高等几何对初等几何教学指导作用浅析1

高等几何对初等几何教学指导作用浅析摘要: 高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课 ,其中贯穿着现代数学的思想、理念和方法 ,是初等几何的延伸 ,拓展了初等几何的解题途径 ,丰富了初等几何的研究方法 ,开阔了初等几何的学习视野。

本文以实例与分析相结合说明高等几何的点线结合命题对初等几何的高观点指导作用和在实践中广泛的应用 ,表明高等几何不仅在提高观点方面有独特作用 ,而且在论证方法 ,思考问题等方面具有独特的巧妙、灵活等特点。

关键词：高等几何；初等几何；初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件.通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用,很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的.高等几何与初等几何的关系《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程. 而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。

初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。

初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素.高等几何在初等几何中的应用欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用。

下面我们就通过几个实例可以看出高等几何对初等几何的指导作用。

例1 （仿射变换的应用）证明G 为ABC ∆重心的充要条件是AGBAGC S S ∆∆==BGC S ∆证明 如图1,在正ABC ∆中,若G 是正图 1 ABC ∆的重心,则G 也为内心,即G 到三边距离,,GD GE GF 相等,故AGBAGC BGC S S S ∆∆∆==. 反之若AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==,因为=AB BC AC =,故G 到三边的距离,GD ,GEGF 相等,即G 是正ABC ∆的内心,从而G 也是重心.根据仿射性质的特点,命题对正三角形成立,所以对一般的三角形也成立.例2 （仿射坐标系的应用）从三角形一个顶点到对边三等分点作线段,过第二顶点的中线被这些分成连比::x y z ,设x y z ≥≥,求::x y z 的值.图2解 如图2所示,建立仿射坐标系,取(0,0)B ,(1,0)D ,(2,0)E ,(3,0)C ,(0,1)A . 易知31(,)22F ,直线BF 的方程为13y x =,直线AD 的方程为1y x =-+,直线AE 的方程为121y x =-+.于是直线BF 与AD 的交点为31,44()G ,直线BF 与AE 的交点为62,55()H .设BG GH λ=,由有向线段定比分点公式有603514λλ+=+,从而得53λ=,即53BG GH =.又设'GH HF λ=,同样由定比分点公式可得'32λ=,即32GH HF =. 所以,得::::5:3:2x y z BG GH HF ==例3 （射影几何的应用）设三直线121212,,PP QQ R R 交于一点S ,121212,,PP QQ R R 分别交两直线12,OX OX 于点111,,P Q R 与222,,P Q R .求证直线12PQ 与21PQ 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且所在直线通过O .图3证明 将直线OS 投影到无穷远,这只需在直线12,OX OX 所在平面π外任取一点V ,取平面'π平行于V 与OS 所定的平面,则以V 为投影中心建立π向'π的中心投影将OS 投影到'π的无穷远直线''O S ∞∞(如图3)设''''''''12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 分别是12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 在中心投影下的象.在图3中,显然直线''12P Q 与''21P Q 的交点,''12Q R 与''21Q R 的交点,''12R P 与''21R P 的交点在一条直线上,且所在的直线平行于'''111,,P Q R 所在的直线或'''222,,P Q R 所在的直线.由于中心投影保持结合性不变,所以在图3里有12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且点O 也在这三点所在的直线上。

例4（蝴蝶定理）如图4所示，设AB 是圆O 的弦，M 是AB 的中点，过M 任作二弦CD ，EF ，记P Q ，为AB 依次与CF ，ED 的交点，求证PM MQ =.证法一：（用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的对称图形，那么可作MF 关于OM 的对称线段F M '，则有MF =F M '，连接Q F '，D F '，则F F 'OM ⊥，AB OM ⊥，由此可知AB ∥F F '，所以'''AMF MFF MF F BMF ∠=∠=∠=∠.又'EDH MFF ∠=∠且F BM AMF F MF '∠=∠='∠.故F BM EDH '∠=∠，则四点D ，F '，M 和 Q 共圆，所以EDC M F Q ∠='∠，因CFE CDE ∠=∠，则，图4 M F Q CFE '∠=∠。

又F M MF '=F BM AMF '∠=∠，则M F Q PFM '∆≅∆，故PM MQ =.证法二（利用交比来证明）如图6所示，连接CA ，CB ，EA ，EB ，以C 为顶点的线束被直线AB 所截，有（CA CD ，CF CB ）=（AM ，PB ）同样，以E 为顶点的线束被直线AB 所截，有（EA ED ，EFEB ）=（AQ ，MB ），由同弧所对的圆周角相等，从而有ACF AEF ∠=∠，FCD FED ∠=∠，DCB DEB ∠=∠图5 而=),(CB CF CD CAsin sin sin sin sin sin sin()sin ACF BCD ACF DCB ACB DCF ACF FCD DCB FCD∠∠∠∠=∠∠∠+∠+∠∠ =sin sin sin()sin AEF DEB AEF FED DEB FED∠∠=∠+∠+∠∠（EA ED ，EF EB ） 故（AM ，PB ）=（AQ ，MB ）即AP MB AM QB AB MP AB QM ⋅⋅=⋅⋅ 又M 为AB 的中点，从而AM MB =.把AP AM MP =+，QB QM MB =+代入上式得AM MP QM MB MP QM++= 即1AM QM MB MP QM ++= 即 11AM MB MP QM+=+ 故AM MB =，从而PM MQ =.（在上述证法中，射影几何的方法简单，它只需要计算一下交比，不但简捷，而且计算交比的方法适用于所有二阶曲线，这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、双曲线和抛物线上，不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替。

）通过前面的阐述和例题可以看出 ,对初等几何而言 ,高等几何具有鲜明的指导性和应用性特征。

高等几何是数学专业的一门重要的基础理论课.高等几何的涵义较为广泛.我国现在开设的高等几何课内容上以射影几何为主，兼顾其它，方法上采用代数法兼综合法而侧重代数法.目的旨在使学生系统接受射影几何而主要又是实射影平面几何的基本知识，认识射影空间的基本特性，研究方法和几何学的本质，深化几何空间的概念，为进一步学习近代数学奠定基础.从理论和实践的结合上学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，确认几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延.我们明白了高等几何与初等几何的内在联系，扩大了关于几何学的眼界，了解到初等几何在几何学中所处的地位，就有助于我们从几何学的全局与整体来理解和分析初等几何教材，就能对初等几何中的许多问题做透彻的理解.大学生通过这门课的学习，增强了自己的数学思维能力和空间想象能力.综上所述，高等几何对初等几何的指导作用较大，所以我们要“站得更高，看得更远”，应拓宽视野，拓广思路，这样才能更好的把握中学数学.利用高等几何的观点和思想方法，将已知初等几何命题进行变换，获得相关的其它初等几何命题，是十分有效的解题方法，只要我们有心，积极开动脑子，就会把高等几何的知识运用到初等几何中去.参考文献 :[ 1 ]赵强. 浅谈高等几何对中学几何教学的指导意义[J ] .南宁师范高等专科学校学报 ,2006 ,23 (4) :127 - 129.[ 2 ]马立. 高等几何对初等几何的指导作用之例证 ———一个命题在三种几何中的不同证法[J ] . 曲靖师专学报 ,1997 ,16 (5) :21 - 22.[ 3 ]廖小勇 ,胡如寿 ,袁明豪. 高等几何教学及其对中学教学作用的研究[J ] . 松辽学刊 ,2000 (3) 77 - 78.。