初三数学圆的经典讲义
《圆的初步认识》 讲义
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《圆的初步认识》讲义一、引言在我们的日常生活中,圆无处不在。
从汽车的轮胎到时钟的表盘,从美味的披萨到璀璨的月亮,圆以其独特的魅力和广泛的应用,成为了数学世界中一个重要的图形。
那么,究竟什么是圆呢?让我们一起来初步认识一下这个神奇的图形。
二、圆的定义圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心,定长称为半径。
简单来说,圆就是由无数个到圆心距离相等的点组成的封闭曲线。
我们可以用一个简单的例子来理解。
想象一下,你用一根绳子的一端系上一支铅笔,另一端固定在一个点上。
然后,你拉紧绳子,让铅笔围绕着固定点旋转一周,所画出的图形就是一个圆。
固定点就是圆心,绳子的长度就是半径。
三、圆的各部分名称1、圆心圆心是圆的中心,通常用字母“O”表示。
它决定了圆的位置。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,通常用字母“r”表示。
半径的长度决定了圆的大小。
同一个圆中,所有的半径长度都相等。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,通常用字母“d”表示。
直径是圆中最长的线段,同一个圆中,直径的长度是半径的 2 倍,即 d = 2r 。
四、圆的特征1、圆是轴对称图形圆有无数条对称轴,任何一条通过圆心的直线都是圆的对称轴。
这意味着,如果我们沿着对称轴将圆对折,两边的部分能够完全重合。
2、圆是中心对称图形圆的圆心就是它的对称中心。
绕着圆心旋转任意角度,圆都能与自身重合。
五、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。
圆的周长计算公式是 C =2πr 或 C=πd ,其中π(读作“派”)是一个常数,约等于 314 。
为了更好地理解圆的周长,我们可以做一个小实验。
拿一个圆形的物体,比如一个圆盘,在它的边缘上做一个标记。
然后将圆盘在一条直线上滚动一圈,测量标记点经过的距离,这个距离就是圆的周长。
六、圆的面积圆的面积是指圆所占平面的大小。
圆的面积计算公式是 S =πr² 。
我们可以通过将圆分割成无数个小扇形,然后将这些小扇形拼成一个近似的长方形来推导圆的面积公式。
人教版初三数学上册 圆的概念 讲义
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圆知识点一、认识圆相关的图形解题技巧:1、到一个定点距离相等的点组成的图形叫做圆,这个定点叫做____,这段距离叫做____2、圆上任意两点间的部分叫做弧,弧分为优弧和劣弧。
大于半圆的弧叫_____,小于半圆的弧叫_____AB表示点A和点B之间的劣弧;在点A和点B之间找一点C,则ACB表示点A和点B之间的优弧3、圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦4、由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形例1、如图,AB为⊙O的直径,且AB=AC,∠C=70°,AC、BC分别交⊙O于D、E。
则∠DOE的度数是()A、15°B、20°C、30°D、40°1、如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C的大小为()A、62°B、56°C、60°D、28°2、如图,这是小明同学设计的一幅图形,图中∠AOB的度数是()A、100°B、110°C、120°D、130°3、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则圆弧BD所对应圆心的度数为()A、25°B、30°C、50°D、65°4、在同一平面内,连接某一个点与圆上任意一点的线段中,最短长为4cm,最长为9cm,则该圆的半径是()A、2.5cm或6.5cmB、2.5cmC、6.5cmD、5cm或13cm5、如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A、B、C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是()A、点PB、点QC、点RD、点M6、如图,小明顺着大半圆从A地到B地,小红顺着两个小半圆从A地到B地,设小明、小红走过的路程分别为a、b,则a与b的大小关系是()A、a=bB、a<bC、a>bD、不能确定7、如图所示,直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动逆时针滚动一周到达A点,则A点表示的数是()A、-2π-1B、-1+πC、-1+2πD、-π8、如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为()A、40B、50C、60D、709、下列说法正确的是______________①圆是轴对称图形,有无数条对称轴②半圆是弧,圆也是弧③直径是弦④弦是直径⑤半径相等的圆是等圆⑥半径相等的圆是同圆⑦在同圆或等圆中,较长的弧所对的弦较长10、下列说法正确的是______________①长度相等的弧是等弧②弓形是弦及弦所对的弧组成的图形③周长相等的圆是等圆④圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分⑤优弧的弧长一定大于劣弧的⑥优弧的长度一定大于劣弧⑦三点确定一个圆。
中考数学-圆讲义及练习
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第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念(1)圆的定义:在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
以点O 为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.(2)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.(3)直径:经过圆心的弦叫做直径.(4)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.(5)弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”.大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示).2. 圆心角、弧、弦的关系(1)定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三者关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”.3. 圆周角定理(1)圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.典例剖析例(1)如图,BC是⊙O的直径,A,D是⊙O上的两点,连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是()A.20°B.70°C.30°D.90°(例(1)图)(例(2)图)(2)如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD=度.跟踪训练1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的度数等于()A.60°B.50°C.40°D.30°(第1题图)(第2题图)(第3题图)2.如图,A、B、C是⊙O上的三个点,若∠AOC=110°,则∠ABC=.3.如图,C、D两点在以AB为直径的圆上,AB=2,∠ACD=30°,则AD=.过关精练1.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若∠ABC=70°,则∠AOC的度数等于()A.140°B.130°C.120°D.110°(第1题图)(第2题图)(第3题图)(第4题图)2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径.若∠BOC=80°,则∠A等于()A.60°B.50°C.40°D.30°3.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°4.如图,点A,B,C,D,E均在⊙O上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为()A.45°B.60°C.75°D.90°5.AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠ABC=65°,那么∠OCA的度数是()A.25°B.35°C.15°D.20°(第5题图)(第6题图)(第7题图)(第8题图)6.如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是()A.70°B.80°C.110°D.140°7.