对称轴与周期

一、周期：一般地对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T,使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期。函数的周期一般指最小正周期。

二、对称与翻折变换变换

y ＝f(x)−−

−−→−关于原点对称 y ＝－f(－x) y ＝f(x)−−−−−→−=对称

关于直线x y y ＝f -1(x) 若)(x f 对任意x 满足)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=

对称 1、（2015福建文科）若函数a x x f -=2

)(（a ∈R ）满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m,+∞)上单调递增，

则实数m 的最小值等于 1 . 2、已知函数)(x f 对任意R x ∈，都有)2()2(x f x f -=+，且当2>x 时，)(x f 为增函数，是比较)1(f 、)4(f 、)2(-f 的大小。

3、已知定义域为R 的函数)(x f 在区间)5,(-∞上单调递减，对任意实数t 都有)5()5(t f t f -=+，那么下列式子成立的是（ C ）

A 、)13()9()1(f f f <<-

B 、)1()9()13(-<

C 、)13()1()9(f f f <-<

D 、)9()1()13(f f f <-<

4、如果函数c bx x y ++=2对任意的实数x ，都有),()1(x f x f -=+那么（ D ）

A .)2()0()2(f f f <<- B. )2()2()0(f f f <-<

C. )2()0()2(-<

D.)2()2()0(-<

5、对于任意R x ∈，函数)(x f 满足)4()(x f x f -=，如果方程0)(=x f 恰有2006个根，则这些实根之和为___4012___

6、（09山东理科）定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩

⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为（ C ）

（A ）-1 （B ） 0 （C ）1 （D ） 2

7、（09山东理科）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0，2]上是增函数。若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4,

则x 1+ x 2,+x 3+ x 4=_-8_________

8、（10安徽理科）若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)=（ A ）

（A ）-1 (B) 1 (C) -2 (D) 2

9、(05年天津文10)设f(x)是定义在R 上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则f(1.5),f(3.5),f(6.5)的大小为__________

[解]由题意知f(x)在(3,6)内单调递增，且距对称轴x=3越近，其函数值越小；又因函数周期T ＝6，所以f(6.5)=f(0.5)，而0.5,1.5,3.5中距离x=3由远及近依次是0.5,1,5,3.5

所以f(0.5)=f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)

10、已知函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 是偶函数。若当]4,3[∈x 时，x x f 3log )(=，则当]1,1[-∈x 时)(x f =_)4(log 3x -_]1,1[-∈x _______

11、已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2011()2010(f f +-的值为___1_______

12、函数)(x f y =对于任意的实数都有)2()(),()(+-==-x f x f x f x f ，且在]2,0[上单调递减，则（ C ）

A 、)57()37()27(f f f <<

B 、)3

7

()27()57(f f f <<

C 、)27()57()37(f f f <<

D 、)2

7()37()57(f f f << 13、已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)()2(=++x f x f ，则)2011(f =___0_________

14、（2010重庆）已知函数)(x f 满足：4

1)1(=f ，4)()()()(y x f y x f y f x f -++=，),(R y x ∈，则)2010(f =____2

1____________ 15、已知定义在R 上的函数)(x f 的图像关于点)0,4

3(-对称，且满足2)0(,1)1(),23()(-==-+-=f f x f x f ，则)2001()3()2()1(f f f f ++++ 的值为_1__ 解：关于点对称，可得f(-3/4-x)+f(-3/4+x)=0*2=0

令x=x+3/4 得 f （-3/2-x ）+f （x ）=0 又 f(x)=-f(x+3/2).所以f(-3/2-x)=f(3/2+x)

所以f （x ）为偶函数。所以f （1）=f （-1）=1 因为 f （x ）=-f （x+3/2）,即f （x ）+f(x+3/2)=0 令x=x+3/2.得f(x+3/2)+f(x+3)=0

所以f(x)=f(x+3). 所以f(2)=f(-1)=1 f(3)=f(0)=-2 所以f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0

所以上式=f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+......+f(2008)+f(2009)

=0+0+......+0+f(2008)+f(2009)=f(1)+f(2))=2

16、定义在R 上的函数f(x)在（-∞，a ）上是增函数，函数y=f(x+a)是偶函数，当x 1＜a,x 2＞a,且|x 1-a|＜|x 2-a|时，则f(2a-x 1)与f(x 2)的大小关系为

解：y=f(x+a)是偶函数，则有f(-x+a)=f(x+a)

所以f(x)关于x=a 对称

又 在（-∞，a ）上是增函数，故在（a ，+∞）上是减函数

x1＜a,x2＞a,且|x1-a|＜|x2-a|

去掉绝对值得a-x1

且2a-x1>a ，x2>a

由（a ，+∞）上是减函数知 f(2a-x1)>f(x2)

17、周期性（2012山东理科）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ），当-3≤x ＜-1时，f （x ）=-（x+2），当-1≤x ＜3时，f （x ）=x 。则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=（B ）

（A ）335（B ）338（C ）1678（D ）2012

18、周期性（2012浙江文）设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，

则3

()2f =____2

3___________. 19、已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的以2为周期的偶函数，当10≤≤x 时，2)(x x f =，若直线

a x y +=与函数)(x f y =的图象在]2,0[内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ D ）