山东大学《高等数学》期末复习参考题 (4)

山东大学《数学分析III 》期末复习参考题

一、填空题（共 5 小题，20 分）

1、设f (x ,y )为连续函数，则二次积分()⎰⎰

x

dy y x f dx 0

1

,交换积分次序后为_____________.

2、函数z x y =+

ln()2

在点（1，3）沿{}

a =-11,方向的方向导数是_____________. 3、设u x y z xyz

xy xz yz

=++----arctan

1，则

∂∂u x (,,)

000= _____________.

4、函数f x y x y x y (,)=+-+22在点（3，4）沿{}

a =-43,方向的方向导数是

__________________.

5、设f x y x y x y x y A

x y (,)tan()(,)(,)(,)(,)

=++≠=⎧⎨⎪

⎩⎪2222

0000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，

则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。

二、选择题（共 10 小题，40 分）

1、设u x

y

y x =>>arccos

(),0，则∂∂u y =( ) (A)

y x y x

2-;

(B)

x

y y x 2-;

(C)

--x

y y x

2;

(D)

--y x y x

2

2、设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为

( )

(A) ()⎰⎰

-1

10

,dx y x f dy x

；(B)

()⎰

⎰-x

dx y x f dy 10

10

,；

(C)

()⎰⎰

1

1

,dx y x f dy ；(D)

()⎰

⎰

-y

dx y x f dy 10

1

,；

3、设由方程z xz y 3

20-+=确定函数z z x y =(,)，且z (,)111=，利用z x y (,)在(,)11

点处的二阶泰勒多项式计算z (.,.)099102

的近似值，应取( )

（A ）12099102809910099102310223

+⋅--⋅+⋅⋅-⋅...... （B ）12102

09981021010209930992

3

+⋅--⋅+⋅⋅-⋅...... （C ）3

2

)102.1(3)102.1)(199.0(10)199.0(8)102.1()199.0(21----+-----+ （D ）3

2

)199.0(3)199.0)(102.1(10)102.1(8)199.0()102.1(21----+-----+ 4、设

是某二元函数的全微分，则

m =( )

(A).0; (B).1; (C).2; (D).3.

5、设向量场A =x e yz i +y e zx j +z e xy k ,则A 在点M (1，－1，0)处的旋度rot A ｜M 是( ) (A). {1,1,1}. (B). {0,－1,1}. (C). {1,－1,0}. (D). {1,0,－1}.

6、设u y x =arctan ，则∂∂∂∂2222

u x u

y

+＝( ) (A)

4222

xy

x y ()

+ (B)

-+4222

xy

x y ()

(C) 0 (D)

2222

xy

x y ()

+ 7、在整个空间内，向量场A 为有势场的充要条件是( ) (A) A 为无源场。(B) A 为无源场且为无旋场。 (D) A 为无旋场。(D) 以上三者都不对。

8、设函数F u v (,)具有一阶连续偏导数，且F F u v (,),(,)012013==-，则曲面

F x y z xy yz zx (,)-+-+=0在点(,,)211-处的切平面方程为( )

（A ）260x y z +-+=（B ）21180x y z --+= （C ）280x y z +-+=（D ）21160x y z --+=

9、曲线x y z x y

2222

5

+==-⎧⎨⎩在点(,,)123-处的切线方程为( ) （A ）

x y z -=-=+12213

8 （B ）

x y z -=--=+-12213

8 （C ）x y z -=--=-32115

8

（D ）

x y z --=-=+12213

8

10、若曲线xy yz zx x y z ++=-++=⎧⎨⎩

1

2在点(,,)121-处的一个切向量与oz 轴正方向成锐角，则

此切向量与ox 轴正方向所夹角的余弦为( )

（A ）-

114

（B ）-

314

（C ）114

（D ）

3

14

三、计算题（共 2 小题，20 分）

1、求函数u e

xyz

=在点P 0(1,0,-1)处沿10P P 方向的方向导数,其中P

1的坐标为(2,1,-1). 2、设z x y ye x

=-3

sin ，求∂∂∂32z

x y 。

四、证明题（共 2 小题，20 分）

1、证明曲面x f ax by cz =++()上任一点处的法线都平行于平面bcx acy bz -+=0，其中函数f u ()可微，a b c ,,为正常数。

2、．

　，试证设)4(1

3

141

4

≥--=

-=-⎰

n J n n J dx x x J n n n n