1二重积分的概念

D D
, 性质6 设M , m是f ( x, y)在闭区域D上的最大值、最小值 是D的面积, 则
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式） 性质7 设函数f ( x, y)在闭区域D上连续, 是D的面积, 则在D上至少存在一点 ( , ), 使得
f ( x, y)d f ( , )
解
当r x y 1时, 0 x 2 y 2 ( x y )2 1,
故
ln( x 2 y 2 ) 0 ;
ln( x 2 y 2 ) 0,
又当 x y 1时,
于是
r x y 1
2 2 ln( x y )dxdy 0 .
例4 比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
五、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
kf ( x, y)d k f ( x, y)d . 性质1 当k为常数时， D D
D
f ( x, y)d g( x, y)d 性质2 [ f ( x, y) g( x, y)]d D D
性质3 对区域具有可加性 ( D D1 D2 ) f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
第二十一章 重积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 二重积分的概念 直角坐标系下的二重积分的计算 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 二重积分的变量变换（换元积分法） 三重积分的概念 重积分的应用
§1 二重积分的概念
一、平面图形的面积 二、问题的提出 三、二重积分的定义 四、二重积分存在的条件 五、二重积分的性质
z f ( x, y)
高
柱体体积=？
特点：曲顶
D
曲顶柱体
曲顶柱体：
以平面有界区域D为底， 以曲面∑：z=f(x,y)为顶， 一般z=f(x,y)在D上连续。 侧面是柱面， 该柱面以D为准线， 母线平行于z轴。
z f ( x, y)
D
还有其他类型的柱面。
采用类似于求曲边梯形面积方法 步骤如下： 先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， 用若干个小平 顶柱体体积之
D
D
(3) 与定积分相似,若函数f (x, y)在D上可积,可采用特殊 的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重 积分值. 二重积分的具体形式 在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分区 域 D， 则面积元素为
y
dy D
o x
d dxdy
dx
故二重积分在直角坐标系中可 写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
(3) 求和 V f (ξ i ,ηi ) Δ i
i 1 n
y
x
(4) 取极限 令 max i 直径 1 i n
n i 1
i
D
( i ,i )
V lim f (ξ i ,ηi ) Δ i 0
2、求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点 (x,y)处的面密度为 (x,y) ，假定 (x,y)在D上连续，平 面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块，
1
2
x
因此
2 ln( x y ) d [ln( x y )] d . D D
小结 二重积分的定义
（和式的极限）
二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积代数和） 二重积分的性质 （线性、区域可加性、估值不等式）
分 划 细 度
积 分 和
定义2 设f (x, y)是定义在可求面积的有界闭域D上的 函数,J为一个常数,若>0,总>0,使得对于D的任意分 割T,当他的分割细度||T||<,属于T的所有积分和均有
i 1
f ( i ,i ) i J
n
则称函数f (x, y)在D上可积,数J称为f (x, y)在D上的二重 积分. n
(3)
(1) (1)
(1) (1)
(2)
D
(1)
(2)
(3)
(3)
o
x
对于平面图形D的所有直线网的分割T， 数集{ sD (T )}有上确界, { S D (T )}有下确界. 记为 I D sup{sD (T )}
于是有
T
I D inf { S D (T )} T
0 Βιβλιοθήκη BaiduI D ID
通常称I D为D的内面积, I D为D的外面积.
1 ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M 4 1 1 f ( x , y ) 的最小值 m ( x 1, y 2) 2 2 5 3 4 2 2 0.4 I 0.5. 故 I 5 4
例3
判断
r x y 1
2 2 ln( x y )dxdy 的符号.
若极限
lim f (ξ i ,ηi ) Δ i T 0
i 1
n
存在，则称其为f (x, y)在D上的二重积分，记为
f ( i , i ) i f ( x, y )d lim T 0 i 1
D
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素
由性质6知
e
D D
( x2 y2 )
d e ,
a2
ab e
( x2 y2 )
d abe .
a2
d 例2 估计 I 2 的值， 2 x y 2 xy 16 D 其中 D： 0 x 1, 0 y 2 .
1 , 区域面积 2 , 解 f ( x, y) 2 ( x y ) 16
积分变量
四、二重积分可积的条件
什么样的函数可积? 类似于定积分 1 必要条件
D上可积, 定理21.2.5 设函数f ( x, y)在有界可求闭区域 则f ( x, y)在D上有界. 设函数f ( x, y)在有界可求闭区域 D上有界, T为D的 任一分割, 将D分成n个可求面积的小区域 1 ,, n , 令
M i sup f ( x, y ), mi ( xinf f ( x , y ), ( i 1 , , n ) , y )
S (T ) M i i , s(T ) mi i
i 1 i 1 n
i
( x , y ) i
n
属于分割T的上和
属于分割T的下和
D
（二重积分中值定理）
例1 不作计算，估计 I e
D
( x2 y2 )
d的值, 其中
x2 y2 D是椭圆闭区域 2 2 1, (0 b a ) a b
解
区域D的面积,
在D上
ab
x2 y2
0 x2 y2 a2
1 e e
0
e ,
a2
一、平面图形的面积
为了研究定义在平面点集上二元函数的积分， 首先讨论平面有界图形的面积。 y
设平面图形D有界,
i
则存在一个矩形R,使得 D R D 为了考察D的面积，先用 一组平行于坐标轴的直线 网T分割D ，如图 T的网眼（小矩形）i可 o 以分为三类：(1) i上的点均是D内的点； (3) i上的点含有D的边界点。
z
z f ( x, y)
o
x
D

