字：1x *=1.1021, 2x *=0.031, 3x *=56.430. 试计算(1) 1x *+2x *+3x *；(2)，并估计它们的相对误差界.1.3 设x 的相对误差界为δ,求n x 的相对误差界.1.4 设x >0，x 的相对误差界为δ，求ln2的绝对误差界.1.5 为了使计算球体体积时的相对误差不超过1%，问测量半径R 时的允许相对误差界是多少？1.6 三⾓函数值取4位有效数字，怎样计算1-cos2°才能保证精度？ 1.7 设0Y =28，按递推公式nY=1n Y --…,计算.若取27.982(5位有效数字)，试问计算Y 100将有多⼤误差?1.8 求解⽅程25610x x ++=，使其根⾄少具有4位有效数字(≈27.982).1.9 正⽅形的边长⼤约为100 cm ，应怎样测量才能使其⾯积的误差不超过21cm ? 1.10 序列{yn}满⾜递推关系1101n n y y -=-,n=1,2,….若y 0 1.41(3位有效数字)，计算到y 10时的误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?1.11 对积分11n x n I x edx -=,n=0,1,…,验证101I e-=-,11n n I nI -=-.若取e -1≈0.3679,按递推公式11n n I nI -=-，⽤4位有效数字计算I 0,I 1,…,I 9,并证明这种算法是不稳定的.1.12 反双曲正弦函数为()(ln f x x =+.如何计算ｆ(x )才能避免有效数字的损(1) sin x -siny ； (2) arctan x -arctany ；(3)2； (4)212xe-.1.14 已知三⾓形⾯积1sin 2s ab C=,其中C 为弧度，0π，且测量a,b,C 的误差分别为Δa,Δb,ΔC ，证明⾯积的误差Δs 满⾜s a b C s ab C≤++ .1.15 设P ∈R n ×n 且⾮奇异，⼜设‖x ‖为R n 上的⼀种向量范数，定义p=xP x.试证明‖ｘ‖P 是R n 上的⼀种向量范数.1.16 设A ∈R n ×n 为对称正定矩阵，定义()12,A=xA x x .试证明‖ｘ‖A 为R n 上的⼀种向量范数.1.17 设矩阵0.60.50.10.3??=2F≤≤AA,并说明‖A ‖F 与‖ｘ‖2相容.1.19 设P ∈Rn ×n且⾮奇异，⼜设‖ｘ‖为R n上的⼀种向量范数，定义范数‖ｘ‖P =‖P x ‖.证明对应于‖ｘ‖P 的算⼦范数1 p-=APAP.1.20 设A 为⾮奇异矩阵，求证：11m iny ∞-≠∞∞=A y yA.。
绪论
15
从(2.2)可得到具有 n 位有效数字的近似数 x*，其绝对 (2.2)可得到具有 误差限为
1 ε* = ×10m−n+1, 2− x * ≤ 1 ×10m−n+1. 2.2） （2.2） x 2 相同的情况下， 越小， 在m 相同的情况下， n越大则 10m−n+1 越小，故有效位数越
多，绝对误差限越小. 绝对误差限越小.
24
~ 当初值取为 I0 ≈ 0.6321 = I0 时，用（3.2）递推 3.2）
计算公式为
~ I0 = 0.6321 ; (A) ~ ~ ( 1 ). n −1 InI=1− nIn=1 2,n −), ,2,L 表1=1 In =1− n−1 (n , L ~ ~ 1 ~ n I (用 计算) n In(用 计算) (A) (A) 3.2） 计算结果见表1 ∫ ex In 列− 计算结果见表−1-1的dx =1. e−1. n（3.2） I0 =e1 0 0 0.6321 ↓~ 5 0.1480 ↓ ~ 近似 就是初值误差， 用 I0 I0 产生的误差 E0 = I0 − I0 就是初值误差， 1 0.3679 6 0.1120 2 7 0.2160 它对后面计算结果是有影响的. 0.2642 它对后面计算结果是有影响的. 3 0.2074 8 −0.7280 4 0.1704 9 7.552
22
0.3.2
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算， 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 数值不稳定 例5 计算 In = e
− 1
∫
1
0
xnexdx (n = 0,1 L 并估计误差. , )并估计误差.
