正弦交流电有效值的巧妙证明
正弦式交变电流有效值
正弦式交变电流有效值正弦式交变电流有效值，在电工领域是一个非常重要的概念。
交流电是在电路中流动的电流或电压是随时间变化的，而正弦式交变电流则是一种特定形式的交流电。
有效值则是指交流电的幅值，其实际功率损耗与相同幅值的直流电相同的值。
本文将详细介绍正弦式交变电流有效值的相关知识。
我们来了解一下正弦式交变电流的特点。
正弦式交变电流是指电流随时间呈正弦变化的交流电。
在电路中，正弦式交变电流是最常见的一种形式，因为它具有周期性强、稳定性好等特点。
正弦式交变电流的波形呈正弦曲线，可以用数学函数来描述，其频率、幅值等参数都可以通过数学计算来确定。
然后，我们来谈一谈正弦式交变电流有效值的概念。
有效值是指在交流电中，与相同幅值的直流电所产生的功率相同的交流电的幅值。
换句话说，有效值是交流电的幅值，使其在相同电阻上产生的功率与相同幅值的直流电相同。
有效值在电路分析和设计中起着重要作用，可以帮助我们准确计算电路中的功率损耗和电压、电流的大小。
接着，我们来看看如何计算正弦式交变电流的有效值。
在实际应用中，我们可以通过测量交流电的波形，然后利用数学公式计算得出有效值。
一般来说，正弦式交变电流的有效值等于其幅值乘以0.707。
这个系数是根据正弦波形的性质和功率计算得出的。
通过计算有效值，我们可以更准确地分析电路中的功率消耗和电压、电流的大小。
我们来探讨一下正弦式交变电流有效值在实际应用中的作用。
在电力系统和电子设备中，正弦式交变电流的有效值是一个非常重要的参数。
通过准确计算有效值，我们可以更好地设计电路，提高电路的效率和稳定性。
在电力系统中，有效值也是衡量电能消耗和传输效率的重要指标。
因此，正弦式交变电流有效值在实际工程中具有重要的意义。
正弦式交变电流有效值是电工领域中一个重要的概念，它可以帮助我们准确分析电路中的功率损耗和电压、电流的大小。
通过理解正弦式交变电流有效值的概念和计算方法，我们可以更好地应用于实际工程中，提高电路的效率和稳定性。
交流电有效值计算方法
交流电有效值计算方法1•如何计算几种典型交变电流的有效值？答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的•让交变电流和直流电通过同样的电阻,如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种：(1)正弦式交流电的有效值此类交流电满足公式e=E m Sin w t,i =I m sin w t对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念流电有效值的求法(2)正弦半波交流电的有效值若将右图所示的交流电加在电阻2 1电时的1/2,即卩U半2T/R=—(2U m 1而U全=—=，因而得U半=一U m,412(3)正弦单向脉动电流有效值因为电流热效应与电流方向无关,电阻时所产生的热效应完全相同，即它的电压有效值为E=E2，电流有效值•下面介绍几种典型交R上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流U全2TR1同理得I半=—I m.2所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入七，m、222 于直流电产生热量的—，这里t是一个周期内脉动时间.由I矩2RT= ( — ) I m2RT或()T T RT=T(牛)「得1矩=：T Im，U矩=4.当T=1/2时，1：2im，U矩、2Um.(5)非对称性交流电有效值假设让一直流电压U和如图所示的交流电压分别加在冋一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q1=2 2U1 T U2 T ..................... . .............. ..，直流电在相等时间内产生的热量R 2 R 22•—电压U o=1O V的直流电通过电阻R在时间t内产生的热量与一交变电流通过R/2时在同一时间内产生的热量相同，则该交流电的有效值为多少？