2-4 介质中的高斯定律 电位移矢量
介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
静电场中的电介质-(2)
1
S
0
S
(q0 q' )
自由电荷 束缚电荷
S
E
dS
1
0
S
q0
1
0
S
P
dS
(0E P) dS q0
S
S
电位移矢量定义： D 0E P
(0E P) dS q0
S
S
D dS edV
dS '
n P
dl
在均匀电介质内部，束缚电荷彼 nˆ
此抵消，束缚电荷仅出现在介质表面。
通常定义 nˆ 为介质外法线方向。
E'
Pn
0
P
dS
' 0， 'dS
Pn
P
0
dS
0
'
0
P
S
在非均匀电介质中，有束缚电荷的积累。
nˆ
E0
根据电荷守恒得：
dS P
i
如 法
pi
[dl
dS
cos
]P
dl
dS
n
P
dl
i
P cos dSdl Pn dSdl
Pn '
表明：任选一面 dS 上束缚电荷面密
度 '等于极化强度矢量在该面法线 方向上的分量。
E E0 E'
E E0 E'
是电介质中的总电场强度。 退极化场
介质中的高斯定理
第 2 章静电场2.4 介质中的静电场方程2.4.2 介质中的高斯定律1.介质中高斯定律的微分形式ερ=∙∇E 0ερρp+=∙∇E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ）∙D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。
D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P∙-∇=p ρ)(1P E 0∙∇-=∙∇ρερε=+∙∇)(0P E PE D +=0ε则有ρ=⋅∇D 电介质中高斯定律的微分形式为自由电荷体密度ρ2. 介质中高斯定律的积分形式⎰∑=∙SqS D d 介质中高斯定律的积分形式⎰∑∑+=∙Sq q )(S E p 01dε代入⎰∙-=S p q SP d ⎰⎰∑∙-=∙S S q SP S E d d 0ε⎰∑⎰=∙+∙SSqS P S E d d 0ε⎰∑=∙+SqS P E d )(0εq 为闭合面包围的自由电荷• D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；• P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
• E 线由正电荷出发，终止于负电荷；D 线E 线P 线D 、E 与P三者之间的关系图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。
3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E⇒⎭⎬⎫D = ε0E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E= ε0εr E = εED = εE介质的本构关系或组成关系er 1χεεε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/mεr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性4. 介质特性电场中，介质的特性由其介电常数确定。
E D ε=r ε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x E E E D D D 333231232221131211εεεεεεεεε均匀、线性、各向同性介质的介电常数是常量--简单介质。
大学物理介质中的高斯定理
r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
重庆大学电磁场习题答案(第2章)
第二章习题答案2-2 真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为τ。
试计算P 点的电场强度： （1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处； （2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。
解：（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角φ无关，这样z '处取的元电荷z q 'd d τ＝，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：R20e R4z E πετ'=d d 其两个分量：θπετρρcos 20R4z e E d dE '=•=d （1） ()θπετsin 20z z R4e E d dE z d '-=-•=（2） 又θρθρtan ',cos ==z R所以：θθρd dz 2sec '= （3）式（3）别离代入式（1）（2）得：θρπεθτρd 04dE cos =； θρπεθτd sin 0z 4dE -= 'sin 'sin cos θρπετθθρπετθρπεθτθρ000004E 22d 2=⎰∴＝＝‘ （4）又 2l 42l 2l +='θsin （5）式（5）代入式（4）得：l55E 00πετρπετρ22=∴＝图2-2长直线电荷周围的电由于对称性，在z 方向 z E 分量彼此抵消，故有0=z Eρρρπετe l5e E e E 0z z 2E =+=∴（2）成立如图所示的坐标系在x 处取元电荷dx dq τ=则它在P 点产生的电场强度为R20e R4x d E d πετ'=其在x 方向的分量为：20x R 4x d dE πετ'=又 x l R -=2020x x l 4x d R4x d dE )-(''='=∴πετπετ()l 3x l 4x l 4x d E 02l 2l 2l 2l 020x πετπετπετ='-⨯=''=--⎰∴∴∴////1)-( x 0x x x e l3e E Eπετ==∴2-3 真空中有一密度为m C n /2π的无穷长线电荷沿y 轴放置，还有密度别离为2/1.0m C n 和2/1.0m C n -的无穷大带电平面别离位于z=3m 和z=-4m 处。
2-4 介质中的高斯定律 电位移矢量
求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：
v D v P
v
0E
1 (1
r
v P
0
v
)D
v D
r
v P Pz
Dz Dz
4
v D
r r 1
v P
4 3
v P
…
v E
1
v D
4 0
3.5 介质中的高斯定律 边界条件
一、介质静电场基本方程
q
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩
2）极化强度矢量
用极化强度矢量
v P
表示电介质被极化的程度。
P
lim
Pi
式中：pvi 表示i个分子极矩。
V 0 V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
CE dl 0
微分方程：
D
E 0
本构方程： D r 0 E E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
(
0
)
s0
sp
(
0)
s0
0 (1 )
讨论:
1.
第四节电介质中的高斯定理
S
由 : q' = − ∫ P ⋅ d S
S
∫ (ε
S
0
E + P ) ⋅ d S = q0
高斯定理可以重新写为：
令 : D = ε0 E + P
则有 : ∫ D ⋅ d S = q0
S
《大学物理》
教师：
胡炳全
2、电位移
D = ε0 E + P
叫电位移。它是一个矢量。它没 有直接的物理意义。
若电介质是线性极化的，则有：
+
-+ E0 -+ D
+
-
+
-
-+
P
+
E’
+
-σ0
+
-
-
-+
《大学物理》
教师：
胡炳全
5、电介质中高斯定理的应用 应用电介质中的高斯定理可以很方便地求解电荷和电 介质都对称分布时的电场的场强。 例题1、如图所示，一个均匀带电球体外有一个电介质球 壳。试求场强分布。 解：如图取高斯面，则有：
∫ D ⋅ d S = ∫ D ⋅ d S cosθ = ∫ D ⋅ dS = D ∫ dS
S S S S
R2 ε Q r R1
= D 4πr = q0
2
Q r3 q0 = Q 3 R1
r > R1 r < R1
Q 4πr 2 D = Qr 4πR13
r > R1 r < R1
《大学物理》 根据
教师：
胡炳全
D =εE
ε 0 , r < R1 ε = ε , R1 < r < R2 ε , r>R 2 0 Qr 4πε R 3 , r < R1 0 Q , R1 < r < R2 E= 2 4πεr Q , r > R2 2 4πε 0 r
电介质的极化和介质中的高斯定理
1.真空中 P = 0 ，真空中无电介质。 真空中 真空中无电介质。 2.导体内 P = 0 ，导体内不存在电偶极子。 导体内 导体内不存在电偶极子。
8
（2）极化（束缚）电荷与极化强度的关系 ）极化（束缚） 在电介质的表面上， 在电介质的表面上，极化强度与极化电荷之间有 r r 如下关系： 如下关系： ' = P = P cosθ = P ⋅ e σ
r E'
r E
r E0
εr 称为相对
介电常数或 电容率。 电容率。
2.电介质极化的微观机制 2.电介质极化的微观机制 从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、 从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、 有极分子。 有极分子。 每个分子负电荷对外影响均可等效为 的作用。 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和， 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的 负电作用中心” 称为分子的“ 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
静电场中的电介质 介质中的高斯定理
1
从电场这一角度看，电介质就是绝缘体。 从电场这一角度看，电介质就是绝缘体。 特点：电介质体内只有极少自由电子。 特点：电介质体内只有极少自由电子。 我们只讨论静电场与各向同性电介质的相互作用。 我们只讨论静电场与各向同性电介质的相互作用。
一、静电场对电介质的作用—电介质的极化 静电场对电介质的作用—
∫ P ⋅ dS = − ∑ q
S S inside
在任一闭合曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。 在任一闭合曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。
9
四、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
电位移矢量
4 极化电荷 Polarization charge or bound charge 在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在 介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到 其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们 称它为束缚电荷或极化电荷。它不象导体中的自由 电荷能用传导方法将其引走。 在外电场中，出现束缚电荷的现象叫做电介质的极化。
由于热运动这种取向只能是部分的，遵守统计规律。 取向极化
E0
在外电场中的电介质分子
E0
l
E0
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。
在外电场中产生感应电偶极矩（约是前者的10-5)。
无极分子只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。
有极分子有上述两种极化机制。 在高频下只有位移极化。
或介电常量dielectric constant。
0 称为电容率permittivity