高等数学(数值计算方法)
第1章绪论1.1数值计算方法的对象与特点1.1.1 什么是数值计算方法现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。
比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星设计开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。
发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。
有如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。
计算问题可以数是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，各行各业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。
研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算方法。
计算方法属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。
1.1.2 数值计算方法的内容数值计算方法也叫做计算数学或数值分析。
数值计算方法主要内容包括非线性方程求根、线性代数方程组解法、微分方程的数值解法、插值问题、函数的数值逼近问题、概率统计计算问题等等，还要研究解的存在性、惟一性、收敛性和误差分析等理论问题。
我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。
对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。
怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。
在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。
迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。
迭代法还可以用来求解线性方程组的解。
求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。
1数值计算方法1解析
i 2 ,3 , , n
第一章
引论
Ax b 第一章
i 2 ,3 , , n 绪论
§ 1.1 数值计算的研究对象与特点 § 1.2 数值问题与数值方法
a11 a21 A an 1 a12 a1 n 误差 § 1.3 a22 a2 n i 1 b l x i ij j j 1 an 2 ann x i lii
§ 1.1 计算机数值方法的研究对象与特点
以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程:
总体设计——模型的细化 详细设计——主要为算法设计 程序设计
计算机数值方法研究的是将数学模型化为数值问题， 并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法
§ 1.2 数值问题与数值算法
一、数值问题 数值问题： 输入数据与输出数据之间关系
如求根公式 应化为公式
x1 , 2
x1 , 2
b b 2 4ac 2a
b sqrt(b 2 4ac) 2a
2 n x x ex 1 x 2! n!
超越函数e
x
应化为
函数y( x)的导数y( x)的计算应化为
y( x h ) y( x ) y( x ) h
3.14159265
2 1.414213562
1 1 0.166666666 3! 6
过失误差
3.1415927
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
由于模型错误或方法错误引起的误差. 这类误差一般可以避免
数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是 难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考 虑和分析的就是截断误差和舍入误差
第一章 数值计算方法的基本概念
b−a [ f (a) + f (b)] 2
e = x − x∗
为近似值 x 的绝对误差，简称误差。
∗
（2.1）
一般情况下，我们只能知道近似值 x ，而不只准确值 x ，但可以根据测量工具或计算 的情况，对绝对误差的大小范围作出估计，即可以给出一个正数ε，使得
∗
e = x − x∗ ≤ ε
∗
(2.2)
1 1 11 ⎧ ⎪ x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 6 ⎪ 1 1 13 ⎪1 ⎨ x1 + x 2 + x3 = 3 4 12 ⎪2 1 1 1 ⎪ x + x + x = 47 1 2 3 ⎪ 4 5 60 ⎩3
求解时，先将系数舍入成两位有效数字的数，变为
⎧ x1 + 0.5 x 2 + 0.33 x3 = 1.8 ⎪ ⎨ 0.50 x1 + 0.33 x 2 + 0.25 x3 = 1.1 ⎪0.33 x + 0.25 x + 0.20 x = 0.78 1 2 3 ⎩
按四舍五入取四位小数，可得 2 = 1.4142 ，前面已经提到，该数的绝对误差不超过末位 数字的半个单位，即
∗
2 − 1.4142 ≤
定义 2.1 设 x 的近似值
1 *10 − 4 = 0.00005 2
(a1 ≠ 0)
（2.6）
x ∗ = ±0.a1 a 2 L a n * 10 m
如果
x − x∗ ≤
§2
误差来源与误差的基本概念
2.1 误差的来源及分类 在数值计算中，误差是不可避免的。引起误差的因素很多，主要的原因有以下几种： 1.模型误差 解决实际问题的科学计算 ，首先要建立数学模型，即将实际问题经过 抽象合理简化，略去一些次要因素。因而它只是对所提出的问题的一种近似描述，包含有误 差，这种误差称为模型误差。 2.观察误差 在数学模型中总含有一些参数，如温度、长度、电压等，它们的值往往
《数值计算方法》课件1绪论
x
y
(
f
(
x,
y))
|
f
(x, x
y)
|
(x)
|
f