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是()A.40°B.50°C.70°D.80°8.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,若∠CBA=70°,则∠D的度数是.9.如图,点A,B,C在⊙O上,点C在优弧上,若∠OBA=50°,则∠C的度数为.(第9题图)(第10题图)10.如图,点A、B、C为⊙O上的三个点,∠BOC=2∠AOB,∠BAC=40°,则∠ACB=度.知识点2 垂径定理(1)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分所对的两条弧.(2)垂径定理的推论推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.推论3:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.典例剖析例(1)如图⊙O的直径CD=20,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OC=3:5,则AB的长为()A.8B.12C.16D.2(例(1)图)(例(2)图)(2)如图,AB是⊙O的直径,AB=4,点M是OA的中点,过点M的直线与⊙O交于C、D两点.若∠CMA=45°,则弦CD的长为.跟踪训练1.如图,在⊙O中,半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是()A.3B.2.5C.2D.1(第1题图)(第2题图)2.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为.3.已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=()A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm(第1题图)(第2题图)(第3题图)2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是()A.B.2C.6D.83.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD =20°,则下列说法中正确的是()A.AD=2OB B.CE=EO C.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD 4.如图,在半径为的⊙O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是()A.2B.2C.2D.4(第4题图)(第5题图)(第6题图)(第7题图)5.如图,在直径为10cm的⊙O中,BC是弦,半径OA⊥BC于点D,AD=2cm,则BC的长为cm.6.如图所示,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,垂足为E,已知AB=6,OE=4,则直径CD=.7.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为.知识点3 切线的性质(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线性质的运用见切点,连半径,见垂直.例(1)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,BC与⊙O交于点D,连结OD.若∠C=50°,则∠AOD的度数为()A.40°B.50°C.80°D.100°(例(1)图)(例(2)图)(2)如图,△ABC中,∠A=30°,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作圆,⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分∠ABC,AD=2,则线段CD的长是()A.2B.C.D.跟踪训练1.如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD.若∠BAC=55°,则∠COD的大小为()A.70°B.60°C.55°D.35°(第1题图)(第2题图)2.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD与⊙O相切于点D,过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,则P A的长为()A.4B.2C.3D.2.5过关精练1.如图AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,若∠C=40°,则∠B的度数为()A.60°B.50°C.40°D.30°(第1题图)(第2题图)2.如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,AE是⊙O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为()A.40°B.50°C.60°D.20°3.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB 的度数为()A.40°B.50°C.65°D.75°(第3题图)(第4题图)(第5题图)4.如图,CB为⊙O的切线,点B为切点,CO的延长线交⊙O于点A,若∠A=25°,则∠C的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°5.如图,AB为⊙O的切线,切点为A,连接AO、BO,BO与⊙O交于点C,延长BO与⊙O 交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°6.如图,P是⊙O外一点,P A是⊙O的切线,PO=26cm,P A=24cm,则⊙O的周长为()A.18πcm B.16πcm C.20πcm D.24πcm(第6题图)(第7题图)7.如图,AB是⊙O的直径,P A切⊙O于点A,连结PO并延长交⊙O于点C,连结AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是()A.B.C.5D.8.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上,过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为()A.1B.2C.D.(第8题图)(第9题图)9.如图,在△ABC中,O是AB边上的点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=OD,AB=12,CD的长是()A.2B.2C.3D.410.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点,以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为.(第10题图)(第11题图)(第12题图)11.如图,AB是⊙O的切线,点B为切点,若∠A=30°,则∠AOB=.12.如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD,若∠A=50°,则∠COD的度数为.13.如图,P A、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC =.(第13题图)(第14题图)(第15题图)14.如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC.若∠A=36°,则∠C=度.15.如图,⊙O与AB相切于点A,BO与⊙O交于点C,∠B=26°,则∠OCA=度.16.如图,C为⊙O外一点,CA与⊙O相切,切点为A,AB为⊙O的直径,连接CB.若⊙O的半径为2,∠ABC=60°,则BC=.(第16题图)(第17题图)17.已知:如图,CD是⊙O的直径,点A在CD的延长线上,AB切⊙O于点B,若∠A=30°,OA=10,则AB=.知识点4 扇形面积的计算(1)圆面积公式:S=πr2(2)扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.(3)扇形面积计算公式:设圆心角是n°,圆的半径为R的扇形面积为S,则S扇形=πR2或S扇形=lR(其中l为扇形的弧长)(4)求阴影面积常用的方法:①直接用公式法;②和差法;③割补法.(5)求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.例(1)如图,四边形ABCD是矩形,AB=4,AD=2,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交CD于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是.