解：根据t时间内直流电压U o在电阻R上产生的热量与同一时间内交流电压的有效值U在电阻R/2上产生的热量相同，则3•在图示电路中，已知交流电源电压u=200si n10n t V,电阻R=10 Q ,则电流表和电压表读数分别为A.14.1 A,200 VC.2 A,200 V分析：在交流电路中电流表和电压表测量的是交流电的有效值，所以电压表示数为200V=141 V,电流值i=U= ：00R 衬2汉10 A=14.1 A.U2T,根据它们的热量相等有+U 2 )，同理有I = £(I 1I22).2 2知=胡「所以U哼=5 2 VB.14.1 A,141 VD.2 A,141 V答案：B2。
正弦交流电的有效值
正弦交流电的有效值
正弦交流电的有效值是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解电压和电
流的变化，并在实践中有效运用这种知识。
正弦交流电的有效值可以根据伏安定律的经验值来计算，这一公式定义了正弦
交流电的有效值。
根据伏安定律，正弦交流电的有效值计算公式为：
Veff=Vp×1.11/1.4142，其中Vp表示正弦交流电高峰值，Veff表示正弦交流电的
有效值。
另外，根据充分证明的电力计算公式，正弦交流电的有效值是RMS（Root
Mean Square）值的一种特殊形式，可以表示为：Veff=Va×1.44/2π，其中Va表
示正弦交流电的根均方（RMS）值。
正弦交流电的RMS值是按照电力的单位以期望
的方式进行衡量的，但是正弦交流电的有效值更能准确地表征正弦交流电的实际性能。
正弦交流电的有效值必须严格遵守以上规则，以便实现准确的测量操作。
正弦
交流电的有效值与方波和矩形波相比都要低得多，且增加波形的宽度与同频率方波相比降低有效值，而且正弦交流电的有效值的变化会不断影响测量结果的准确性。
因此，正弦交流电的有效值严格地遵循着以上公式，以便实现准确的测量操作，解决好各种有关正弦交流电的问题，实现高效率、低成本的控制运行与电压控制。
正弦交流电有效值推导
正弦交流电有效值推导
正弦交流电有效值推导
一、定义
正弦交流电又称正弦波交流电，是指利用正弦函数为基本函数，经过离散化，产生的多少频率的正弦波形。
它是一种有规律的电信号，所表示的波形具有唯一的频率。
由于周期性的电压波形，一次正弦波可以完全描述出一个完整的周期。
正弦波交流电的有效值又称RMS（Root Mean Square），是指一个给定的正弦波模拟信号的平均功率等于一个实际电压指示器中类
似信号的功率的平方根，记作：
RMS=Vm/√2
其中Vm表示正弦波模拟信号的峰值电压；
二、推导
（1）对信号进行频率变换，因此可以得到：
V(t)=Vm·sin(ωt)
（2）由于一次正弦波可以完全描述一个完整的周期，所以可以写出：
V(t)=Vm·sin(2πft)
（3）将V(t)代入上式：
V(t)=Vm·sin(2πft)
（4）根据正弦波的定义可以得到：
V(t)=[Vm·sin(2πft)]/√2
（5）得出有效值的表达式：
RMS=Vm/√2
所以，正弦波的有效值可以由正弦波的峰值电压和根号2的比值来表示。
交流电有效值证明
2 m
R
T
U2
2T
U
2 m
T
R
R
U Um 2
正弦交流电有效值的证明
u Um sin(t)
方法3：
Q
T 0
(U m
sin(t))2
R
dt
Q Um2 T sin2 (t)dt R0
Q
U
2 m
T
U
2 有
T
2R
R
Q Um2 T 1 cos(2t) dt R0 2
Q Um2 (t sin(2t)) T
Q总
U2 R
2T
在任一时刻t，这两个电阻上的热功率分别为：
P1
u12 R
(U m
sin t)2
R
P2
u22 R
(U m
cos t )2
R
P
P1
P2
U
2 mΒιβλιοθήκη (sin2t
R
cos2
t)
U
2 m
R
可以看出：两个电阻上总的发热功率是一定值，与时刻
t无关。所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为：
Q总
PT
U