(x, y
y)
|
(
y)
r
(
f
(x,
y))
( f (x, y)) f (x, y)
(1 6)
x
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
误差分析---- 数值计算的的误差
(a b) (a) (b)
r
(a
b)
(a) a
b
(b)
(ab) b (a) a (b)
两个例子 模型误差 方法误差
h 1 gt 2 2
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
x x* x
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
➢设x是某个精确值x*的近似值，则称 x* x 为近似值x的 绝对误差，简称误差。如果能找到绝对误差值的一个上
界 ，使得 x* x ，称 是近似值x的绝对误差界，
f
f
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
➢有效数字
• 若近似值的绝对误差界是某一数位上的半个单位，则称精
确到该位，若从该位到的左起第一位非零数字一共有n位， 则称近似值有n位有效数字。
• 从定义可以看出，通常的“四舍五入”后得到的数字都是
1.2 误差分析
1.2.1 误差的来源
• 通常，解决一个实际问题需经过以下几个步骤。
实际问题
数学模型
数值算法
计算结果
计算方法1
本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的 数值分析方法。
4
利用计算机解决实际科学计算问题，一般经过以 下几个步骤：
Step1：实际问题的提出
Step2：建立数学模型
Step3：确定计算方法
Step4：程序设计
Step5：上机实现，得出结果
5
计算方法的研究对象和内容：研究求解各种数学 问题的数值方法及其理论，并且将方法在计算机上实 现，求出问题的数值解，或者说是问题的近似解。
计算方法公理式论、分算析法（（收方敛法性,）稳定性, 误差分析等）
注意：我们在学习中，不但要掌握并会使用算法， 还要重视必要的理论分析，即分析算法的收敛性、稳 定性、误差分析等，这样才能保证计算结果的可靠性。
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： π* 0.31415101 ,
and |π * π| 0.5 103 0.5 1014
* 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3位。
注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
估计绝对误差界为0.002 ,
相对误差界为0.002 0.00064, 3.14
例 测量一木板长是954cm，问测量的相对误差限是多少？
实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不会
超过最小刻度的半个单位，因而
当x 954cm时，有 0.5cm，其相对误差界为
r
x
0.5 954
0.0005241
0.053 %
11
绪 论
06:35
五、判别程序质量高低的标准
1.1 1.2 1.3 1.4
是否能够解决问题 计算工作量的大小 存贮量的大小 程序的逻辑、结构简单、思路清晰，便于 程序的编写、阅读、修改、使用和学习。
06:35
1-2
数值计算的基本方法和途径
2.1 离散变量、离散化
离散变量：在定义域内，只能取有限个值的变量。 离 散 化：把连续变量转化为离散变量的过程。
将 求函数 y = x2 + 3x 变成 求函数值 y(x1)，y(x2)，...，y(xn) x1 < x2 < … < xn “离散化”是将非数值问题的数学模型转化为数 值问题的主要方法。
06:35
二、数值方法
数值方法:
是指解数值问题的在计算机上可 执行的系列计算公式。
计算机可执行的公式：是指只含加、减、乘、除的公式 现在的计算机几乎都含有关于开方的标准函数sqrt() 常见的在计算机上不能直接运行的计算有： （极限、超越函数、微分、积分等） 解决方法：将其化为可执行的 等价 或 近似等价 的运算
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
0
0.5
1
1.5
06:35
数值积分
2.2
逼
近
用简单函数 p(x) （逼近、近似函数）代替复杂函数 f(x) 称为逼近。多项式 p(x) =a0 + a1x + … + anxn用的最多。
1.0
0.8
压力 P(MPa) ,
0.6
0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x 2 0.2
06:35
例，求根公式 应转化为
第一章 数值计算方法 绪论
er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
数值计算方法第1章
解 由 f ( x ) 0解得 x1 101 , x2 100
即正根为 x 100 | f (100 ) | 2 x 1 |x 100 201 1 f ( x )在正根附近是病态的
如：取 x1* 99,则f (x1*) f (99) 200 取x1* 99.9,则f (x1*) f (99.9) 20.09
也就是自变量发生变微化小，函数值变化。极
多元函数误差估计
对于多元函数 y f ( x1 , x 2 ,..., x n ),
用
x*(
x
* 1
,
x
* 2
,...
x
* n
)T
代替
x ( x1 , x 2 ,...,
xn )T
其绝对误差为
e( f )
f
(
x
* 1
,
x
* 2
,...
x
* n
)
f ( x1 , x 2 ,...,
1.18322 1.18322 1.4
0.4
1.34164 1.34164 1.6
0.6
1.48324 1.48324 1.8
0.8
1.61245 1.61245 2.0
1.0
1.73205 1.73205 …
yn
y
1.84931 1.84931
1.94396 1.94396
2.04939 2.04939
例如 3.1415926..5...的 . 近似数 * 3.1416 则 e(*) 3.14163.1415926..5.