y
( i ,i )
i
和近似表示曲
顶柱体的体积，
(1) 分割
z
•
z =f (x, y)
任意分割D : i ( i 1, 2, , n)
(2) 作近似 任取( i ,i ) i
Vi f ( i ,i ) i (i 1, 2, ， n)
x
即 i D (2) i上的点均是D的外点；
将属于直线网T的第(1)类 小矩形的面积作和，记为 sD (T ) 将属于直线网T的第(1)类 与第(3)类小矩形的面积作 和，记为 S D (T ) 则有 sD (T ) S D (T ) R 由确界原理可知：
y
(3)
(2)
D
1 d d . 性质4 若为D的面积, D D
性质5
D1
D2
若在D上 f ( x, y) g( x, y), 则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D D
特殊地
f ( x, y)d f ( x, y) d .
定义1 若平面图形D的内面积I D等于其外面积I D , 则称D为可求面积，并将 I D I D I D 值称为D的面积. 定理21.1.1 平面有界图形D为可求面积 0, 直线网分割T , 使得S D (T ) sD (T ) 证明过程完全类似于定积分.
推论 平面有界图形D面积I D 0 I D 0 定理21.1.2 平面有界图形D为可求面积 D的边界D的面积为零.
定理21.1.3 若曲线K是定义在[a, b]上的 连续函数f ( x )的图象, 则曲线K的面积为零. x (t ) 所表示的光滑曲线或 由参数方程 定理21.1.4 y (t ) 按段光滑曲线, 其面积一定为零.
二、问题的提出
1. 曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 特点：平顶
上和、下和的性质类似于定积分
于是有
2 可积的充要条件 定理21.1.6 f ( x, y)在D上可积 lim S (T ) lim s(T )
T 0 T 0
定理21.1.7 f ( x, y )在D上可积 0, D的一个分割T , 使得S (T ) s(T ) 2 可积的充分条件 定理21.1.8 有界闭区域D上的连续函数f ( x, y )在D上可积. 定理21.1.9 设函数f ( x, y )是定义在有界闭区域 D上的有界 函数, 若f ( x, y )的不连续点都落在有限 条光滑 曲线上, 则f ( x, y )在D上可积. 〖证明〗见教材P215-216
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积;
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积 的负值. 若位于xoy面上方柱体的体积为正值； 位于xoy面下方柱体的体积为负值，
二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。 曲顶柱体体积 平面薄片的质量
V f ( x, y)d
M f ( x, y)d
f ( i , i ) i f ( x, y )d lim T 0 i 1
D
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素
分 划 细 度
积 分 和
对二重积分定义的说明：
(1) 二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取 是任意的。 (2) 二重积分的几何意义
D D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点 各为(1,0),(1,1), (2,0). y
解 三角形斜边方程 x y 2
在 D 内有 1 x y 2 e ,
1
D
故 ln( x y ) 1,
2 于是ln( x y ) ln( x y ) ,
o
y

取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
( i ,i )
i
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
n
o
x
M lim ( i ,i ) i .
0
i 1
三、二重积分的概念
简单的说
定义1 设f (x, y)在有界闭域D上有界，若对于D的任 意分割和在i上任意取 (i , i) ，作积、作和， 记分割T的细度 T max d i , d i 为 i的直径. i