方法2：
u1 U m sin t
u2 U m cost
把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值
为R，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时
间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热
相同，设都为Q，产生的总的焦耳热Q总=2Q。设它们交 流电压的有效值为U，则有：
Q U2 T R
2R
2 0
U有
Um 2
Q Um2 T 2R
正弦交流电有效值的证明
4.3正弦交流电的有效值和平均值
4.1 周期交流电的概念与产生 4.2 正弦交流电的三要素
4.3 正弦交流电的有效值和平均值√
4.4 复数的基本知识 4.5 正弦交流量的相量表示法
4.3 正弦交流电的有效值和平均值
4.3.1 有效值
i(t) A
Im
幅值必须大写,
下标加 m。 i Ri R u u
T
2 idt
半周期： I 0
t
T 2
t
∴
I
2
Im
0.637Im
注意：平均值的表示符号 I U
I RI R U U
正弦交流电路
t
直流电路
t
若在相同的时间内，
交流电流i通过电阻R所 消耗的能量与直流I通过 R所消耗的能量相等，则 I称为i的有效值。
T
0
i2R dt
I 2RT
交流 直流
4.3.1 有效值
T
0
i2R dt
I 2RT
交流 直流
则有 I 1 T i 2dt
T0
有效值必 须大写
1 T
T 0
Im2 sin2
ω
t
dt
Im 2
同理： U
Um 2
0.707Um
注意：交流电压、电流表测量数据为有效值。 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。 4.3.1 平均值T
平均值 ：
I
和
idt 0
周期 T
u(t)V
瞬时值： u 最大值： Um 有效值： U 平均值： U
全周期： I 0
6.2.1正弦交流电的最大值和有效值
• 设疑激探，自主学习
• 1.什么是最大值？用什么字母来表示？ • 2.什么是有效值？用什么字母来表示？ • 3.最大值与有效值之间的关系？ • 4.思考一下：通常所说的照明电路的电压是220V，是有效值还是最大值亦或
瞬时值？
一、最大值和有效值
1.最大值
正弦交流电在一个周期内所能达到的最大数值。又称振幅、幅值或峰值。 通常用带下标m的大写字母表示。如用Im、Um、Em分别表示电流、电压、 电动势的最大值。
正弦交流电的最大值和有效值
知识目标
理解最大值、有效值的概念，明确其测量方法，掌握它们之间的关系。
能力目标
（1）掌握交流电路概念； （2）学会分析简单电路。
情感目标
通过本节课教学，提高学生学习电学知识的热情。
教学重点 ：
• 掌握有效值与最大值之间的关系。创设情境，导入课题
⑵ 交流电流大小的测量
对于数值相对较大的交流电，其电流有效值的大小可通过 钳形电流表进行测量.
钳形电流表测量的好处是可在不断开线路的情况下进行。 一般的测量也可通过交流电流表或万用表的交流电流档进行。
课堂小结
1.正弦交流电的最大值、有效值及其表示 方法 2.最大值与有效值之间的关系
课堂练习
教材中思考与练习第1、2题
最大值在实际中有重要意义。例如，我们在讨论电容器的耐压时，若电 容器是应用在正弦交流电中，其耐压就一定要高于交流电压的最大值，否 则电容器可能被击穿。
2.有效值
用大写字母表示 例如：I、U、E来表示电流、电压、电动势的有效值。
有效值＝ 1 最大值 2
I
1 2
Im
0.707Im
1 U 2 Um 0.707Um
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
在了解正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值之前我们先来看看前一节课中的正弦交流电电动势波形图，如下右图所示。
这个波形图还可以用数学表达式表示为：
公式中：Em表示为最大值、ω为电角度、e为瞬时值、t表示时间。