0.0000073..4.... 1104 2
数值计算方法（精品）
《数值计算方法》科学出版社黄明游第一章绪论1.1数值计算方法研究的对象、任务与特点一、关于本课程的名称本课程及其相近课程的名称有：《计算方法》、《数值计算》、《数值计算方法》、《数值分析》、《计算数学》、《科学计算》、《科学与工程计算》，等等。
二、数值计算方法概述（一）数值计算方法属于计算数学的范畴，是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。
由于近几十年来计算机的迅速发展，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值计算方法不断出现。
现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。
所以数值计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其它学科的联系十分紧密。
由于大量的问题要在计算机上求解，所以要对各种数值计算方法进行分析，其内容包括：误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存贮量和自适应性，这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效率和使用的方便性等。
当代实际的科学与工程计算中，计算问题往往是复杂的和综合的。
但是有一些最基础、最常用的数值计算方法，它们成为通常大学数值计算方法课程的内容。
本书主要讨论这些方法及其分析，它们包括逼近问题（函数的插值和逼近，数值积分和微分），线性代数问题（方程组和特征值问题）和非线性方程及方程组的数值解法问题，以及常微分方程的数值解法等。
这些是数值计算方法最基础的内容，不仅可以直接应用于实际计算，同时也是其它数值计算问题所用到的方法及其分析的基础。
（二）数值计算方法（或称计算方法）是研究数学问题求数值解的算法和有关理论的一门学科，它的理论与方法随计算工具的发展而发展。
在古代，人类研究的数学问题几乎总与计算有关，而计算工具的简陋，使求解问题受到很大限制。
现代科学技术日新月异，尤其是计算机技术飞速发展，人类可以用计算机进行复杂的数值计算、数据处理（包括图形，图像，声音，文字），计算机不仅是现代计算工具，而且已成了我们工作环境的一部分。
第1章数值分析-绪论
实际运算 Er (a) (x a) / a
r / a
例5 a=3.14是π的近似值。
E(a) 3.14 0.002
Er
(a)
0.002
0.002 3.14
6.36942104
三、有效数字 例如 3.14159265...
取3位,a=3.14,δ≤0.002 取5位,a=3.1416,δ≤0.000008
a 10m 0.a1a2...an
a1是1到9中的一个整数， a2,…,an为0到9中的任
意整数。m为整数，
且
E(a) x a 1 10mn 2
成立,
ห้องสมุดไป่ตู้
则称a近似 x 有n位有效数字。
【注】 近似数的有效数字不但给出了近似值的大小, 而且还指出了它的绝对误差限。
数值分析——绪论
例6 设 x 0.002567, a 0.00256 102 0.256 则 x a 0.00005 1 104
2
因为m=-2,所以n=2， 即a有2位有效数字。
若 a 0.00257 102 0.257
则
x a 0.000003 0.000005 1 105 2
因为m=-2,所以n=3， 即a有3位有效数字。
例7 设x =8.00001，则a=8.0000具有5位有效数字。
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ， 读出和该长度接近的刻度 a, a 是 x
的近似值，它的误差限是0.5mm.如读出的长度 是765mm，则
x 765 0.5 764.5 x 765.5
数值分析——绪论
对于一般情形 x a 即
a x a ，有时记为 x=a
例4 绝对误差的局限性例子。
第一章数值计算方法绪论
er ( y )
e ( y ) f(x)f(x) x xx f ( x ) xx f(x) x
x f(x) f(x)
er (x)
相对误差条件数
注：关于多元函数 yf(x1,x2,...xn ,)可类似讨论， 理论工具：Taylor公式
2、向后误差分析法：把舍入误差的累积与导出 A 的已
数值计算方法
第0章 课程介绍
什么是数值计算方法? 数值计算方法特点 数值计算方法重要性 本课程主要内容 本课程要求
什么是数值计算方法?
