人口模型专题.ppt

记μ(r,t)为时刻t年龄r的人的死亡率。其含义是： μ(r,t)p(r,t)dr表示时刻t年龄在[r,r+dr)内单位时间死 亡的人数。
为 了 得 到 p(r,t) 满 足 的 方 程 ， 考 察 时 刻 t 年 龄 在 [r,r+dr)内的人到时刻t+dt的情况。他们中活着的那 一 部 分 人 的 年 龄 变 为 [r+dr1,r+dr+ dr1) 。 这 里 dr1=dt. 而 在 dt 这 段 时 间 内 死 亡 的 人 数 为 μ(r,t)p(r,t)drdt,于是
如何验证？ 这个解在t~r平面上有一个浅显的解释：
右图中，对角线r=t （t，r>0）分为两个 部分。
r
p0 (r t)ert (s)ds
r
f
(t
r
)e
0
(s)ds
在t<r的区域，p(r,t)完全由年龄为r-t的人口初始 密度p0(r-t)和这些人的死亡率μ(s)(r-t≤s<r)决定； 而在t>r区域，p(r,t)则由未来的生育状况f(t-r)及死 亡率μ(s)(0≤s<r)决定。
人口模型专题
1 Malthus模型 2 Logistic模型 3 人口发展方程 4 人口发展方程的离 散模型 5 随机人口模型
Leabharlann Baidu
Malthus模型 （指数增长模型）
1、主要假设
在人口T自hom然as增Rob长ert的Ma过lthu程s （中17，66-经183相4）对是增美国长的率一名（出生率 和死亡率）是牧师常。数17，98年即提单出M位al时thus间人口内模人型口，此增模长型对量与人口成 正比，比例1系700数—为196r1。年这段时期的人口应用十分的精准。
2、模型的建立
N(t t) N(t) rN(t)t
dN
dt
rN
N (t0 ) N0
N (t)
N er (tt0 ) 0
Logistic模型（阻滞增长模型）
1、主要假设
此模型由修荷改兰了生M物a数lt学hu家s模型r为常数 的假设，V认erh为ulsrt应于1为83N8年的提函出数。设自然
人口发展方程
1、主要假设
只考虑自然的出生死亡，不考虑迁移等社会因素的 影响，考虑年龄结构。
2、模型的建立
在时刻t，年龄小于r的人口数记作F(r,t)，t和r均为 连续变量。设F是连续可微函数，称为为人口分布函数。 时刻t的人口总数为N(t)。最高年龄记作rm 。于是对
将于定记p非义p((r负r,,tFrt)非)定d降r义pF为函(r为(，时0p数年,(t刻tFr)),,龄(t0tr)年,密非t0)龄r有度,负F在：函且r(m区，数pm(间理。,rtm[)论r,t,r)上+=Nrd0m(rt))内的人数。
(r,t) p(r,t)drdt
上式中，带入dr1=dt就可以得到：
p p (r,t) p(r,t)
r t
得到人口发展模型
实际这上里，p0这(r是)可年由龄人密口度调函查数资p料(r,得t)的到一，阶是偏已微知分函方数程；，其 中死亡率f(μt)(则r,t对)为预已测知和函控数制。人口起着重要作用。
N (t)
Nm
1 ( Nm 1)er(tt0 )
N0
本模型在1790-1930年间较为符合实际， 但是在1940-1980年间，却与实际的偏差 较大。为什么？
1、人口数已经超出了所设的Nm。
2、大幅度的移民和战争等相关因素。
3、Nm不易确定，随着生产力的发展，Nm的值不断 增大。
前面的两种模型，都将总数看作是处于同等 地位的成员组成。这简化了问题，但是严格来 讲是不科学的，应该根据成员的年龄分组，并 且将性别分别考虑。
f (t) r2 b(r,t)k(r,t) p(r,t)dr r1
再将b(r,t)定义为b(r,t) (t)h(r,t)
其中h(r,t)满足 r2 h(r,t)dr 1 r1
于是 (t) r2 b(r,t)dr r1
p(r,t)dr p(r d1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
也可写作
[ p(r dr1,t dt) p(r,t dt)] [ p(r,t dt) p(r,t)]dr
(r,t) p(r,t)drdt
[ p(r dr1,t dt) p(r,t dt)] [ p(r,t dt) p(r,t)]dr
4、讨论
生育率和生育模式
在发展方程及解中p0(r)和μ(r)可以从人口统计数 据得到。 μ(r,t)也可以由μ(r,0)粗略估计，这样，为了 预测和控制人口的发展状况，人们主要关注的可以用 作控制手段的就是婴儿出生率f(t)。 对f(t)进一步分解：
记女性性别比函数为k(r,t)，即时刻t年龄在 [r,r+dr]的女性人数为k(r,t)p(r,t)dr,将这些女性在单 位时间内的平均每人的生育数记作b(r,t)，设育龄区间 为[r1,r2],则：
两个定解条件：
1）初始密度函数记作p(r,0)=p0(r)；
2）单位时间内出生的婴儿数记作p(0,t)=f(t),称为婴 儿出生率。
于是得出连续型人口发展模型：
ppr(r,0)pt
(r,
p0 (r)
t)
p(r,
t)，t
0,0
r
rm （1）
p(0,t) f (t)
p(rm ,t) 0
此方程描述了人口的演变过程，从这个方程确定 出密度函数p(r,t)以后，立即可以得到各个年龄的 人口数，即人口分布函数
r
F (r,t) 0 p(s,t)ds
3、模型求解
该方程的求解过程比较复杂，这里给出一种特 殊情况下的结果。在社会安定的局面下和不太长的 时间内，死亡率大致与时间无关，于是可以近似的 假设μ(r,t)=μ(r)，这时的解为：
p(r,
t)
p0
(r
r
t
)e
r t
(
s
)
ds
r
,0
t
r (*)
f (t r)e0(s)ds , t r
资源和环境条件所能容纳的最大人口
数量为Nm，并设定净增长率：
r(N ) r(1 N (t)) Nm
当N(t)→Nm时， r(N)？
2、模型的建立
dN
dt
r (1
N )N
Nm
N (t0 ) N0
3、模型求解
由左式可知，可用 分离变量法求解非 线性微分方程，且 Logistic模型就是 一个Bernoulli方程 的初值问题。