由上述公式可见，交流电的大小是随着时间变化而变化的，瞬时值（某一瞬间）的大小在零和正负峰值之间变化，最大值也仅是一瞬间数值，不能反映交流电的做工能力。
于是便引入有效值的概念，其定义为：
如果交流电和直流电分别通过同一电阻，两者在相同的时间内所消耗的电能相等（或所产生的焦耳热相同），则此直流电的数值就叫做交流电有效值的数值。
正弦交流电的电动势、电压、电流的有效值分别以E、U、I表示。
通常所说的交流电的电动势、电压、电流的大小均值它的有效值。
交流电电气设备上标的额定值以及交流电仪表所指示的数值也均为有效值。
理论和实验均已表面、正弦交流电的有效值与最大值之间的关系为：
其他正弦量（电压、电流等）也可以写出文中开头第一个表达式的形式：
电压、电流也都有瞬时值、最大值、有效值。
一般瞬时值用小写字母（如u、i等）表示，最大值用大写字母附有下标m字母表示（如Um、Im）。
有效值用大写字母（U、I）表示。
最大值与有效值的关系为：。
高中物理交变电流有效值计算公式的推导教学
高中物理交变电流有效值计算公式的推导教学
作者：刘家维
来源：《理科考试研究·高中》2014年第08期
“交变电流”由三方面组成：第一是交变电流的定义及交流电的产生；第二是简单交流电路，由电感的定义、电感的作用；电容的定义、电容的作用组成；第三是变压器和电能的运输，涵盖变压器的基本原理及输电线的损耗.本文侧重于总结出交变电流有效值公式教学的方法.
一、正弦波交变电流有效值的计算公式推导
1.正弦全波交变电流有效值的计算公式
根据有效值的概念可以得出，与交流电产生相同热效应的直流电可以代替交流电的平均效果.但是由于交流电周期性变化，在不同时刻，电流大小以及方向都不同，所以交流电的瞬时功率不能真实反映出交流电的功率，于是我们需要用平均功率.
正弦交流电周期性变化，它的电流和在纯电阻R上两端的电压都周期性变化，交流电在纯电阻R上的瞬时功率：
p=i2R=I2mRsin（wt）=I2mR1-cos（2wt）2 （1）
将交流电在纯电阻上一个周期时间消耗的能量对时间的比值称为平均功率P，有
P=12Pm （2）
（1）割补法
在纯电阻电路中，电阻两端的电压U和通过它的电流无相位差，所以任何时刻负载电阻的瞬时功率为正.通过①或②式可得如图1所示的 P-t 图象，对图象进行割补得矩形OPDT在P-t图中，图线和坐标轴所包围的面积代表在该时间内交流电所做的功.
（2）对称法
在周期T时间内，由对称可知，P-t图中图线和t轴所围城的图形面积为矩形面积的1/2.联系p-t图的物理意义和交流电的有效值定义可知：
12PmT=I2RT。
正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
交流电在某一时刻的值称为瞬时值。
电动势、电压和电流的瞬时值分别用小写字母e、u和i表示。
最大的瞬时值称为最大值，也称为幅值或峰值。
电动势、电压和电流的最大值分别用符号Em、Um和Im表示。
在波形图中，曲线的最高点对应的值即为最大值。
交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，让一个交流电和一个直流电分别通过阻值相同的电阻，如果在相同时间内产生的热量相等，那么就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值。
交流电动势、电压和电流的有效值分别用大写字母E、U和I表示。
计算表明，正弦交流电的有效值和最大值之间有如下关系：
Em=√2E Um=√2U Im=√2I
通常所说的交流电的电动势、电压、电流的值，凡是没有特别说明的，都是指有效值。
例如，照明电路的电源电压为220V，动力电路的电源电压为380V。
用交流电工仪表测量出来的电流、电压都是指有效值；交流电气设备铭牌上所标的电压、电流的数值也都是指有效值。
交流电。
交流电有效值和峰值计算公式的推导过程
交流电有效值与峰值计算公式的推导过程兴安红叶21:30:28满意回答设一周期电流i(t)通过电阻R，由于电流是变化的，各瞬间功率i^2R不同，在极短时间dt 内产生热量为i^2Rdt,在一个周期T内产生的热量为∫T i^2Rdt ,如果通过电阻R，经过时间T产生相等热量的直流电流的大小为I,则有∫T i^2Rdt=I^2RT,这就得到了电流的有效值I=[(1/T)∫T i^2dt]^(1/2)对正弦量，设i(t)=ImSIN(wt+∮）I={1/T∫T Im^2SIN^2(wt+∮)dt}^(1/2)因为SIN^2(wt+∮)=(1/2)[1-COS^2(wt+∮)]所以I={(Im^2/2T)∫T [1-COS^2(wt+∮)]dt}^(1/2)={Im^2/2T[t]T}^(1/2)=(Im^2/2)^(1/2)=Im/[2^(1/2)]=0.707Im兴安红叶21:06:43有效值又叫“方均根值”-----先进行“方”（平方）运算，把其化为功率；再进行“均”（平均），在一个周期内进行功率平均；最后进行“根”（平方根）运算，计算出有效值。
比如说对于交流电压u，其有效值：兴安红叶21:07:00（其中U是有效值，T是周期，u是瞬时值，可以是任何的周期函数。
）对于正弦波，u=UmSin ωt 其中Um是峰值，ω是角频率。
代人上面的式子，计算后就可以得出用兴安红叶20:57:08一、基本概念：交流电的有效值：正弦电流（电压）的有效值等于其最大值(幅值)的0.707倍。
兴安红叶20:59:27兴安红叶21:00:51 兴安红叶21:01:19兴安红叶21:01:47兴安红叶21:02:03兴安红叶21:02:42兴安红叶21:04:11交流电的有效值：在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所损失的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值，正弦电流（电压）的有效值等于其最大值(幅值)的0.707倍。
正弦交变电流有效值计算公式的推导
中学教学参考
2018··6 中旬
2018
物理·教学研究
要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出：I=
Im
Um
，U=
。
2
2
本文用微积分法、平均值法、三角函数法对推导法
物理学科与数学学科有着密切的联系，在运用物理
知识解题时，一般要进行数学推理和运算。同时新课改
物理·教学研究
正弦交变电流有效值计算公式的推导
广西贺州高级中学（542800） 毛 亮
［摘
要］对交流电有效值定义的理解和应用以及各种交流电的有效值的计算是高考对学生知识和能力考查的内容之一。人民
教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书物理选修 3-2 中，
正弦交变电流的电压和电流的有效值是一个重要的结论，
以来，数学教材已经发生了变化，在高中阶段已经引入
了导数和微积分的内容，而微积分的引入对高中物理的
教学是有促进作用的，虽说学习起来有点难，但是有利
于进入高校后的学习。
现有一正弦交变电流，
如 图 1 ，它 的 瞬 时 表 达 式 为
i1=Imsinωt。
交流电的电流、电压及功
图1
率都是随时间变化的，其中电
一门科学，更是一门艺术，是科学与艺术的综合。物理
课堂精准教学需要做到优化、独到；教师的教学热情与
教态可以激发教学活力；学生的学习要做到自主、深刻；
评价要做到科学、激励；借助信息技术要做到恰当、有
效。只有这样才能把精准教学落到实处。
［ 参 考 文 献 ］
［1］ 彭红超，祝智庭 . 面向智慧学习的精准教学活动生成性设
学后教，当堂练习，个性教学，合作学习”这些都是符合
新课程理念与新时代要求的。
正弦交变电流有效值和最大值关系的简单推证
正弦交变电流有效值和最大值关系的简单推证
我们知道，交变电流的有效值是根据电流的热效应加以规定的．让交变电流和直流电分别通过相同的电阻R，如果它们在相同时间（比方一个周期）内产生的热量相等，就将这一直流电的数值称为这一交变电流的有效值．
正弦交变电流i（t）、正弦交变电压u（t）的有效值I、U与最大值I m、U m之间存在以下关系
设有一个电阻R，通以交变电流i，在很短的一段时间△tj内，流过电阻R的交变电流值ij可以认为是恒定的，因而很短时间△tj内在电阻R
