期望与方差的性质

若X的取值比较集中，则方差较小；
若X的取值比较分散，则方差较大.
19

注意： 1) Var(X)0，即方差是一个非负实数。 2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的 方差为Var(X)。 3) 方差是刻划随机变量取值的分散程度的 一个特征。
20

方差的计算公式
(1)若 X 为离散型，概率分布为
注
性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
Y -1 pij X -1
18 18 18
0
18
1
18 18 18
p• j
38 28 38
0
1 pi•
0
18
38
28
38
1

XY P
-1
0
1
28
48
28
E ( X ) E (Y ) 0; E ( XY ) E ( X ) E (Y )
k ( k 1)
k 0


k
k!
e



2
e 2 e k 2 ( k 2)! k 0 k!

k 2
k
2 . 所以 Var ( X ) E ( X 2 ) [ EX ]2 .
25

(4)区间[a,b]上的均匀分布U[a,b] 1 , a xb 概率密度为：f ( x) b a 其它. 0,
10 100 10
E ( X ) E ( X ki ) 100e
k 1 i 1 k 1
k
100 e
k 1
10
k
100e (1 e 1 e

10
)
12

例6. 某厂家的自动生产线， 生产一件正品的 概率为 p (0<p<1)，生产一件次品的概率为 q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的 价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产 一件正品获利s－c元， 生产一件次品亏损c 元（假定每个产品的生产过程是相互独立的 ）。 若生产了N件产品，问厂家所获利润的 期望值是多少？
6

解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4. 1, 第i盒空， Xi 其它， 0, X X1 X 2 X 3 X 4 Xi P 1 0
4
3 4
3 1 4
4
4
3 E( X i ) 4
4
3 81 E( X ) 4 4 64
证明: Var( X ) E ( X E ( X ))2
E ( X 2 E ( X ) X E ( X ))
2 2 2 2
E( X ) 2E ( X ) E ( X )
2 2
E( X ) E ( X )
2
22

常见随机变量的方差
(1) 参数为p 的 0－1分布
2 2 2
23

(2)二项分布B(n, p)
k k nk 概率分布为： P( X k ) Cn p q , k 0, 1,, n.
已计算过：E(X)=np，又
E ( X ) E[ X ( X 1)] EX k (k 1) C p q
2 k 0 k n n k n k
8

因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子 内的概率为(1-1/M).
故，n个球都不落入这个盒子内的概率为 (1-1/M)n ,即:
1 n 1 n P{ X i 0} (1 ) , P{ X i 1} 1 (1 ) . M M i 1 , 2 ,, M .
13

Βιβλιοθήκη Baidu
解：设第j个产品的利润
s-c， 第j个产品是正品， Yj＝ 第j个产品是次品。 -c, j＝ 1,2, ，N。
则 SN Y1＋Y2＋...+YN为N件产品的总利润。
由已知 Yj P -c q s-c p
由于 EYj＝ s－c p－cq＝sp－c， j＝1，， 2 ...N， 因此， ESN＝EY1＋EY2＋...+EYN N sp－c 。
P( X xk ) pk , k 1,2,
则 Var ( X ) xk E ( X ) pk
2 k 1
(2)若 X 为连续型，概率密度为 f (x), 则
Var ( X )
x E ( X )

2
f ( x)dx
21

方差的计算公式
2 2 Var ( X ) E ( X ) E (X) 常用的公式：
概率分布为：
P( X 1) p, P( X 0) 1 p .
前面已经计算过：E(X)=p，又
E( X ) 1 P( X 1) 0 P( X 0) p .
2 2 2
所以
Var ( X ) E ( X ) [ EX ] p p pq .
解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为 X P
0 1
C C C 2! 144 4 4 4
1 4 1 2 3 4 4
2 4
2
C (2 2) 84 4 4 4 4
4
3
C 4 4 4 4
1 4 4
4! 4 4
24 144 84 4 81 E( X ) 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4 4 64
1, 第k次生产的第i件产品是正品； X ki 否则. 0， k 1,2, ,10, i 1,2, ,100, 则 X
X
k 1 i 1
10 100
ki .
11