(2)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,BC=2,将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置,此时点A′恰好在CB的延长线上,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).跟踪训练1.如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE长为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.(第1题图)(第2题图)(第3题图)2.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过的面积为()A.B.(2﹣)πC.πD.π3.如图,半圆的直径AB=6,点C在半圆上,∠BAC=30°,则阴影部分的面积为(结果保留π).1.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,分别以点A、C为圆心,AD、CB为半径画弧,交AB于点E,交CD于点F,则图中阴影部分的面积是()A.4﹣2πB.8﹣C.8﹣2πD.8﹣4π(第1题图)(第2题图)(第3题图)2.如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=,则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.+3.如图,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为()A.2π﹣B.π+C.π+2D.2π﹣24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径作半圆,交AB于点D,则阴影部分的面积是()A.π﹣1B.4﹣πC.D.2(第4题图)(第5题图)(第6题图)(第7题图)5.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=2,以AB的中点O为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为()A.﹣B.+C.2﹣πD.4﹣6.如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A.8﹣πB.16﹣2πC.8﹣2πD.8﹣π7.如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为()A.π﹣4B.C.π﹣2D.8.如图,在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,则阴影部分的面积为()A.2π﹣4B.4π﹣8C.2π﹣8D.4π﹣4(第8题图)(第8 题图)(第10题图)9.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D,则图中阴影部分的面积是()A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ABC=60°,AB=2,分别以点A、点C为圆心,以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)11.如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,以AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π).(第11题图)(第12题图)(第13题图)12.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB 于点E,图中阴影部分的面积是(结果保留π).13.如图,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD的长为半径画弧,再以AB边的中点为圆心,AB长的一半为半径画弧,则两弧之间的阴影部分面积是(结果保留π).14.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4.以A为圆心,AC长为第 11 页 共 12 页半径作弧,交AB 于点D ,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)15.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)(第14题图) (第15题图)16.如图,一个圆心角为90°的扇形,半径OA =2,那么图中阴影部分的面积为 (结果保留π).(第16题图) (第17题图) (第18题图)17.如图在正方形ABCD 中,点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点,若圆的半径等于1,则图中阴影部分的面积为 .18.如图,在扇形OAB 中,∠AOB =90°.D ,E 分别是半径OA ,OB 上的点,以OD ,OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上.若OD =8,OE =6,则阴影部分图形的面积是 (结果保留π).19.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =2,将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为 .(第19题图) (第20题图)20.如图,在矩形ABCD 中,CD =2,以点C 为圆心,CD 长为半径画弧,交AB 边于点E ,且E 为AB 中点,则图中阴影部分的面积为 .21.如图,在▱ABCD 中,AD =2,AB =4,∠A =30°,以点A 为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是(结果保留π).22.如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AC=2,BC=,以点A为圆心,AB.为半径画弧,交AC于点D,则阴影部分的面积是第12 页共12 页。
初三上册数学圆的知识点归纳总结
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初三上册数学圆的知识点归纳总结数学中的圆是一种重要的几何图形,在初中数学的学习中也占据着重要的地位。
下面对初三上册数学中关于圆的知识点进行归纳总结,以帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、圆的定义和性质1. 定义:圆是一个平面上与一个固定点距离相等的点的集合。
2. 元素:圆心、半径、弦、弧、切线等。
3. 性质:(1) 圆上所有点到圆心的距离相等。
(2) 圆上的弦的垂直平分线通过圆心。
(3) 圆上的任意一条弧都小于或等于圆周长的一半。
二、圆的线段关系1. 半径与弦:如果一个线段的两个端点都在圆上,且其中一个是圆心,那么这个线段就是半径;如果这个线段的两个端点都在圆上但不是圆心,那么这个线段就是弦。
2. 弦的性质:(1) 通过圆心的弦是直径,直径是圆上最长的弦。
(2) 在同一个圆或等圆中,等长的弦所对的圆心角相等。
(3) 如果一个弦与另一个弦交于圆内的一点,那么两个弦所对的弧相等。
三、圆的圆周角和弧度制1. 圆周角的定义:以圆心为顶点的角,角的两边是圆上的两条弧。
圆周角的度数等于所对的圆弧的度数。
2. 弧度制:将圆的一周等分为360份,每份称为一度,每度又等分为60分,每分又等分为60秒。
弧度是用弧长等于半径的圆周长所对应的角中的弧所对应的角。
3. 弧度制与角度的换算:(1) 1度= π/180弧度(2) 1弧度≈ 57.3度四、切线与切线定理1. 切线定义:如果一条直线与圆相交于圆上的一点,且在该点处的切线与这条直线垂直,那么这条直线就是圆的切线。
2. 切线定理:切线与半径垂直。
(1) 如果一条直线与圆相交于圆上的一点,并且通过圆心,那么这条直线就是切线。
(2) 反之,如果一条直线与圆相交于圆上的一点,并且与通过圆心的切线垂直,那么这条直线就通过圆心,也是切线。
五、圆的面积和周长1. 圆的周长公式:C = 2πr,其中C表示圆的周长,r表示半径。
2. 圆的面积公式:A = πr²,其中A表示圆的面积,r表示半径。
精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题
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圆的基本性质知识点圆的定义几何定义:线段OA,绕O点旋转一周得到的图形,叫做圆。
其中,O为圆心,OA为半径。
集合定义:到定点等于定长的所有点的集合。
其中,定点为圆心,定长为半径。
圆的书写格式:圆的对称性(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
与圆有关的线段半径:圆上一点与圆心的连线段。
确定一个圆的要素是圆心和半径。
弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径:经过圆心的弦叫做直径。
弦心距:圆心到弦的垂线段的长。
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
劣弧:小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
表示方法:优弧:大于半圆周的圆弧叫做优弧。
表示方法:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
注意:同弧或等弧对应的弦相等。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径,也可以是半径,深圳可以是过圆心的直线或线段;该定理也可以理解为:若一条直线具有两条性质:①过圆心;②垂直于一条弦,则此直线具有另外三条性质:①平分此弦;②平分此弦所对的优弧;③平分此弦所对的劣弧.推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意:(1)在圆中,与已知弦(非直径)相等的弦共有条;共端点且相等的弦共有条。
(2)在圆中,与已知弦(非直径)平行的弦共有条;平行且相等的弦共有条。
例1.如图:OA、OB为⊙O的半径,C、D分别为OA、OB的中点,求证:AD=BC.例2.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足是E,如果AB=10cm,CD=8cm,求AE的长。
(完整版)初三数学圆的经典讲义
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圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理(选学)圆与圆的位置关系圆的有关计算一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,︒=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。
数学九年级下册圆的知识点
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数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念,广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中,我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中,圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中,距离固定点最远的点称为圆的半径,固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质:圆上任意两点间的线段都是半径,且长度相等。
2. 圆的直径性质:圆的直径是圆上任意两点的连线,且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质:圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等,而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质:过圆上一点可以作无数条切线,这些切线与以该点为顶点的两条切线相等,且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式:圆的周长称为圆周长,通常用C表示,公式为C = 2πr,其中r为圆的半径,π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式:圆的面积称为圆面积,通常用A表示,公式为A = πr²,其中r为圆的半径,π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用:在物理学中,圆的运动学应用非常广泛,例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用:在建筑学中,圆被广泛应用于设计和构建中,例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用:在电子工程中,圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用:在地理学中,圆被用于表示地球的形状,地球是近似于一个球体。
总结:在数学九年级下册中,我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识,我们能够更好地理解圆的特性,应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识,我们可以提高解决问题的能力和思维能力,为今后的数学学习打下坚实的基础。
初三数学圆知识点复习专题经典讲解学习
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《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内;2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上;3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点;2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点;3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点;drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r >+; r dd CBAO外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+; 相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+; 内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;图1rRd图3rR d五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义
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合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆,观察画图过程.由此你会得出什么结论?知识讲解定义1:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆,记作O,读作“圆O〞.定义2:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.注意〔1)圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可.(3) 定点是圆心,定长是半径.(4) “圆〞指的是“圆周〞,而不是“圆平面〞.典例剖析例1 以下说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个;(2) 以P点为圆心的圆有无数个;(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。
(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析确定一个圆必须满足两个条件,即圆心和半径,只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个,故(1)(2)正确,(3)虽然半径,但P点不是圆心,实际上也只是一个条件,能作无数个圆,故(3)正确;(4)满足两个条件,只能作一个圆,所以(4)错误.综上所述,错误的说法有1个,应选A答案 A错因分析导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。
类题打破1 以O点为圆心画圆,可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.答案无数无数点拨确定圆的条件:一是圆心,二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的局部AB.读作“圆弧AB〞或“弧AB〞,圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
注意 (1)弦和弧是有区别的,弦是线段,而弧是曲线。
(2)直径是圆中最长的弦,而弦不都是直径。
人教版九年级数学上册 第24章 圆基础的知识点,(圆讲义)
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学员姓名:_______ 年级:__________ 所授科目:___数学__________一、圆的定义:1. 描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径.2 圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O⊙”,读作“圆O”.3 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆.注意:同圆或等圆的半径相等.1. 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.2. 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍.3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB.5. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.6. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.7. 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称这样的弧为1︒的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.2. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等.板块二:圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线.2. 圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.3. 圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合.二、垂径定理1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2. 推论1:⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.3. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.练习题;1.判断:(1)直径是弦,是圆中最长的弦。
人教版 九年级数学 圆及其基本性质讲义 (含解析)
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第8讲圆及其基本性质知识定位讲解用时:3分钟A、适用范围:人教版初三,基础偏上B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们主要学习圆及其基本性质,重点掌握圆的有关概念,能够对相关概念进行辨析,其次理解与圆有关的性质、定理及其推论,着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理,能够利用相关定理及推论进行解题,本章是中考重点内容之一,也是历年常考难点知识点之一,希望同学们认真学习,为后面的学习奠定良好的基础。
知识梳理讲解用时:25分钟圆的相关概念(1)圆的定义①在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,以O点为圆心的圆,记作“①O”,读作“圆O”;①圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.(2)半径:联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径;(3)直径:经过圆心,并与圆两端相交的线段叫做圆的直径;(4)圆心角:以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角;(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角;(6)弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧;(7)半圆:圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆;(8)优弧:大于半圆的弧叫做优弧;课堂精讲精练【例题1】下列说法错误的是()。
A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】本题考查了与圆有关的概念,A、直径是圆中最长的弦,所以A选项的说法正确;B、在同圆或等圆中,长度相等的两条弧是等弧,所以B选项的说法错误;C、面积相等的两个圆的半径相等,则它们是等圆,所以C选项的说法正确;D、半径相等的两个半圆是等弧,所以D选项的说法正确,故选:B.讲解用时:3分钟解题思路:根据直径的定义对A进行判断;根据等弧的定义对B进行判断;根据等圆的定义对C进行判断;根据半圆和等弧的定义对D进行判断。
初中数学九年级(初三)圆中的最值问题(讲义)
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P
F
O
EA
x
1
二、圆与将军饮马 1、如图,CD 是⊙O 的直径,点 A 是半圆上的三等分点,B 是弧 AD 的中点,P 点为直线 CD 上的一个动 点,CD=4. (1)求 AP+BP 的最小值; (2)求 AP﹣BP 的最大值.
2、如图,已知圆 O 的面积为 3π,AB 为直径,弧 AC 的度数为 80°,弧 BD 的度数为 20°,点 P 为直径 AB 上任一点,则 PC+PD 的最小值为_________.
【归纳】 1、垂线段、对称; 4、随动点问题
圆中的最值问题
2、构建函数(不等式); 5、最大角问题
3、弦角问题;
【讲练】 一、垂线段最短 1、如图,已知 AB 是⊙O 的弦,C 是⊙O 上的一个动点,连接 AC、BC,∠C=60°,⊙O 的半径为 2,则 △ABC 面积的最大值是_________. 2、如图,半圆 O 的半径为 1,AC⊥AB,BD⊥AB,且 AC=1,BD=3,P 是半圆上任意一点,则封闭图形 ABDPC 面积的最大值是_________. 3、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 经过点 A(﹣4,0)、B(0,4),⊙O 的半径为 1(O 为坐 标原点),点 P 在直线 AB 上,过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ,Q 为切点,则切线长 PQ 的最小值为_________.
2、如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2 2,D 是线段 BC 上的一个动点,以 AD 为直径 作⊙O 分别交 AB、AC 于 E、F,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为___________.
2、如图,△ABC 中,∠ABC=45°,AC=2,半径为 5的⊙O 始终过 A、C 两点,连接 OB,则线段 OB 长 度的最大值为____________.
第22课 圆的基本概念和性质(学生版 九年级数学上册精品讲义(人教)
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A.2.5cm
B.6.5cm C. 2.5cm 或 6.5cm D. 5cm 或 13cm
【即学即练 4】(1)过____________________上的三个点确定一个圆. (2)交通工具上的轮子都是做圆的,这是运用了圆的性质中的_________.
【典例 5】如图,⊙O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,那么 OP 的长的取值范围是
的图形叫做圆,固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做
. 以点 O 为圆心的圆,记作“ ”,读
作“圆 O”.
要点诠释:
①圆心确定圆的
,半径确定圆的
;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不
可;
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态:圆心为 O,半径为 r 的圆是平面内 的集合.
要点诠释:
①定点为圆心,定长为半径;
【即学即练 2】 点 A、O、D 与点 B、O、C 分别在同一直线上,图中弦的条数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
考法 03 圆的对称性
【典例 4】圆 O 所在平面上的一点 P 到圆 O 上的点的最大距离是 10,最小距离是 2,求此圆的半径是多少?
【即学即练 3】平面上的一个点到圆的最小距离是 4cm,最大距离是 9cm,则圆的半径是( ).
弧:
叫做圆弧,简称弧.以 A、B 为端点的弧记作 »AB ,读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,
优弧:
的弧叫做优弧;
劣弧:
的弧叫做劣弧.
半圆是弧,而弧不一定是半圆; ②无特殊说明时,弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第讲 正多边形和圆弧长和扇形面积(有答案)
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第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一:圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行:::1:3:2OD BD OB =;2、正四边形 同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:180n R l π=; (2)扇形面积公式: 213602n R S lR π== n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 l :扇形弧长 S :扇形面积2、圆柱侧面展开图:3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ,那么它的边心距等于( )A .10cmB .5cmC .cm D .cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21,则此正多边形为( ) A .正三角形 B .正方形 C .正六边形 D .正十二边形例3、如图,在⊙O 内,AB 是内接正六边形的一边,AC 是内接正十边形的一边,BC 是内接正n 边形的一边,那么n= .例4、圆的内接正六边形边长为a,这个圆的周长为.例5、如图,已知边长为2cm的正六边形ABCDEF,点A1,B1,C1,D1,E1,F1分别为所在各边的中点,求图中阴影部分的总面积S.举一反三:1、下列命题中的真命题是()A.三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2:1B.正六边形的边长等于其外接圆的半径C.圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D.各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a,其内切圆的半径为r,外接圆的半径为R,则r:R:a=()A.1:1:B.1::2 C.1::1 D.:2:43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片,则此正六边形的边长为 cm.4、如图,正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中,已知外接圆的半径为2,则阴影部分面积为.5、如图,⊙O半径为4cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t(s).(1)求证:四边形PEQB为平行四边形;(2)填空:①当t= s时,四边形PBQE为菱形;②当t= s时,四边形PBQE为矩形.考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°,半径是R,则这条弧长是()A.B.C.D.例2、一个滑轮起重装置如图所示,滑轮半径是10cm,当重物上升10cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O,绕逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14,结果精确到1°)()A.115°B.160°C.57°D.29°例3、已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=120°,OB=1,则∠BAD= 度,∠BCD= 度,弧BCD的长= .例4、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=cm,将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置,且使点A、B、C′三点在一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是.例5、如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC为对角线.将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′,连接DC′.(1)求证:△ADC≌△ADC′;(2)求在旋转过程中点C扫过路径的长.(结果保留π)举一反三:1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°,则弧所在的圆的半径为()A.6 B.6C.12D.182、如图,一块边长为10cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时,顶点B从开始到结束所经过的路径长为()A.20cm B.20cm C.10πcm D.5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形,圆弧的半径是2km.一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道.那么弯道所对的圆心角的度数为度.(π取3.14,结果精确到0.1度).4、已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如图放置在直线AP上,然后不滑动地转动,当它转动一周时(A→A′),顶点A所经过的路线长等于.5、如图,在一个横截面为Rt△ABC的物体中,∠CAB=30°,BC=1米.工人师傅把此物体搬到墙边,先将AB边放在地面(直线l)上,再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置(BC1在l上),最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置,其平移的距离为线段AC的长度(此时A2C2恰好靠在墙边).(1)请直接写出AB、AC的长;(2)画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径,并求出该路径的长度(精确到0.1米).考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示,各圆心的连线构成一个五边形,那么阴影部分的面积是()A.B.2π C.D.3π例2、一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=4cm,以点A 为圆心,AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F,则商标图案的面积是()A.(4π+8)cm2 B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2 D.(3π+16)cm2例3、如图,E是正方形ABCD内一点,连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC,若BA=4,BE=3,在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积.例4、如图,有一直径为1米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形,则剩下部分的(阴影部分)的面积是.例5、如图,已知P为正方形ABCD内一点,△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置.(1)请说出旋转中心及旋转角度;(2)若连接PQ,试判断△PBQ的形状;(3)若∠BPA=135°,试说明点A,P,Q三点在同一直线上;(4)若∠BPA=135°,AP=3,PB=,求正方形的对角线长;(5)在(4)的条件下,求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.举一反三:1、若一个扇形的面积是相应圆的41,则它的圆心角为( ) A .150° B .120° C .90° D .60°2、如图所示的4个的半径均为1,那么图中的阴影部分的面积为( )A .π+1B .2πC .4D .63、如图,O 为圆心,半径OA=OB=r ,∠AOB=90°,点M 在OB 上,OM=2MB ,用r 的式子表示阴影部分的面积是 .4、如图,直角△ABC 的直角顶点为C ,且AC=5,BC=12,AB=13,将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置,在旋转过程中,直角△ABC 扫过的面积是 .(结果中可保留π)5、如图,四边形ABCD 是长方形,AB=a ,BC=b (a >b ),以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ,与AB 交于E ,若∠CAB=30°,请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积.考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ,母线长为5cm ,则圆锥的侧面积是( )A .16πcm 2B .20πcm 2C .28πcm 2D .36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族,喜爱居住毡房,毡房的顶部是圆锥形,如图所示,为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布.已知圆锥的底面直径是5.7m ,母线长是3.2m ,铺满毡房顶部至少需要防雨布(精确到1m 2)( )A .58 m 2B .29 m 2C .26 m 2D .28 m 2例3、扇形的圆心角为150°,半径为4cm ,用它做一个圆锥,那么这个圆锥的表面积为 cm 2.例4、在十年文革期间的“高帽子”.这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板,做成如图②所示的无底圆锥体.已知接缝的重叠部分的圆心角为30°.(1)求重叠部分的面积.(结果保留π)(2)计算这顶“高帽子”有多高?(结果保留根号)例5、已知:一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm,圆心角为120°的扇形,求这圆锥的底面圆的半径和高.举一反三:1、若圆锥的侧面积为12πcm2,它的底面半径为3cm,则此圆锥的母线长为()A.4πcm B.4 cm C.2πcm D.2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形,它的面积是10cm2,底边上的高线是5cm,则圆锥的侧面展开图的弧长等于()A.87πcm B.47πcm C.8 cm D.4 cm3、如图,扇形的半径为6,圆心角θ为120°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面,所得圆锥的高为。
九年级上数学第24章圆复习课件
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做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r.
r.
r.