如果一个周期T由N段极短时间间隔△t1、△t2、……△t j、……△t N（N是一个大数）组成，那么在一个周期内．交变电流在电阻R上产生的总热量Q为
而直流电流在同一时间内在电阻R上产生的热量
Q=I2RT
根据有效值的定义，当以上两种热量相等时，这个直流电流I的数值就等于交变电流i 的有效值，于是
上式右边常量R提到总和符号之外，就得到交变电流有效值为
（2）式右边是交变电流的平方，在一个周期内取平均后再取平方根．即交变电流的有效值实际等于它的方均根值，即
对于正弦交变电流，有
i=I m sinωt，i j=I m sinωtj
式中ω=2πf是角频率（f是频率）．因而
现在就将求有效值归结为求sin2ωt的平均值，然后开方，即求sinωt的方均根值．
利用三角函数关系
将它们分别在一周期内取平均．由于在一个周期内交流电的波形是对称的，sinωt、sin2ωt、…cosωt、cos2ωt…在一周期内的平均值为零，于是
由（5）、（6）
由（4）、（8）二式，最后得交变电流i的有效值
同理有交变电压u的有效值所以（1）式得证．。
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
在了解正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值之前我们先来看看前一节课中的正弦交流电电动势波形图，如下右图所示。
这个波形图还可以用数学表达式表示为：
公式中：Em表示为最大值、ω为电角度、e为瞬时值、t表示时间。
由上述公式可见，交流电的大小是随着时间变化而变化的，瞬时值（某一瞬间）的大小在零和正负峰值之间变化，最大值也仅是一瞬间数值，不能反映交流电的做工能力。
于是便引入有效值的概念，其定义为：
如果交流电和直流电分别通过同一电阻，两者在相同的时间内所消耗的电能相等（或所产生的焦耳热相同），则此直流电的数值就叫做交流电有效值的数值。
正弦交流电的电动势、电压、电流的有效值分别以E、U、I表示。
通常所说的交流电的电动势、电压、电流的大小均值它的有效值。
交流电电气设备上标的额定值以及交流电仪表所指示的数值也均为有效值。
理论和实验均已表面、正弦交流电的有效值与最大值之间的关系为：
其他正弦量（电压、电流等）也可以写出文中开头第一个表达式的形式：
电压、电流也都有瞬时值、最大值、有效值。
一般瞬时值用小写字母（如u、i等）表示，最大值用大写字母附有下标m字母表示（如Um、Im）。
有效值用大写字母（U、I）表示。
最大值与有效值的关系为：。
正弦交变电流有效值计算公式的推导
正弦交变电流有效值计算公式的推导作者：毛亮来源：《中学教学参考·理科版》2018年第06期[摘要]对交流电有效值定义的理解和应用以及各种交流电的有效值的计算是高考对学生知识和能力考查的内容之一。
人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书物理选修3-2中，正弦交变电流的电压和电流的有效值是一个重要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出了结论。
文章用微积分法、平均值法、三角函数法对正弦交变电流的有效值进行推导，学生可以根据自己的情况选择。
[关键词]交变电流；有效值；公式推导[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）17-0047-02交变电流是高中物理选修3-2的内容，是指电流的大小和方向都随时间作周期性变化的电流，在生活中运用最广的是有效值，如：1.计算与电流热效应相关的量（如功率、热量）；2.交流电表的测量值；3.电气设备标注的额定电流.4.保险丝的熔断电流。
对交流电的有效值定义的理解和应用及各种交流电的有效值的计算也是高考对学生知识和能力考查的内容。
那么怎样计算正弦交变电流的有效值呢？交流电的有效值是根据电热效应来规定的，简称“三同”，即让交流和直流通过相同阻值的电阻，经过相同的时间，产生相同的热量，就把这一直流的数值叫作这一交流电的有效值，即用与交变电流有相同热效应的直流电流来等效替代交变电流在能量方面所产生的平均效果。
