高中数学：希望杯竞赛试题详解(110题)

高中数学：希望杯竞赛试题详解（110题）

题1 y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .

〔第十一届高二第一试第11题〕

解法1 b b a a b b a x ++=

-+=，a

b b a

a b b y -+=--=.

y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .

解法2

b

b a a

b b a b b b b a y x ++-+=

---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3

a a

b b a b b a a

b b b b a y x -+-

++=----+=-1111 =

y x y

x a a b b a <∴>-∴>--+,01

1,0.

解法4 原咨询题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2

)(2

2

2

y x y x +≥

+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .

解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点

A 〔a b -，a b -〕、

B 〔b ，b 〕、

C 〔b a +，b a +〕

由图象，明显有AB BC k k <，即

)

()(a b b a

b b b b a b b a ----<

-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.

解法6 令()f t =，t

t a a

t f ++=

)( 单调递减，而a b b ->，

)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.

解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x .

b+a

图1

如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A 〔b ，a b -〕、B 〔a b +，b 〕. 由图形，明显有1>AB

k ，即1>-+--b

b a a

b b ，

从而y x <. 解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，那么AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD

评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最差不多的

方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通

过分子有理化〔处理无理式常用此法〕将咨询题转化成比较两

个分母的大小.解法2直截了当作商与1比较大小，顺理成章，

也专门简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a

a b b

>⇔>；0

,

a b b

>⇔<.此题直截了当作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得咨询题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一

个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的〔最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的〕.解法5与解法7分不构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系咨询题转化成斜率咨询题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使咨询题得到解决，这也是解决大小关系咨询题和证明不等式的常用方法.

有人对此题作出如下解答：

取,2,1==b a 那么1

21

12,2

31

23+=-=+=

-=y x

，32+>10+>，

.,1

21

2

31

y x <∴+<

+可再取两组专门值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取不管多少组值〔也只能是有限组值〕验证，都得y x <，也只能讲明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能讲明y x <一定是正确的,因

图

2

图3

为这不能排除x y =的可能性.因此答案尽管正确，但解法是没有依照的.因此，假如将题目改为选择题：

y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 〔 〕

A 、y x >

B 、y x ≥

C 、y x =

D 、y x <

现在用上述解法，且不用再取专门值验证就可选D ，同时方法简单，答案一定正确. 总而言之，专门值法在解许多项选择择题时显得专门简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯独的，从而通过专门值排除干扰支，进而选出正确答案.但专门值法只能排除错误结论，而不能直截了当确信正确答案，因此，用此法解填空题〔少数特例除外〕与解答题是没有依照的.因此，利用专门值指明解题方向依旧十分可取的.

题2 设c b a >>N n ∈,，且11n

a b b c a c

+≥

---恒成立，那么n 的最大值为 〔 〕 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

〔第十一届高二第一试第7题〕

解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔

．min

a c a c n a

b b

c --⎡⎤

∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =

b a

c b b a --+-+b c a b b c

-+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当

b a

c b --=c b b

a --，即

b

c a 2=+时取等号．min

a c a c a

b b

c --⎡⎤

∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．应选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，不等式化为

()()()2a c n a b b c -≤

--．由()()()()22

2

42

a c a c a

b b

c a b b c --≥=---+-⎛⎫

⎪⎝

⎭

，即()()()4min

2=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由得

4≤n ，选C ．

解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11

．又()()()[]()41111112

=+≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫

⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，

即()411min =⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．应选C ．

解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴不等式可变形为