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d>r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d<r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
.
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
.
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
A
B
•
O C
D
1. 在⊙O中,弦AB所对的圆心角∠AOB=100°,则
弦AB所对的圆周角为__5__0_0或___1_3_0_0_.(05年上海)
2.如图,AB是⊙O的直径,BD是
⊙O的弦,延长BD到点C,使
DC=BD,连接AC交⊙O与点F.
(1)AB与AC的大小有什么关
A
系?为什么? (2)按角的大小分类, 请你判断
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A
B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
2024年中考数学圆复习讲义:阿氏圆
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阿氏圆【原题呈现】如图1所示,正方形ABCD 的边长为4,⊙B 的半径为2,P 为⊙B 上的动点,求√2PC−PD的最大值.【研题策略】来路@1.“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”,即已知平面上两点A,B,则所有满足. PA=kPB(k≠1)的点P 的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.而由“阿氏圆”引出的最值问题,我们就称之为“阿氏圆”问题.“阿氏圆”最值问题,一般会有两种情形:一种是求加权线段和的最小值,另一种是求加权线段差的最大值.但无论哪种情形,我们解决问题的通法都是通过构造相似来解决问题.对于“阿氏圆”问题,其解题步骤一般如下(以加权线段和的最小值为例,加权线段差的最大值步骤一样):如图2所示,求 PD+kPC的最小值.第一步:连接动点至圆心B(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接),即连接BP,BC;第二步:计算出所连接的这两条线段BP,BC 长度,一般题目会告知;第三步:计算这两条线段长度的比BP,,此比值一般会等于k;BC第四步:在BC 或BC的延长线上取点M,如图3所示,使得BM=k,此时由于△BMP∽△BPC,,且相似比为BPk,所以会有PM=kPC,即把求PD+kPC 的问题转化成求. PD−PM 的问题;第五步:连接DM,与圆B交点即为点P,如图4所示,DM 的长即为所求PD+kPC 的最小值.其实,DM的长也为PD-kPC的最大值,只不过此时的点 P 为DM 的延长线与圆的交点(如图5所示).2.将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接,即连接BP.由题中数据,发现12≠√2,那是否意味着此题不能按照“阿氏圆”问题的解题思路来进行了呢?换个角度思考,既然PC线段系数不为1的情况不行,则可考虑将此系数提出,将其转变成PD 的系数不为1,看看是否可行.因为√2PC−PD=√2(PC−√22PD),要求√2PC−PD的最大值,可以转换成求PC−√22PD的最大值,若能求出,最后乘以√2后的答案即为本题√2PC--PD 的最大值.根据“阿氏圆”的解题思路,将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接,即连接BD,BP(如图6所示),由题中数据,发现BPBD =√24≠√22.至此,发现,两种情况好像都行不通,难道此题只是披着“阿氏圆”的外衣来迷惑大家?其实,只要再观察下两种情况下的线段的系数和题中的线段的系数,就可以发现奥妙了.观察这四个系数√2,1,1 2,√24,发现√24×√2=12,√24×1−√24.于是又可以这样思考,将√2PC−PD整体乘以√24,√24×(√2PC−PD)=12PC−√2 4PD.因此,要求√2PC−PD的最大值,我们可先求12PC−√24PD的最大值,再除以√24即为本题答案.那么- 12PC−√24PD的最大值又是否可求呢?结合上面的分析,答案是肯定的.根据这两个系数和解决“阿氏圆”的一般步骤,是可以找到这样的两个点,来解决问题.思路由来路可知,要求√2PC−PD的最大值,可先求12PC−√24PD的最大值,而求12PC−√24PD的最大值即为“阿氏圆”问题,根据“阿氏圆”问题的求解步骤,可连接BP,BD,分别在BC,BD 上取点E,F,使得BE=1,BF=√22,如图 7 所示.此时由△EBP∽△PBC、△FBP∽△PBD,可将求12PC−√24PD的最大值转化为求PE-PF的最大值,由三角形任意两边的差小于第三边,可知当点 P,F,E 三点共线时,PE-PF 有最大值EF,问题从而解决.解如图7所示,连接BP,BD,分别在BC,BD 上取点E,F,使得BE=1,BF=√22,连接PE,PF.令S=√24(√2PC−PD)=12PC−√24PD,故求√2PC−PD的最大值,可先求12PC−√24PD的最大值.∵BEBP =BPBC=12,∠EBP=∠PBC,∴△EBP∽△PBC.∴PECP =BEBP=BPBC=12.∴PE=12PC.又BFBP =BPBD=√24,∠FBP=∠PBD,∴△FBP∽△PBD.∴PFDP =BFBP=BPBD=√24.∴PF=√24PD.∴12PC−√24PD=PE−⋯PF.故求12PC−√24PD的最大值即为求 PE-PF 的最大值.依题意,当点 P,F,E三点共线时,PE-PF 有最大值EF,此时,PE⊥BD.如图8所示.因为四边形ABCD 为正方形,BD为对角线,所以∠EBF=45°.∴EF=BE⋅sin45∘=√22.故√2PC−PD√22√24=2.注:通过上述解题,可以发现,在“阿氏圆”最值问题中,加权线段的系数一般都会凑好,比如,此题中的1 2,√24其实就是圆半径与正方形边长之比和圆半径与正方形对角线长度之比.在解题时若能注意到此特征,那么问题很快就能解决.但有时,命题者可能会设置障碍,将系数提取出来,再去掉此系数,通过系数转换,从而将“阿氏圆”构造痕迹抹掉.比如,此题中命题者将系数√24提取后,再去掉,得到|√2PC−PD,,这一看似不是“阿氏圆”问题,实则就是“阿氏圆”问题的式子的全新式子.此时,如果不能发现系数间的联系,那么是很难解决问题的.延续命题者思路,此题若将圆去掉,条件改为:①点P 为平面上一点,且PB=2;②点P 为平面内一点,点M在BC上,且BM=1,PMPC =12,其他条件不变,那么迷惑性就更强了(如图9,图10所示).碰到此类问题,如果没有“阿氏圆”问题相关知识的储备,那么很难找到解题思路.【举一反三】1. 问题提出:如图1所示,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C的半径为2,P 为圆上一动点,连接AP,BP的最小值.BP,求AP+12自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下,1AP+BP的最小值为 .3拓展延伸:已知在扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P 是弧CD 上一点,求2AP+PB的最小值.2. 如图所示,在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC=4,,⊙C的半径为2,点 D 是⊙C 上的动点,点 E 在BC 上,( CE=1,连接AD,DE,则1AD+2DE的最小值为 .2。