人教版实验教科书物理选修3-2中，正弦交变电的电压和电流的有效值是一个重要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出：I=[Im2]，U=[Um2]。
本文用微积分法、平均值法、三角函数法对正弦交变电流的有效值进行推导，以便学生理解掌握。
一、微积分推导法物理学科与数学学科有着密切的联系，在运用物理知识解题时，一般要进行数学推理和运算。
同时新课改以来，数学教材已经发生了变化，在高中阶段已经引入了导数和微积分的内容，而微积分的引入对高中物理的教学是有促进作用的，虽说学习起来有点难，但是有利于进入高校后的学习。
交流电的有效值
交流电的有效值
王宗田
我们平常说某一用电器上的交流电压是220伏，不是瞬时值，因为交流电压的瞬时值是随时间变化的；它也不是平均值，因为正弦交流电正半周、负半周随时间交替变换，一周内的平均值为零。
220伏是指有效值，亦称“均方根值”。
它是一个用以计算交流电大小的物理量，是根据电流的热效应来确定的。
让交流电和直流电通过同样阻值的电阻，如果它们在相同的时间内（一个周期）产生的热量相等，就把这一直流电的量值称为该交流电的有效值。
正弦规律变化的交流电的有效值，等于它的最大值的，即I 有效＝0．071I 最大，U 有效＝0．707U 最大。
应该指出，交流电的有效值和最大值（峰值）都有实用意义。
当考虑能量转化时要用有效值；当考虑用电器的绝缘性能时要用最大值。
①尺寸公差。
指允许尺寸的变动量，等于最大极限尺寸与最小极限尺寸代数差的绝对值。
②形状公差。
指单一实际要素的形状所允许的变动全量，包括直线度、平面度、圆度、圆柱度、线轮廓度和面轮廓度6个项目。
③位置公差。
指关联实际要素的位置对基准所允许的变动全量，它限制零件的两个或两个以上的点、线、面之间的相互位置关系，包括平行度、垂直度、倾斜度、同轴度、对称度、位置度、圆跳动和全跳动8个项目。
公差表示了零件的制造精度要求，反映了其加工难易程度。
正玄交流电有效值公式推导
正玄交流电有效值公式推导咱们直接进入正题哈！要说这正弦交流电有效值公式的推导，那还真有点意思。
咱先来说说啥是正弦交流电。
想象一下，电流就像个调皮的孩子，一会儿大一会儿小，还不停地来回跳动。
而正弦交流电呢，就是这个调皮孩子按照正弦函数的规律在变化。
咱们平常说的交流电的大小，其实说的就是它的有效值。
那为啥要有有效值这个东西呢？这就好比咱们说一个人的平均工资，能大概反映他的收入水平。
有效值就是能反映交流电“平均做功能力”的这么一个值。
咱们来正式推导推导这个有效值公式。
假设一个正弦交流电的表达式是i = Imsin(ωt) ，其中 Im 是电流的最大值，ω 是角频率，t 是时间。
那在一个周期 T 内，电流做的功 W 可以通过积分来计算。
电流做功的功率 P = i²R （R 是电阻），所以一个周期内做的功就是 W =∫(Imsin(ωt))²Rdt ，从 0 积分到 T 。
经过一番复杂的积分运算（这部分数学知识可别把咱们绕晕啦），可以得到 W = 0.5×Im²×R×T 。
咱们再想想，如果是一个恒定电流 I ，在相同的时间 T 内，通过相同的电阻 R 做的功 W' = I²RT 。
因为有效值的定义就是让交流电和直流电在相同时间内通过相同电阻做相同的功，所以 W = W' 。
也就是 0.5×Im²×R×T = I²RT ，一化简就能得到正弦交流电的有效值I = Im / √2 。
这推导过程看着有点复杂，是吧？我想起之前给学生们讲这个的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这咋跟绕迷宫似的。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来，就像走迷宫找到了出口一样。
”然后我带着他，从最基础的概念一点点捋，慢慢他就明白啦。
其实学习这些知识就像爬山，一开始觉得山好高好难爬，但只要咱们找准路，一步一步往上走，总能登顶看到美丽的风景。
正弦交流电的有效值与幅值的关系
