量纲分析法

p1 f (ax1 , by1 , cz1 ), p2 f (ax2 , by2 , cz2 )
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p1 p1 p2 p 2
对比
l t g
l t 2 g
对比这里计算出的公式和实际公式 参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。
原理分析
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式？ 对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
第一讲 关于量纲分析法
量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种 在物理领域建立数学模型的办法。
所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物 理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定 物理量之间的关系。
量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s
一、量纲齐次原则
物理量的量纲 动力学中 基本量纲 L, M, T
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0)T y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
T
s qj
j 1
m
ysj
而且存在一个未定的函数关系：
( 1 , 2 , 3 ) 0
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响； 3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
m mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
f模 f实 f模 f实

s v 模 ( 1 , 2 ) s v 实 ( 1 , 2 ) s v 模 s v 实
2 模 模 2 实 实 2 模 模 2 实 实
如果我们能使模型船的 中两个数据与真实船 相同，则得到：
这就为我们根据模型船评估实体船 的阻力提供了有效途径，至于究竟 是什么已经不重要了。
二、波浪对航船的阻力
与航船阻力有关的物理量： 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 航船阻力 f 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
对量纲分析法的评价
量纲分析法能在建立物理问题的数学模型中得到一些重 要、有用的结果，但也存在局限性，应用时应注意以下几点：
0 0
0
( y1 , y2 , y3 , y4 )T (2, 0, 1, 1)
T
t l g
2 1
F () 0
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
[q j ] X i ij ,
a i 1 n
j 1,2,, m
量纲矩阵记作
A {aij }nm ,
若 rankA r
即线性齐次方程组
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Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
y3 y 4 0 y2 0 y 2y 0 4 1
基本解
( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y
1 2
3
(L M T ) L M T
1 0 2 y4 0 0
0
L
y
y3 y4
M T
y2
y1 2 y4
LM T
p= f(x,y,z)的形式为
f ( x, y, z ) x y z


单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f (t , m, l , g ) 0
t m l g
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, Δ为无量纲量
[t ] L0 M 0T 1 [ m] L0 M 1T 0 1 0 0 [l ] L M T [ g ] L1 M 0T 2
m=6, n=3
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
( g , l , , v, s, f ) 0
rank A = 3
rank A = r
Ay = 0 有m-r个基本解
Ay=0 有m-r=3个基本解
ys =
(ys1, ys2, …,ysm)T
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
g l v 1 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
航船阻力模型
注意3中含有 f ，为了得到 f 的 关系式，不妨设
g 1 l 1 v 2 2 1 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3
3 2 则 1 2 由 ( 1 , 2 , 3 ) 0 得 3 ( 1 , 2 ) 及
至此我们已经建立了阻力 f 与其他各物理量之间的关系式。 仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。
航船阻力模型的意义
以我们上面得出的最后模型为例： 在设计制造舰船、飞机、汽车等产品时，研究人员需要先制 作出非常逼真的仿真实物模型，然后对实物模型进行阻力、 运动特征实验，以此来验证设计是否合理。
物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
• • • • • • • 长度 l 质量 m 时间 t 电流强度 I 温度 光强 J 物质的量 米L 公斤M 秒T 安培A 开尔文K 堪德拉cd 摩尔N
s qj
j 1
m
y sj
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
Pi定理的意义
Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建 模的方法和理论支持，即这个定理证明 了：量纲分析法是可行的，没有任何理 论上的疑点。
下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一 个新的建模问题。
• • • •
正确确定物理量（根据经验和概念，宁多勿缺） 恰当确定基本量纲 构造基本解（如果构造得当，可以直接得到期望的结果） 结果的效用和局限性
1、从未知定律 到用量纲分析法得到的等 价形式 不仅物理量减少了 r 个，降低了 问题复杂性，同时也得到了一些关键的无量纲量 i 。
2、当然，这种建模方法也是有局限性的，它始终是初等建模 方法，一些物理公式中常见的三角函数和指数函数都得不到。 另外，在航船阻力模型中也能看到，还有未定函数和一些常量 无法得到，因此模型的实用价值有限。
t m1 l 2 g 3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
1 2 3
[t ] [m] [l ] [ g ]
1 2
3
T M L
T
23
1 0 2 3 0 2 1 3
1 0 2 1 / 2 1 / 2 3
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm