医用物理学02章流体的运动

1. 高尔夫球表面光滑还是粗糙？ 2. 汽车的阻力来自前部还是后部？
流体的运动广泛存在于我们的周围及生命 体内.掌握流体的运动规律,有助于理解日 常生活中发生在身边的流体运动现象,深入 研究人体的血液循环、呼吸过程以及相关 的医疗仪器设备.
流体动力学(hydrodynamics) 研究流体运动规律及其与边界相互作用的学科.
根据能量守恒定律及功能原理,可推得
1 2 1 2 p1 + ρv1 + ρgh1 = p2 + ρv2 + ρgh2 2 2
考虑到 ∆S1、 ∆S2 的任意性,上式还可以写成
1 2 p + ρv + ρgh = 常量 2
此两式称为理想流体的伯努利方程.
伯努利方程给出了理想流体作定常流动时,同一 流管上任一截面处流体的压强、流速和高度之 间关系. 显然 1 ρv2, ρgh 分别相当于单位体积流体所具 2 有的动能和重力势能,而p则可视为单位体积流 p 体的压强能. 方程实质上是能量守恒定律在流体运动中的具 体表现.由于 1 ρv2 , ρgh 和 p 都是压强的量纲,
流体的黏滞性
理想流体(ideal fluid) 不可压缩又无黏滞 性的流体. 流场(flow field) 每一点都有一个流速矢量 与之相对应的空间称为流速场,简称流场.
流 场
交错排列管道群中的流场
协和式飞机着陆时的流场 (正视图)
流线(streamline) 在流场中画出的一些曲线, 曲线上的任意一点的切线 方向,与流过该点流体质 元的速度方向一致.
p + ρgh =常量 常量
表明流速不变或流速的改变可以忽略时,理想 流体稳定流动过程中流体压强能与重力势能 之间的转换关系,即高处的压强较小,低处的 压强较大. 两点的压强差为
p1 − p2 = ρg(h2 − h1 )
管涌
体位对血压的影响
(二) 流速与高度的关系 在自然界、工程技术和我们的日常生活中,存在 着许多与容器排水相关的问题,如水库放水(泻 洪与发电)、水塔经管道向城市供水及用吊瓶给 患者输液等,其共同的特点是液体从大容器经小 孔流出.
连续性方程推导
当选取的流管截面足够小时,流管上任一截面上 各点的物理量都可视为均匀的.若设∆S1 和∆S2 处 流体的速度分别为 v1 和 v2 ,流体的密度分别为 ρ 1 和 ρ 2.
由于流体是作定常流动, 流管内各点流体的密度 不随时间改变,因此封闭 曲面内流体的质量不会 有变化,即在∆t 时间内, 从∆S1 流入封闭曲面流体 ∆S 的质量 m1 应等于由 ∆S2 流出流体的质量 m2,即
因SA 远大于SD,所以vA 可以忽 略不计,pA= pD=p0.整理后得
vD = 2g(hA − hD)
= 2 ×9.8×[0 − (−4.5)]m⋅ s-1 = 9.4m⋅ s 2 DD QD = SD ⋅ vD =π 4 −2 2 (3.00 ×10 ) 3 -1 −3 3 −1 = 3.14 × × 9.4m ⋅ s = 6.6 ×10 m ⋅ s 4 结果表明,通过改变D点距水面的垂直距离和虹 吸管内径,可以改变虹吸管流出水的体积流量.
v1 ∆S1= v2 ∆S
及
QV = v∆S = 常量
式中 QV 称为体积流量. 该式称为不可压缩流体的连续性方程,也称为 体积流量守恒定律.
连续性方程的物理实质体现了流体在流动中 质量守恒.这些方程均是对细流管而言,若不是 细流管,则 v、ρ 应理解为其在截面 ∆S 上的 平均值.
由连续性方程可知: (1)不可压缩流体作定常流动时,流管的任一垂 直截面积与该处的平均流速的乘积为一常量. (2)同一流管,截面积较大处流速小;截面积较 小处流速较大. (3)流场中,流线密集处流速较大;流线稀疏处 流速较小.
对于同一流线上的C、D两点,应用伯努利方程有
1 2 1 2 pC + ρvC + ρghC = pD + ρvD + ρghD 2 2
均匀虹吸管内,水的速率处处相等,vC=vD ,整理得
pC = p0 + ρg(hD − hC )
= 1.013×105 + 1.0 ×103 × 9.8× (−4.5 − 2.5)Pa = 3.2 ×104 Pa 虹吸管最高处C点的压强比入 口处B点的压强低,正是因为 这一原因,水库的水才能上升 到最高处,从而被引出来.
第二章 流体的运动
理想流体的定常流 动 理想流体的伯努利 方程 黏性流体的运动
物态 物体根据存在的形态分为固态、液态和气态. 流体(fluid) 气体与液体没有一定的形状,各部分之间极易发 生相对运动,具有流动性,因而被统称为流体.
人类长期生活在空气和水环境中,逐渐地对流 体运动现象有了认识,现举二例.
解:水面为参考面,则有A、 B点的高度为零,C点的高 度为2.50m,D点的高度为 − 4.50 m. (1) 取虹吸管为细流管, 对于流线ABCD上的A、D两点,根据伯努利方 程有
1 2 1 2 ρghA + ρvA + pA = ρghD + ρvD + pD 2 2
由连续性方程有
SD vA = vD SA
例题
血液循环 哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原 理的一个很好例证.
动脉系统 心脏 静脉系统 毛细管系统
血液流速与血管总截面积的关系
人体血液循 环示意图
河道宽的地方水流比较缓慢,而河道窄处 则水流较急. 穿堂风 城市风 交通拥挤
§2-2 理想流体的伯努利方程
一.理想流体的伯努利方程
1738年伯努利(D. Bernoulli) 提出了著名的伯努利方程.
欧拉 (L. Euler, 17071783) 瑞士数学家、 力学家、天文学家、 物理学家.
可压缩性 流体的体积(或密度)随压强大 小而变化的性质,称为流体的可压缩性. 黏滞性 实际流体流动时,速度不同的层与 层之间存在阻碍相对运动的内摩擦力,流体的 这种性质称为流体的黏滞性.流速大的层给流 速小的层以拉力,流速小的层给流速大的层以 阻力.
连续性方程推导
m1= m2
ρ1(v1∆t)∆S1=ρ2(v2∆t)∆S2
ρ1 v1 ∆S1=ρ2 v2 ∆S2
上式对流管中任意两个与流管垂直的截面都是 正确的,一般可以写成
Qm=ρ v∆S = 常量
其中 Qm称为质量流量. 此式称为定常流动的连续性方程,也称为质量 流量守恒定律.
对于不可压缩流体,ρ 为常量,则有
§2-1 理想流体的定常流动
一. 基本概念
流体质元 宏观小、微观大的区域中流体分子的集合. 连续介质 将流体看作是大量的宏观小、微观大的流体质 元组成并研究其宏观行为,因此可忽略物体微 观结构的量子性,这种物质模型就是连续介质.
流体运动的描述方法 统计公交车的客运量时,可采用两种方法: (1)在每辆公交车上设统计员,统计其在不同时 刻(站点)上、下车的人数,称为随体法. (2)在每个站点设统计员,统计不同时刻经过该 站点公交车上、下车的人数,称为当地法.
dv ∆v = lim dx ∆x→0 ∆x
§2-3 黏性流体的运动
一. 黏性流体的运动
层流
甘油缓慢流动
层流示意图
管内甘油的流动是分层的,这种流动称为层流 (laminar flow).
流体层流时,流动稳定,相邻各层以不同的速度 作相对运动,彼此不相混合.
流体的黏性力
这对作用力为流体的内摩擦力,也称为黏性力.
牛顿黏滞定律 黏度 黏性流体作层流时,速度的逐层变化可以用速度梯 度来定量表示. 相距∆x的两流层的速率差为 ∆v ,则 ∆v 表示这两层之间的 ∆x 速率变化率.
流管
非定常流动 流场中各点的流速随时间的变化而改变,流线 的形状亦随时间而变的流动. 定常流动 流场中各点的流速不随时间变化的流动. 特点 流线不随时间改变,不同时刻的流线不 相交;流管形状也不随时间改变,流管内的流 体不会流出到管外,流管外的流体不会流入到 管内.
二. 连续性方程
流体作定常流动时,在任 一细流管内取与流管垂 直的两个截面∆S1 和∆S2 与流管构成封闭曲面,流 体由∆S1流入,从 ∆S2 流出, 如图所示.