例一：一个金属球半径为R，带电量q0，放在均匀的 介电常数为 电介质中。求任一点场强及界面处 ' ？ 解：导体内场强为零。 高斯面 q0均匀地分布在球表面上， 球外的场具有球对称性 q D dS q0 D 0 r ˆ rR
垂直于此曲线的横截面ds组成一个小圆柱体因而该体元具有电偶极矩根据定义它可视为两端具有电荷的偶极矩dsdldsdldlds10如果在电介质内任选一面的法线于极化强度矢量在该面法线方向上的分量dsdsdldsdldldsds11ds在非均匀电介质中有束缚电荷的积累
目录
第三章 静电场中的电介质
3.1 电介质对电场的影响 3.2 电介质的极化 一、电介质 电介质的极化 二、极化强度 极化电荷与极化强度的关系： 三、电介质的极化规律 退极化场
第六章 5电位移矢量介质中的高斯定理
q
II区：
V 2 r E 2 dr
q
R
r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
r
I II
r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板 面积为 S，面电荷密度为 0 , 其间插有厚 度为 d’ 、电容率为 r 的电介质， 求 ：①.P1 、P2点的场强E； d' 0 0 ②.电容器的电容。 ①.解：过 P1 点作高 斯柱面, 左右底面分别 经过导体和 P1 点。 高 斯 D S D d S q 0 面
也可视为两电容器串联
C1 C2
d1
d2
0 r1S
d1
0 r 2S
d2 1 C1 1 C2
串联
C
1 C
r1
r2
d
C 1C 2 C1 C 2
0S
d1
r1
d2
r2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
②.已知 U，求0、E、D、P。 解： 0
S 0 E d S q 0 S P d S S ( 0 E P ) d S q 0
高斯面
定义：D
0E P
为电位移矢量。
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
S D d S q 0
介质中的高斯定理：
一、极化强度通量
结论1 极化强度通量
P S P d S q '
E0
P
0
'
电位移矢量 有电介质时的高斯定理PPT课件
解：
E0
U d
1000 103
V
m1
106 V m1
103 kV m1
E E0 r 3.33102 kV m1
P ( r 1)0E 5.89 10 6 C m-2
0 0E0 8.85 10 6 C m2
' P 5.89106 C m2
SD dS q0
有电介质的高斯定理：在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲 面内所包围的自由电荷的代数和。
电位移线从正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷！
二 电容率 电介质的性质方程
各向同性电介质
P e 0E
D 0E P 0E e0E 0 (1 e )E
电介质的相对电容率
D 0 r E 0E0 0 8.85 10 6 C m-2
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例9-3 一个半径为R、电荷为q(设q>0)的导体球，在它周围充满电容率为的无限 大均匀电介质，求电介质内任一点的场强。
解：在与导体球接触的介质的表面的极
化电荷q也是球对称分布的。
P
过任一点P作半径为r的球面 为高斯面S，如图。
-
-
q + - +q
+
R +-
r
E
+
+
- + +-
S
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SD dS q
D 4r 2 q
q
D 4r2
ED 1
D
4
1
q
r
2
qr
E
4
4介质中的高斯定理
=
Dv
ε
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为σ0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+σσ´0
D⋅S =σ0S D = σ0
D +σ´
E = D = σ0
- σ0
ε 0ε r ε 0ε r
σ0 = σ0 −σ′
E0
=
σ0 ε0
E′ = σ′ ε0
E = E0 − E′
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
一、有介质时的高斯定理
真空中的高斯定理: 介质中的高斯定理: 以导体平板为例:
∫∫SSEEvv⋅⋅ddSvSv==ε1ε010(∑∑qqii+ ∑ qi′)
∫SPv
⋅
v dS
移出S面
∫=
Pv
⋅
v dS
S′
∫= σ ′dS S′
v P
=
ε
0
v E
∫ ∫ ∫ v D
⋅
v dS
=
ε
S
S
3.
电位移矢量
v D
量是电场强度
v 0E
⋅
v dS
=
∑
qi
v E
⋅
v dS
=
1
S
ε0
是E.v一个辅助量.描写电场的基本物理
∑
qi
介质中的高斯定理
对于各向同性的电介质:
v P
=
χ
eε
0
v E
( ) v
D
=
ε
0
v E
《电磁场理论》2.5 介质中的高斯定理
D E
P ( 0 )E
在真空中， P 0
，
r 1
D 0 E
5
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
D x 11 D y 21 D z 31
12 13 E x 22 23 E y 32 33 E z
7
例1：已知半径为a，介电常数为 的介质球带电荷为q， 球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介 质中的极化电荷分布： 1）电荷q均匀分布在球体内； 2）电荷q集中在球心； 3）电荷q均匀分布在球面上。 解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为
q
DdS q
S
4 3 a 3
P P1 ( 0 ) E1
1 d 2 q ( 0 ) 2 (r )0 2 r dr 4 r
r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此 10 极化点电荷为qP，根据高斯定理，有
S
0
E 1 d S q qP
取S为以介质球心为中心，r(r<a) 为半径的球面， q 0 2 4 r q qP 2 4 r
如图，柱形面上、下底面积 1 媒质 1 S ΔS很小，故穿过截面ΔS的电 分界面 通量密度可视为常数，假设 h 0 2 媒质 2 柱形面的高 h→0 ，则其侧面 2 积可以忽略不计。 D2 设分界面上存在的自由面电荷密度为 ，由高斯定理
1
1
S
D dS D1 nS D2 nS S
S
D dS q
( D1 D2 ) n
15
说明：1) 为分界面上自由电荷面密度，不包括自 由极化电荷。 2）若媒质为理想媒质，则
电位移矢量
1)
q0
4R
2
E＝
q0
4 0
r
2
q0
4 0r 2
1 (
r
1)
E0
r
自由电荷的场 束缚电荷的场 7
上例也说明当均匀电介质充满电场的全部空间时，
或当均匀电介质的表面正好是等势面时，有
D＝ 0 r E
E＝E0 / r
D＝ 0E0
例二：平行板电容器充电后，极板
+0 –0
上面电荷密度 0 1.77106C / m2 ， 将两板与电源断电以后，再插入
q1
无穷远电场力做的功
q2
r21
A21 q1
r21
q2
4 0
r221
dr
W21
q2q1
4 0r21
W12 W21 W
W12 q2U2 W21 q1U1
W
1 2
2
qiU i
i 1
12
2 、三个点电荷系统的静电能 W q1q2 q1q3 q2q3
4 or12 4 or13 4 or23
有关，E 和 D 是极板间每一点电场大小的
物理量，所以能量与电场存在的空间有关，
电场携带了能量。
电容器所具有的能量还与极板间体积成正比，
于是可定义能量的体密度，它虽然是从电容
器间有均匀场而来但有其普遍性。
22
二、电场的能量密度
电场中单位体
we
W Sd
1 2
0
r
E
2
1 2
DE
积内的能量
z
W
wedV
1 n
W
2
qiU i
i 1
W
大学物理习题答案解析第六章
第二篇第六章静电场中的导体与电介质6 - 1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（）（A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。
6 —2将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图所示），则（）（A）N上的负电荷入地（B）N上的正电荷入地（C）N上的所有电荷入地（D）N上所有的感应电荷入地^6-2 图分析与解导体N接地表明导体N为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N在哪一端接地无关。
因而正确答案为（A）。
6 —3如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d, 参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心0点有（）(A) E 0,V(B) E J,V J4 n%d 4 n(C) E 0,V 0(D) E J,V —4 n 电d 4 n R体球表面感应等量异号的感应电荷土 q',导体球表面的感应电荷土 q 在球心0点激发的电势为零， 0点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。
因而正确答案为( A )。