正弦交流电的有效值与幅值的关系咱们来聊聊正弦交流电有效值和幅值的关系吧。
这就像在生活里，我们常常会遇到一些看似复杂，其实有规律可循的事儿。
你看啊，正弦交流电就像一个有节奏跳动的脉搏。
幅值呢，就好比这个脉搏跳动时最高能达到的那个力度，它是正弦交流电在一个周期内能够达到的最大值。
这就像是你跑步的时候，最快能冲刺到的那个速度，是一种极限的状态。
那有效值是什么呢？有效值就像是这个正弦交流电在一段时间里，从做功的效果来看，相当于多大的直流电的值。
这就好比啊，有两个人干活，一个是正弦交流电，一个是直流电。
虽然正弦交流电的电流大小是一直在变化的，就像干活的时候一会儿快一会儿慢，但是最后算下来，如果它干的活儿和一个稳定的直流电干的活儿效果一样，那这个直流电的值就是正弦交流电的有效值。
这两者之间的关系啊，其实是很奇妙的。
有效值和幅值之间存在着一个固定的比例关系，有效值等于幅值除以根号2。
这就像是一种神秘的约定一样。
你可能会问，为啥是这样的关系呢？这就好比是在一个天平上，左边放着幅值这个大砝码，右边要放上几个小砝码才能让天平平衡呢？这个小砝码就相当于有效值，而这个比例关系就是它们之间的平衡法则。
咱们举个例子吧。
假如说幅值是一座大山的高度，那有效值就像是从这座大山的山顶到山脚下某个特定点的高度。
这个特定点可不是随便找的，它是按照这个根号2的比例关系确定的。
就好像是大自然也遵循着一种数学规律，山的高度和这个特定点的高度之间有着这样一种神秘的联系。
再比如说，你有一个超级大的蛋糕，这个蛋糕的大小就像是幅值。
现在你要把这个蛋糕按照一定的规则分给很多人，每个人得到的那一份蛋糕就相当于有效值。
这个规则就是按照那个除以根号2的关系来分。
如果不按照这个规则分，那就乱套了，就像如果不按照有效值和幅值的关系来计算，在电路里很多东西就没法正常工作了。
正弦交流电的有效值和幅值的关系是电路世界里一个非常重要的规律。
它就像一把钥匙，能打开很多关于电路计算和分析的大门。
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非正弦交流电有效值的计算
正弦交流电有效值的巧妙证明
正弦交流电的有效值与其最大值之间关系的证明通常是采用积分的方法，由于高中阶段还没学习这种数学方法，所以高中书本中没有给出证明方法，只是直接给出了正弦交流电的有效值与最大值之间的关系2m
I I =。
但是也有比较巧妙的方法利用高中的数学及物
理知识证明这一关系。
交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流和直流通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值。
假设有两个交变电压，其变化规律如图所示，它们的最大值与周期都相同，它们的瞬时表达式分别为t U u m ωsin 1=、t U u m ωcos 2=，其中T
πω2=，把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R ，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热相同，设都为Q ，产生的总的焦耳热Q 总=2Q 。
设它们交流电压的有效值为U ，则有：
T R U Q 2
= T R U 2Q 2总= 另外，在任一时刻t ，这两个电阻上的热功率分别为：
R t U R u P m 2211)sin (ω==，R
t U R u P m 2222)cos (ω==， 两个电阻上总的发热功率为：
R
U R t t U P P P m
m 222221)cos (sin =+=+=ωω 可以看出：两个电阻上总的发热功率是一定值，与时刻t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为：
T R
U T P Q m 2总== 所以有：T R
U T R U 2m 22
=
U -U
U -U
可得：2m
U U = 同样可以得到：电流有效值2m
I I =；电动势的有效值：2m
E E =。