水电站
水库大坝
小孔流速
1 2 p0 + ρgh = p0 + ρvB 2
vB = 2gh
铜壶滴漏 “寸金难买寸光阴”对我们来说 是再熟悉不过的诗句了,其中揭 示了计量时间的方法. 我国古代用铜壶滴漏计时,使水 从高度不等的几个容器里依次 滴下来,最后滴到最低的有浮标 的容器里,根据浮标上的刻度也 就是根据最低容器里的水位来 读取时间.
请说明其计时原理. 铜壶滴漏
(三) 压强与流速的关系
在许多问题中,所研究的流体是在水平或接近 水平条件下流动.此时,有 h1=h2或 h1≈h2,伯努利 方程可直接写成
1 2 1 2 p1 + ρv1 = p2 + ρv2 2 2 1 2 p + ρv = 常量 2
平行流动(即重力势能不变)的流体,流速小的地 方压强大,流速大的地方压强小(例).
拉格朗日法(随体法) 直接采用牛顿质点力学 方法,把流体分成许多流 体质元,每个流体质元服 从牛顿定律,跟踪并研究 每一个流体质元的运动 情况,把它们综合起来, 掌握整个流体运动规律 拉格朗日(J. L. Lagrange, 的研究方法. 1735−1813) 法 国 数 学
家、物理学家.
欧拉法(当地法) 研究各流体质元的速度、 压强、密度等物理量对流 经的空间及时间的分布规 律,即用场的观点,从整体 上来把握流体的运动.
丹·伯努利(Daniel Bernoull, 1700− 1782) 瑞士科学家.
在定常流动的理想流体 中,取任一细流管,设某 时刻 t,流管中一段流体 处在 a1a2 位置,经很短 的时间∆t,这段流体到 达 b1b2 位置,如图所示.
伯努利方程
由于流体中各点的压强、流速、密度等物理 量不随时间变化, b1a2 段流体的运动状态在 流动过程中没有变化.
1 2 p + ρv + ρgh = 常量 2
二. 伯努利方程的应用
在流体力学中,伯努利方程十分重要,应用极 其广泛. (一)压强与高度的关系 一 压强与高度的关系 若流管中流体的流速不变或流速的改变可以 忽略时,伯努利方程可以直接写成
p1 + ρgh1 = p2 + ρgh2
或
p + ρgh =常量 常量
-1
(2)对于同一流线上A、B两 点,应用伯努利方程有
1 2 1 2 pA + ρvA = pB + ρvB 2 2 1 2 pB = p0 − ρvB 2
根据连续性方程可知,均匀虹吸管内,水的速率处 处相等,vB=vD. 1 5 pB = 1.013×10 − ×1.0 ×103 × 9.42 = 5.7 ×104 Pa 2 结果表明,在重力势能不变的情况下,流速大处压 强小,流速小处,压强大.B点压强小于大气压,水能 够进入虹吸管.
2 因此常称 1 ρv2为动压强, ρgh＋p为静压强. 2
推导中,选择的是一段细流管内流体的运动,所 涉及的压强 p 和流速 v 实际上是细流管横截面 上的平均值.若令 ∆S→0,流管就演变为一条流 线,伯努利方程中的各量则表示在同一流线上 各点的取值. 可得以下结论: 重力场中的理想流体作定常流动时,同一流管 内(或流线上)各点
流ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计原理
1 2 ρv 2
a
b
O
A
1 2 pA = pO + ρvO 2
vO = 2ρgh
问题:
气体流速如何测量
皮托管
流量计
1 2 1 2 ρv2 − ρv1 = p1 − p2 = ρgh 2 2
Q =S1 v1= S2 v2
Q = S1S2 2gh 2 S12 − S2
例 用一根跨过水坝的粗细均 匀的虹吸管,从水库里取水, 如图所示.已知虹吸管的最高 点C比水库水面高2.50 m,管 口出水处D比水库水面低4.50 m,设水在虹吸管内作定常流 动. (1) 若虹吸管的内径为3.00×10-2m,求从虹吸管流 出水的体积流量. (2) 求虹吸管内B、C两处的压强.
流线
流体流过不同形状障碍物的流线
流体运动时,若流线有头有尾不形 成闭合曲线,这样的流动称为无旋 流动,对应的流场为无旋场;若流线 无头无尾形成闭合曲线,这样的流 动称为有旋流动,如河流中的涡旋, 对应的流场为有旋场.
龙 卷 风 缓慢的水流
流管(stream tube) 在流体内部,由流线围成的细管.