6-3 不定积分的分部积分法09.12.8

= 1 + x2 arctan x − ∫ 1 + x2 d(arctan x)
= 1 + x arctan x − ∫
2
1 1+ x ⋅ dx 2 1+ x
2
= 1 + x arctan x − ∫
2
1 1 + x2
d x 令 x = tant
∫
1 1 + x2
dx = ∫
1 1 + tan2 t
2
∫
解
( ) ( ) = (x2 + 6)sin x − 2∫ xsin xd x = (x2 + 6)sin x + 2∫ xdcos x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x − 2∫ cos xd x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x − 2sin x + c
简化
∫
1 x xe d x = ∫ e ⋅ 2xd x 2 u dv
x
1 x 1 = ∫ e d x2 = ( x2e x − ∫ x2 de x ) 2 2
1 2 x = ( x e − ∫ x2e x d x) 2
更不易积分
dv
= ∫ x2 de x dv
简化
vdu
I1 - 2 xex − ex + C （ ）
(第二次分部积分 第二次分部积分) 第二次分部积分
两次所选u的 两次所选 的 函数类型不 变！
= e x sin x + ∫ e x dcos x
u
= e x sin x + e x cos x − ∫ e x cos xd x
= e x sin x + e x cos x − I
ex I = (sin x − cos x) + C. 2
第6章 章
第三节 不定积分的分布积分法
一、分部积分公式 二、典型例题
引例
∫e
x
令 x =t dx 2∫ t et dt
（换元法无法解决） 换元法无法解决）
一、分部积分公式 由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′ 积分得
uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′ dx
公式的作用： 公式的作用： 改变被积函数
= xarcsin x+ 1 − x2 + C
xe E 例6-1 求 I = ∫ d x. 2 ( x + 1) A
x
E 指数函数 x x 方法1) 解(方法 I = ∫ 方法 de x [ ]′ ( x + 1)2 ( x + 1) ( x + 1) − 1 x x ]′ = [ x x ( x + 1) e − ∫ e ⋅[ ]′ d x = 2 2 1 1 ( x + 1) ( x + 1) ]′ = [ − x + 1 ( x + 1) x 1 2 x x e − ∫ e ⋅[− ]d x = + 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x 1 ex ex + ∫ dex − 2∫ dx = 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
sec2 t dt = ∫ sect dt
= ln(sec t + tant ) + C = ln( x + 1+ x2 ) + C
∴
∫
xarctan x 1 + x2
dx
= 1+ x2 arctan x − ln( x + 1+ x2 ) + C.
例5
I = ∫ e x cos x dx= ∫ cos xde x dv = e x cos x− ∫ e x dcos x vdu x + ∫ sin xe x dx = e cos x
∴
例6 I = ∫ tan xsec xd x
2
= ∫ tan xdsec x udv = tan xsec x− ∫ sec3 xd x uv = tan xsec x− （ 2 x + 1 sec xd x ） ∫ tan
= tan xsec x − I − lnsec x + tan x + C
2
简化
1 2 1 = x arctan x − ( x − arctan x) + C 2 2
∫ arcsin xdx = ? ∫ arctan xdx = ?
注 2° 分部积分小结(1) ° 分部积分小结(1)
(1) ∫ xneαx d x xn sin xd x ∫
设u = xn （例1，例2） ， ）
(1) dv =ψ ( x)d x
∫ψ( x)d x易积分,
(2)
v 易求 ;
∫ vdu比∫ udv 易积分.
求下列不定积分： 例3 求下列不定积分：
x2 (1) I1 = ∫ x ln xdx = ∫ ln xd 2 u dv x2 x2 = ln x− ∫ dln x 2 2 vdu 1 1 2 = x ln x − ∫ xdx 2 2
t t
1 故 I = (sin t + cos t )e t + C 2
I =∫
e
arctan x
2
3
(1 + x )
dx .
2
x = tant
1 + x2
x
t
1 I = (sin t + cos t )e t + C， 2
1
x 1 arctan x 1 + +C = 2 2 e 1+ x 2 1+ x
1 2 1 2 = x ln x − x + C 2 4
简化
∫ ln xdx = ？
x2 2 （）I2 = ∫ x arctanx dx= ∫ arctan x d( ) 2 udv
1 2 1 x = x arctan x− ∫ dx 2 2 2 1+ x
1 1 1 2 ) dx = x arctan x − ∫ (1 − 2 2 2 1+ x
1 故 I = [tan xsec x − lnsec x + tan x ] + C 2
综合题 例8
令t = x 2 te t dt ∫
= 2(t e t − e t ) + C = 2e
x
( x − 1) + C
例9
= ∫ lncos xdtan x udv
= tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx = tan x ⋅ lncos x+ ∫ (sec2 x − 1) dx = tan x ⋅ lncos x+ tan x − x + C
= x2 + 6 sin x − ∫ sin xd x2 + 6
( x2 + 6)cos xd x = ∫ ( x2 + 6)dsin x ∫
例2-1 求 x e 解
∫
2 −x
dx
x2 e− x d x= −∫ x2 de− x ∫
2 −x
= − x2 e− x + ∫ e− x d x2 = −x e + 2∫ xe
例11 求 I = ∫
e
arctan x
3
(1 + x2 )
dx .
