高等几何对初等几何教学指导作用浅析1

高等几何对初等几何教学指导作用浅析

摘要: 高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课 ,其中贯穿着现代数学

的思想、理念和方法 ,是初等几何的延伸 ,拓展了初等几何的解题途径 ,丰富了初等几何的研究方

法 ,开阔了初等几何的学习视野。本文以实例与分析相结合说明高等几何的点线结合命题对初等几

何的高观点指导作用和在实践中广泛的应用 ,表明高等几何不仅在提高观点方面有独特作用 ,而且

在论证方法 ,思考问题等方面具有独特的巧妙、灵活等特点。

关键词：高等几何；初等几何；

初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变

动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃

至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究

方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件.

通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理

论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用,

很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的.

高等几何与初等几何的关系

《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程. 而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素.

高等几何在初等几何中的应用

欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用。下面我们就通过几个实例可以看出高等几何对初等几何的指导作用。

例1 （仿射变换的应用）证明G 为ABC ∆重心的充要条件是AGB

AGC S S ∆∆==BGC S ∆

证明 如图1,在正ABC ∆中,若G 是正

图 1 ABC ∆的重心,则G 也为内心,即G 到三

边距离,,GD GE GF 相等,故AGB

AGC BGC S S S ∆∆∆==. 反之若AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==,因为=AB BC AC =,故G 到三边的距离,GD ,GE

GF 相等,即G 是正ABC ∆的内心,从而G 也是重心.

根据仿射性质的特点,命题对正三角形成立,所以对一般的三角形也成立.

例2 （仿射坐标系的应用）从三角形一个顶点到对边三等分点作线段,过第二顶点的中线被这些分

成连比::x y z ,设x y z ≥

≥,求::x y z 的值.

图2

解 如图2所示,建立仿射坐标系,取(0,0)B ,(1,0)D ,(2,0)E ,(3,0)C ,(0,1)A . 易知31(,)22F ,直线BF 的方程为13

y x =,直线AD 的方程为1y x =-+,直线AE 的方程为121y x =-+.

于是直线BF 与AD 的交点为31,44()G ,直线BF 与AE 的交点为62,55

()H .

设BG GH λ=,由有向线段定比分点公式有603514

λλ+=+,从而得53λ=,即53BG GH =.又设'GH HF λ=,同样由定比分点公式可得'32λ=,即32

GH HF =. 所以,得::::5:3:2x y z BG GH HF ==

例3 （射影几何的应用）设三直线121212,,PP QQ R R 交于一点S ,121212,,PP QQ R R 分别交两直

线12,OX OX 于点111,,P Q R 与222,,P Q R .求证直线12PQ 与21PQ 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12

R P 与21R P 的交点在一条直线上,且所在直线通过

O .

图3

证明 将直线OS 投影到无穷远,这只需在直线12,OX OX 所在平面π外任取一点V ,取平面'π

平行于V 与OS 所定的平面,则以V 为投影中心建立π向'π的中心投影将OS 投影到'π的无穷远直

线''O S ∞∞(如图3)

设''''''''12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 分别是12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 在中心投影下的象.在图3

中,显然直线''12P Q 与''21P Q 的交点,''12Q R 与''21Q R 的交点,''12R P 与''21R P 的交点在一条直线上,且所在

的直线平行于'''111,,P Q R 所在的直线或'''222,,P Q R 所在的直线.

由于中心投影保持结合性不变,所以在图3里有12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且点O 也在这三点所在的直线上。

例4（蝴蝶定理）如图4所示，设AB 是圆O 的弦，M 是AB 的中点，过M 任作二弦CD ，EF ，

记P Q ，为AB 依次与CF ，ED 的交点，求证PM MQ =.