6 —4根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电 荷的代数和。
下列推论正确的是 () (A) 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 (B) 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 (C) 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 (D) 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 (E)介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电 荷的分布有关。
大学物理 第三篇 电位移矢量和有电介质时的的高斯定理
1Q W 2 C
2
四.场能密度
单位体积内的电能
能量储存于场中 dW we dV
以平行板电容器的场为特例可以 导出 在带电为 Q 时 We 电场能量密度为 we V (自证)
r
S
d
1 we D E 2
普遍
1 单位体积内的电能 we D E 2
例 导体球的电场能ຫໍສະໝຸດ 二. D 的高斯定理
S
D dS
q
i
0i
自由电荷
证： E dS
S
q
i
i
0
i
q q
i i
oi
0 E dS P dS qoi
S S
D dS q0i
S i
0
i
在具有某种对称性的情况下，可 以首先由高斯定理出发 解出 D
W Aq1
q2
q 2 E 1 dl q 2 E1 dl r r
q U 2 21 40 r
q1
在处的电势
q1 在 q2 所
也可以先移动 q2
q2 在 q1所
在处的电势
状态a
q2 W q1 q1U 12 40 r 作功与路径无关 q2U 21
Q E 2 40 r
We
Q D 2 4 r
r
ED
all space of field
we dV
Q 2 2 4 4 r dr 32 0 r R
2
We
Q
2
8 0 R
与前面计 算结果同
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D4r 2 q0 D dS D dS
所以
q0 D 2 4r
q0 D e 2 r 4r
写成矢量式为 因
D q0 q0 E0 e e E 2 r 2 r 40 r r r 4r
D E , 所以离球心r 处P点的场强为
q0 E ( B) e 2 r 4 R
其B点的电荷面密度为
r
P
B
en
R Q
0
sp P en
S
0 E ( B) en
0 q0 ( 0 ) s0 2 4R
sp
讨论: 1.
2.
( 0 )
讨论：若分界面两边均为媒质，则
psp
S
sp dS P dS
S
sp P n
n
介质1
sp n ( P P2 ) 1
真空、金属
P0
SP P1n P2 n 介质2
（1）介质2是电介质而介质1是真空: （2）介质2是电介质而介质1是金属:
D dS q自
E
P eoE
D
P
D E
P n
E
例题1 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀 “无限大”电介质（介电常数为ε），求球外任一点P的 场强及极化电荷分布。 P 解: 根据金属球是等势体，而 r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 R Q0 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 S 如图所示，过P点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 球面S，由高斯定理知
01
02
S
S内
D
电介质
n
2
1
(2)电容器的电容
q0 C U
01
D 电介质
en
02
01 U Ed d
q0 01S
S2
S1
q0 S 0 r S C U d d
金属板
r C0
例题：圆心在原点，半径为R的介质球，其极化强 m 度 P ar r ( m 0)，试求此介质球内束缚电荷密度 和球表面束缚面电荷密度。
+ + + + + + +
+
+
+
电场线
+ + + + + + +
+
+
+
电位移线
2-4-3 有电介质时的静电场的基本方程
积分方程： D dS Q
S
E dl 0
C
微分方程：
D
D r 0 E E
D 01en
例题2 平行板电容器两板如图所示，两板极之间充满 介电常数为ε的电介质,电容器两板极上自由电荷面密度 为σ01 和σ02 (σ02= -σ01 )。求（1）电介质中的电场，交界面 的σ’（2）电容器的电容. D 解: D dS Dn S1 q0 01S1
s0
0 (1 )
sp 和 s 0恒异号。
sp s 0 , 即交界面上极化电荷面密度在数
值上一定小于自由电荷面密度.