2
先换元, 解 先换元 后分部 令 x = tant , et I = ∫ 3 ⋅ sec2 t d t = ∫ e t cos t d t sec t
= e t sin t −∫ e t sint d t
= e sin t + e cos t − ∫ e t cos t d t
例2
1 2 ？ 分析 取 u== ? x, xd x = d x = dv = u cos 2 x2 x2 ∫ xcos xd x = 2 cos x + ∫ 2 sin xd x 更不易积分
显然，u 选择不当，积分更难进行 显然， 选择不当，积分更难进行. 解
u dv
= ∫ xdsin x dv
例10 已知
的一个原函数是
求
cos x ′ 解 f ( x) = （ ）， x cos x + C1 ∫ f ( x)d x = x
故 ∫ x f ′( x)dx = ∫ xd f ( x) = x f (x)− ∫ f ( x)dx
cos x ′ cos x cos x )− + C = −sin x − 2 = x( +C x x x
注意循环形式
= e x cos x + e x sin x− ∫ e x cos x dx
= e cos x + e x sin x − I
x
1 x I = e (sin x + cos x) + C 2
问: 选 u = e x 行吗？ 行. 行吗？
I = ∫ e x d(sin x)= e x sin x − ∫ sin xde x u = e x sin x − ∫ sin x ⋅ e x d x
设 u = ln x
（例3(1)） ）
(2)
xn ln xd x ∫
dv = xn d x
(3)
xn arcsin xd x 设 u = arcsin x ∫
（例3(2)） ）
3° 选 u 的优先原则： ° 优先原则 原则： “对反代三指” 法 对反代三指” 对反代三指 ( 或称为“ LIATE ” 法). 或称为“ 选 u 的 优 先 顺 序 L I A T E 对数函数 反三角函数 代数函数 三角函数 指数函数
2 2 2
选 u 的 优 先 顺 序
L 对数函数 I 反三角函数 A 代数函数 T 三角函数
x 1 ex I= ex + ∫ dex − 2∫ dx 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
x ex (−2) x ex ex + [ e dx] − 2∫ dx = − 2 2 ∫ 3 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
cos x dx ∫ sin x cos x dx = 1+ ∫ sin x cos x cos x dx − ∫ dx = 1, ∴ ∫ sin x sin x
得0=1 = ln sin x + C
答 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
例 1-1 求 ( x + 6)cos xd x
−x
dx
= − x2 e− x − 2∫ xde− x = − x2 e− x − 2xe− x + 2∫ e− x d x
= −x e
2 −x
− 2x e
−x
− 2e
−x
+C
例3-1
udv
= xarcsin x − ∫
x 1 − x2
简化
dx
−1 1 2 = xarcsin x + ∫ (1 − x ) 2d(1 −x2 ) 2
内容小结
分部积分公式 ∫ uv′ dx = uv − ∫ u′v dx 1. 使用原则 : v易求出 ∫ u′v dx易积分 易求出,
v 2. 使用经验 : “对反代三指” , 前 u 后 ′ 对反代三指” 对反代三指
3. 处理类型 : 简化型 ; 方程型; 递推型 方程型 递推型.
思考题
下述运算错在哪里? 应如何改正? 下述运算错在哪里 应如何改正
∫ uv′ dx = uv − ∫ u′v dx ∫ udv = uv − ∫ v du
—— 分部积分公式
二、典型例题 例1 （ I = ∫ Leabharlann Baidu e x dx 1 1 ）
= ∫ x de u dv
x
x
= xe − ∫ e x dx v du uv = xe x − e x + C
问： 能否取 u = e x ? 不行. 不行.
ex = + C. x +1
( x + 1) − 1 x (方法 方法2) I = ∫ 方法 e dx 2 ( x + 1)
ex ex dx − ∫ dx =∫ 2 x +1 ( x + 1)
ex 1 x dx + ∫e d =∫ x +1 ( x + 1)
x ex ex ex e dx + dx = =∫ −∫ + C. x +1 x +1 x +1 x +1
例6-2
udv
= x x +a −∫
2 2
x2 x +a
2 2
dx
迎合分母
= x x +a −∫
2 2 2 2
( x2 +a2 )−a2 x +a
2 2
dx
dx x2 +a2
+ a2 ∫ = x x + a − ∫ x + a dx
简化
= xsin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C uv v du
dv
= −∫ x dcos x dv
2
vdu
I1
简化
+ 2( x sin x + cos x) + C
推广
xn sin xd x, 令u = xn ∫
注 1° 设 ∫ f ( x)d x, 其中f ( x) = ϕ( x) ( x). ° ψ 一般原则 原则： 选 u 的一般原则：
I L 对数函数 选 xarctan x u I 反三角函数 d x. 例4 求积分 ∫ 的 1 + x2 A A 代数函数 优 T 三角函数 先 x 2 ′ 顺 解 Q ( 1+ x ) = , E 指数函数 2 序 1+ x xarctan x ∴ ∫ d x = ∫ arctan xd 1 + x2 u 1 + x2