实际 问题
建立数学模型
近似结果 输
上机
出
计算
设计高效、 可靠的数值 方法
程序 设计
什么是数值计算方法? 数值计算方法是一种研究并解决数学问题的数值
若 x 的每一位都是有效数字，则x 称是有效数。
特别地，经“四舍五入”得到的数均为有效数
5.定理：
将 x 近似值 x 表示为 x 0.a 1a2 ak an 10m，
若 x * 有k位有效数字，则
； | er
|
1 2a1
10(k1)
x 反之，若
er
1 ， 10(k1) 则
注：(1)
近似数
x
1
,
x
2
四则运算得到的误差分别为
| e(x1 x2)| |e(x1)e(x2)|,
er ( x1 x2 )
e(x1) x1 x2
e(x2) x1 x2
,
(避免两近似数相减)
e
(
x x
1 2
)
x1e(x2) x2e(x1) x22
第1节 数值计算的任务与特点.ppt
提出实际问题
解
应用数学
决
建立数学模型
实
际
选用数值计算方法
计算数学
问
题
程序设计
的
步
骤
上机计算求出数值结果
对数值结果进行分析解释
1.1 数值计算的任务与特点
利用计算尺、电子计算机等计算工具来求解数学问题的 数值解的全过程,称为数值计算。 数值计算方法,是指将欲求解的数学模型(数学问题)简化 为一系列算术运算和逻辑运算,以便在计算机上求出问 题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分 析、计算。 这里所说的“算法”,不只是单纯的数学公式,而是指由 基本运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步 骤。
例3.一元二次方程的求解——算法的误差分析
求一元二次方程x2 109 4 x 4109 0的根
时，常用的公式是：x1,2 b
b2 4ac 2a
用这个公式并在字长为8位的计算机上计算，得
到的结果为x1 109, x2 0。
本题的两个根为x1 109, x2 4,可见计算机给出的 计算结果不对。
例1.多项式值的计算
P(x) an xn an1xn1 a1x a0 若直接计算ai xi (i 1, 2, , n),再逐次相加，共需做 1+2+ +n= n(n2+1)次乘法和n次加法。 n 10时，需要做55次乘法和10次加法。
例1.多项式值的计算——计算的复杂度
用著名的秦九韶(我国宋朝数学家)算法,将多项式改写成:
例4.定积分的计算——误差的传播
计算数列In
1 xn dx 0 x5
数值分析(李庆杨第四版)Cht1 绪论
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题,
f (x*) f (x) f (x)
x x
xf ( x) f (x)
Cp,
C p称为计算函数值问题的条件数. 例如f (x) x10,C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对 误差为2%,函数值相对误差为24%.
1、面向计算机
x x2 x3 , 23
ln1 x 1 x
1 (x x3 ), 23
2、可靠的理论分析,保证收敛性、稳定性
3、良好的计算复杂性
4、数值实验
四、如何学好数值分析
1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析 2、注重实际问题，练习、作业 3、积极动手上机实践
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
一般Cp 10认为是病态. 其他计算问题也要考虑条件数, 考虑是否病态.
二、算法的数值稳定性
考虑初始数据误差在计算中的传播问题.
例5 计算In e101 xnexdx, n 0,1,, 并估计误差.
In 1 nIn1, n 1,2,, I0 1 e1.
( A)II0n
0.6321, 1 nIn1,
(2.2)
2
例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五
入写出上述各数具有四位有效数字的近似数.
例2 考察三位有效数字重力加速度g,
若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2,
按(2.1)，m
g 9.80 0, n
3.
1 102, 2
绝对误差限1*
(x1* x2* ) (x1*) (x2* ),
(x1*x2* ) | x1* | (x2* ) | x2* | (x1*),
数值计算方法绪论
5
学习数值计算方法重要性
实际 问题
数学 模型
计算机 算法
程序 设计
计算机 计算
解答
科学计算的过程
6
计算机算法
数值算法
主要指与连续数学模型有关的算法如数值线性代数、 方程求解、数值逼近、数值微积分、微分方程数值解 和最优化计算方法等，它给出的是问题的近似解；
11
举例说明一
1. 求解线性方程组Ax=b，其中A为3阶可逆方阵 X=(x1,x2,x3)T;
2. 求代数方程x2+x-6=0在[0,4]上的根x*
3. 已知y=p(x)为[x0,x1]上的直线，满足p(x0)= y0 ，
4.