3. 交界面上总的电荷面密度为
s s 0 sp
即总电荷面密度减小到自由电荷面密度的 1 r 这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
1）体极化电荷
介质被极化后，分子可视作一个电偶极子 设分子的电偶极矩p=ql。取如图所示体积 元，其高度 l 等于分子极矩长度。 则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元 dS
dQ nql dS np dS P dS 穿出整个S面的电荷量为： Q dQ P dS
1
0
q' 1 q0 P d S
S内
0 S内
S
E d S
S S
P
0
dS
1
0
q0
S内
S面内包 围的自 由电荷
D 0 E P
电位移矢量
(
S
0
E P) d S q0
S内
电位移矢量 通量
电偶极矩 p ：表示电偶极子。p ql
电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点 电荷所组成的电荷系统。
l
2）极化强度矢量
用极化强度矢量 P 表示电介质被极化的程度。 Pi pi 表示i个分子极矩。 式中： P lim
V 0
V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
D d S q
S S内
0
D 0 E P
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
D d S q
S S内
0
有电介质时 的高斯定理
如果把真空看作电介质的特例
P0
D 0 E
E d S q0 0
S
D d S q
S S内
S S
在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为
l dS
由电荷守恒和电中性性质，S面所围电荷量为
p
q p Q P dS
PdV S V p P
2）面极化电荷
在介质表面上，极化电荷面密度为
式中： 为媒质极化强度 P n 为媒质表面外法向单位矢量
需要补充D和E的关系式，并且需要已知描述 介质极化性质的极化率e，对于各向同性线性 介质,有 介
P e 0 E
D 0 E P 0 (1 e ) E 0 r E
1 e r
真空中 一般
电 常 数
相对介电常数（与真空相对）
r 1， D 0 E
0, r 1
有介质的问题总体上说，比较复杂
但就各向同性线性介质来说，比较简单。
说明： 。 1ºD E , D与E处处对应，且方向一致
2º
D dS q0 与
D dS q0
1 E dS (q自 q束) 等价! o
E0 E
r
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介 质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍. 同时可求出电极化强度为
P 0 ( r 1) E
E
40 r r
q0
2
er
q0 r 1 er q0 2 er 0 q0 2 er P 4r 2 r 4r 4 0 r r
( 0 ) s 0 s 0 1 r
01en E e S 介质左右的极化电荷面密度为: S 01 0 ' 1 P en 0 E en 0 01 0 ' 金属板 2 P en 01 1' 极化电荷面密度与自由电荷密度异号,且绝对值比后者小.
P n 0 sp P2 n 1 P n 0 sp P2 n 1
对介质极化问题的讨论
1）极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷 2）由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；
3）P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极 化电荷只会出现在介质表面上
4）均匀介质内部一般不存在极化电荷
0 D 0E P D P Dz 1 4 P (1 ) D r Pz Dz r r 4 D P P … r 1 3 1 E D 4 0
P e 0 E e : 媒质极化系数 二、极化电荷（束缚电荷）
媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会 出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。 由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自 由运动，故也称束缚电荷。
说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即
体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表 面上出现的极化电荷称为面极化电荷。
E 0
本构方程：
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。
（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
3º 解题一般步骤：
由q自
面极化电荷分布:
S
D dS Q
Qer D 4r 2
sp P er 3Q
16 a 2
例 在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的z分量为 D 2 Dz 20nC / m2，极化强度P ex 9 ey 21 ez 15nC / m 求：介质中的电场强度 E 和电位移矢量 D 。 解：由定义，知：
3º以上讨论对任何形状的电介质都成立。
2．环路定理
束缚电荷q束产生的电场与 自由电荷q０产生的电场相同 保守力场
E dl 0
电位移线与电场线
性质不同。
电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移 的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上 通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值． 电力线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由 电荷和与束缚电荷。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。