例5.（续）
而X ki 服从 p e k 的( 0 — 1)分布， E ( X ki ) e k . i 1,2,,100, 所以
中心
乙炮
甲炮射击结果
乙炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近， 所以乙炮的射击效果好.
16

为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 这个数字特征就是我们下面要介绍的
方差
17


A. 方差的概念
定义 设随机变量 X 的数学期望为 E(X), 若 E(X-
1 n E ( X i ) 1 (1 ) , M
i 1 , 2 , , M .
9

1 n E ( X i ) 1 (1 ) , M
i 1 , 2 , , M .
E ( X ) E ( X 1 X 2 X M ) E ( X 1) E ( X 2) E ( X M ) 1 n M 1 (1 ) . M
14

§4.2
随机变量的方差
前面我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均，是随机变 量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道随机变量 取值的平均是不够的.
15

例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发 炮弹，其落点距目标的位置如图：

中心







已计算过：E(X)=(a+b)/2，又
E ( X ) x 2 f ( x)dx
2 b

1 a ab b x dx a ba 3 2 ( b a ) 2 2 . 所以 Var ( X ) E ( X ) [ EX ] 12
2 2
2
26

(5) 指数分布E(λ)
解: 引入
1, Xi 0, 第i次试验成功， 第i次试验不成功。
则 X＝ X1+ X2 +…+ Xn 是n次试验中的成功次数。 因此， EX E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) np.
这里， X～B(n,p)。
5

例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子中,每 盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.
注：129页4.27以此题为模型。
10

例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随 着该机器所用次数的增加而指数下降，即 P{第k次生产出的产品是正品}= e k , k 1,2,, 0. 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10 次生产中平均生产的正品总数。 解： 设X是前10次生产的产品中的正品数，并设
np
n(n 1)( n 2)! k 22 n 2( k 2 ) p q np k 2 ( k 2)! ( n k )!
n
n(n 1) p
2
k 2 0
C
n 2
k 2 n 2
p q
k 2 n 2 ( k 2 )
np n(n 1) p np .
7

例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各 个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。 解: 引入随机变量:
若第i个盒子中有球 1 Xi 若第i个盒子中无球 0 i 1 , 2 ,, M
则 X=X1+X2+…+XM , 于是 E(X) = E(X1)+E(X2)+ …+E(XM) . 每个随机变量Xi 都服从两点分布,i =1,2,…,M.
( x )2 2 2
Var ( X ) E[( X EX ) ] ( x )
y x
2
1 e 2
( x )2 2 2
2
所以 Var ( X ) E ( X 2 ) [ EX ]2 npq .
24

(3)泊松分布P(λ)
概率分布为： P( X k ) e , k 0, 1, 2,. k! 已计算过：E(X)=λ，又
k
E ( X ) E [ X ( X 1)] EX
2
0 0
2 xe dx
x
2

2

0
2
x e
x
dx
2

2
.
1 所以 Var( X ) E ( X ) [ EX ] 2 .
27

(6) 正态分布N(, 2)
1 e 概率密度为：f ( x) 2 已计算过：E(X) = ，所以
2
e x , x 0; 概率密度为： f ( x) x 0. 0, 已计算过：E(X)=1/λ，又
E ( X ) x f ( x)dx x 2 e x dx
2 2 2 0
x ( e
0
x
) | 2 x(e x )dx



推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。
3

例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
E(X))2存在, 则称它为X 的方差（此时，
也称X的方差存在)，记为Var(X) 或D(X) ,
即
Var (X)=E(X-E(X))2
称Var(X) 的算术平方根 Var( X ) 为X的标准差或均方差，记为 (X).
18

方差
Var(X)=E[X-E(X)]2
刻划了随机变量的取值相对于其数学期望 的离散程度。
但
E ( XY ) 0;
2 P( X 0) P(Y 0) 8
P( X 0, Y 0) 0
2
2


若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f ( x) 0,
x0,
0
所以
EX x f ( x)dx x f ( x)dx 0 .
性质2和3
E (3 X 2 XY Y 5) 3 E ( X ) 2 E ( XY ) E (Y ) E (5)
3 10 2 E( X ) E(Y ) 3 5 30 2 10 3 3 5 92
4
性质4

例2.(二项分布 B(n,p)) 设单次实验成功的概率 是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？