p(x1)= y1求p(x2) 计算定积分 I
b 1 dx(1 a b)
模型误差 观测误差
数学 模型 方法误差
数值 方法
程序 设计
舍入误差
计算机 计算
解答
31
2.误差的基本概念
定义0.1 设x为准确值，x*是x的一个近似值，称 e*=x*-x为近似值x*的绝对误差，或简称误差。
定义0.2 设 * 0，并满足 e* x* x *
则称 *为近似值x*的绝对误差限，或简称误差限。
37
定义0.6 若将x*近似值表示成十进制浮点数的标准 形式
x* 0.12 L L n 10m i : 0 ~ 9,1 0
如果
x* x 1 10mn 2
则说近似值x*具有n位有效数字。这里n为正整数，
m为整数。
38
例0.7 若 x* 3578.64 是x的具有6位有效数字的近
似值，试求 x* 的误差限。
数值分析--第1章绪论
第一章绪论上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。
它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。
在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。
在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。
然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。
1 数值分析的研究对象与特点数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。
概括为由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。
如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。
因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。
它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。
有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。
因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。
【优文档】数值分析的研究对象和特点PPT
第一章 绪论 用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉及多方 面的理论题，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，一个 作 作学的运我能作所时条条学的学的其面运时我面其用面空其 用所学的用评条 空数除为为习基算们有为以间标标习基习基次的算间们的次数的间次数以习基数价标间值构数数 时 本 、 自 多 数 ， 复 准 准 时 本 时 本 ， 理 、 复 自 理 ， 值 理 复 ，值 ， 时 本 值 一 准复 方 造值 值我理逻然种值数杂：：我理我理要论逻杂然论要方论杂要 方数我理方个： 杂法算各意结通 的数 法分 分们论辑应数分值性计计们论们论通题辑性应题通法题性通 法值们论法算计 性是法析 析首。运该值析分好算算首。首。过，运好该，过求，好过 求分首。求法算 好否外章掌合过 计值 具的 的先算选计的析是结结先先例例算是选例例解例是例 解析先解的结 是有，作根握，例 算基 基要和择算基既指果果要要子如和指择如子数如指子 数既要数好果 指效各方 有础 础注运代方础是节的的注注，，运节代，，学，节， 学是注学坏的 节，章为据方要子 过法 理知 知意算价法知一省精精意意学算算省价算学问算省学 问一意问主精 省最根识识掌顺小，识个时度度掌掌习法顺时小法习题法储习题个掌题要度储终据数内法重，程是论， ，握序又但，基间和和握握使的序间又的使首的存使 首基握首有和 存要内值容的视学。本 本方）能不本础，得得方方用收），能收用先收量用 先础方先两得 量通容否性课 课法构满一课性主到到法法各敛构主满敛各要敛，各 要性法要到 ，过自分自基误习最有、程 程的成足定程的要结结的的种性成要足性种构性主种 构的的构结 主大身不 不基的精都不，由果果基基数和的由精和数造和要数 造，基造果 要量的析身本差使后效实可 可本完度有可同运所所本本值稳完运度稳值算稳由值 算同本算所 由的特的的原分能 能原整要效能时算付付原原方定整算要定方法定使方 法时原法付 使数点用，，用面 面理的求。面也次出出理理法性的次求性法，性用法 ，也理，出 用值，基特理析各为最性面 面和解的面是数的的和和解等解数的等解即等的解 即是和即的 的实讨俱 俱思题算俱一来代代思思决。题来算。决由。数决 由一思由代 数验论础点 和 、种 了终和到 到想过法到个决价价想想实过决法实运据实 运个想运价 据来的知。 。，程。。应定。。，，际程定。际算量际 算应，算。 量检问， 思 收数 掌要 实要。用。要要计。。计规决计 规用要规决验题识讨 想 敛值 握通 践注性注注算算则定算 则性注则定。有意的意意问问（。问 （的意（。所，论， 性方 本过 性方数方方题题包题 包数方包侧本法学法法，，括， 括学法括重的要 和法 课大 都处学处处熟熟算熟 算学处算。课问注 稳解 程量 很理科理理悉悉术悉 术科理术的，的的数数数 ，的程题意 定决 的的 强技与技技值值值 与技不巧其巧巧方方方 其巧有方 性实 内数 的及他及及法法法 他及可所法 的际 容值 特其学其其的的的 学其与科与与计计计 科与能侧处 基计 ，实 点计的计计算算算 的计算联算算过过过 联算面重理 本算 还验 。机系机机程程程 系机面。的 理问 应来的十的的。。。 十的结分结结分结俱学技 论题做检合紧合合紧合， 密 ， ， 密 ，到习巧。，一验要。要要。要。时及熟定重重重重。视视视视除我其悉数数误误误误差差差差构们与数量值其分分分分造首计值的析析析析计次、、、、算先算方理算，收收收收敛敛敛敛法要机法论方要性性性性外注的和和和和稳稳稳稳，定定定定性性性性 分析与计算练习。
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数学学院 信息与计算科学系
完全没有实际意义, 而用Gauss消元法只需3060 次乘法运算. Cramer法则 vs Gauss消元法.
选择算法非常重要！
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二、计算方法的研究对象 微积分、线性代数、微分方程中的数学问 题。
数值逼近
数值代数
微分方程数值解
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算法不同, 计算量大不相同. 例如: 求解一个n阶线性方程组, 用行列式
解法的克莱姆法则要进行 (n+1)n!(n-1)次乘除
运算. n=20时, 大约进行1021 次运算, 如用每秒
3亿次乘法运算的巨型计算机要连续工作
10 100(年 ) 11 3 10 60 60 24 365
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四、计算方法的意义与学习方法 1. 意义 计算机的出现为大规模的数值计 算创造了条件, 研究适合于计算机的数值方 法变得十分迫切和必要. 计算方法是在大量 的数值计算实践和理论分析工作的基础上发 展起来的, 它不仅是一些数值方法的简单积 累 , 而且揭示包含在多种多样的数值方法之 间的结构和统一的原理.
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2. 学习方法
(1) 认识建立算法和对每个算法进行理论
分析是基本任务, 主动适应“公式多”和“理
论分析”的特点.
(2) 注重各章建立算法的问题的提出, 搞清 问题的基本提法、逐步深入的层次及提法的 正确性.
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(3) 理解每个算法建立的数学背景、数学 原理和基本线索，而且对一些最基本的线索 要非常熟悉. (4) 从各种算法的理论分析中学习理论推 理方法, 提高推理证明能力. (5) 认真进行数值计算的训练, 学习各种算 法完全为了应用于实际, 因此必须真会算.
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2. 要有可靠的理论分析 计算方法中的算法
理论主要是连续系统的离散化和离散型方程
的数值求解. 包括误差、稳定性、 收敛性、
计算量、存储量等. 3. 要有良好的计算复杂性 计算复杂性是算 法好坏的标志, 它包括时间复杂性 (计算时间
多少) 和空间复杂性 (占用存储单元多少).
际可行的算法 , 即算法只能由计算机可执行 的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成 .
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算法分类:
分类方法1：若算法包含有一个进程则 称其为串行算法，否则为并行算法。 分类方法2：从算法执行所花费的时间 角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称 其为数值型算法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算法。
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计算方法是研究适合在计算机上使用的
实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值
计算方法, 也叫数值分析.
换句话说, 计算方法是一种研究并解决
数学问题的数值近似解的方法，是在计算机
上使用的解数学问题的方法.
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一、计算方法课程的特点 1. 面向计算机 要根据计算机的特点提供实
山西省高等学校精品资源共享课
计算方法
Computing Methods
太原理工大学 信息与计算科学
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解决科学研究或工程技术问题，一般按 如下途径进行
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计
上机计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题的解
在科学研究、工程实践和经济管理等工作中，存 在大量的科学计算、数据处理等问题.应用计算机解 决数值计算问题是科技工作者应当具备的基本能力.
代数插值
数值逼近
曲线拟合
非线性方程求根
数值积分与数值微分
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线性方程组的数值方法
数值代数
矩阵特征值与特征向量 问题
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常微分方程数值解
微分方程数值解
偏微分方程数值解
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三、计算方法讲述的基本内容 1. 如何把数学模型归结为数值问题 2. 如何制定快速的算法 3. 如何估计一个给定算法的精度 3. 分析误差在计算过程中的积累和传播 4. 如何构造精度更高的算法 5. 如何使算法较少的占用存储量 6. 如何分析算法的优缺点
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五、计算方法课程的基本要求
– 掌握数值方法的基本原理 – 掌握常用的科学与工程计算的基本方法
– 能用所学方法在计算机上算出正确结果