初三数学圆的有关性质知识精讲
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初三数学圆的有关性质知识精讲圆的有关性质1. 圆的有关概念圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形的高。
说明:(1)直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦。
(2)半圆是弧,但弧不一定是半圆。
(3)等弧只能是同圆或等圆中的弧,离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
(4)等弧的长度必定相等,但长度相等的弧未必是等弧。
2. 点和圆的位置关系说明:点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的,即知量位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系。
3. 和圆有关的角圆心角、圆外角说明:这两种与圆有关的角,可以通过对比,从(1)角的顶点的位置;(2)角的两边与圆的位置关系,两个方面去把握它们。
补充:如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,圆心角是特殊的圆内角;如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角。
4. 圆的有关性质(1)圆的确定<1>圆心确定圆的位置半径确定圆的大小。
<2>不在同一直线上的三个点确定一个圆。
(2)圆的对称性<1>圆是轴对称图形,任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。
<2>圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
说明:一个圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个,一个圆绕圆心旋转任意角度,都能够和原图形重合,即圆还具有旋转不变性。
(3)垂径定理如果一条直线具有(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦所对的优弧,这五个性质的任何两个性质,那么这条直线就具有其余三个性质,即:垂径定理:(1)(2)⇒(3)(4)(5)推论1:(1)(3)⇒(2)(4)(5)(2)(3)⇒(1)(4)(5)(1)(4)(或(5))⇒(2)(3)(5)(或(4))(1)(3)⇒(2)(4)(5)是“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必须是非直径的弦,假若弦是直径,那么这两条直径不一定互相垂直。
人教版九年级数学讲义_第3次课:圆的定义
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第3次课:圆的定义1、圆的定义【讲授新知】1.圆的定义:动态定义:在一个平面内,一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆;圆心:固定的端点O叫做圆心。
半径:线段OA叫做半径,以O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”。
静态定义:圆又可以看成是所有到定点的距离等于定长r的点的集合。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
图中线段AB、AC。
经过圆心的弦叫直径。
图中线段AB圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”。
能够完全重合的弧是等弧。
圆中任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫优弧,用三个大写字母表示,如,小于半圆的弧叫劣弧,用两个字母表示,如。
【自我检测】1、判断题:直径是弦。
()弦是直径。
()半圆是弧,但弧不一定是半圆。
()半径相等的两个半圆是等弧。
()长度相等的弧是等弧。
()2、如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点P是OB上的任一点 (不包括O,B),CD,EF是过P的两条弦,则图中的弦有____________,以B为端点的劣弧有_________ ___________3.求证:矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。
已知:矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。
求证:A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。
【例题精讲】知识点一圆的有关概念例1、如图,图中弦的条数为( )A.1条B.2条C.3条D.4条【练习】如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,则A,B,C,D四个点是否在同一个圆上?若在,说出圆心的位置,并画出这个圆.知识点二圆的半径相等【例2】如图,MN为⊙O的弦,∠N=52°,则∠MON的度数为( )A.38° B.52° C.76° D.104°【练习】如图,AB,AC为⊙O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C.求证:CE=BF.·解:由ASA证△BEO≌△CFO,∴OE=OF,又∵OC=OB,∴OC+OE=OB+OF,即CE=BF【练习】如图,点A,B和点C,D分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD.求证:∠C=∠D.解:∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC,即∠AOD=∠BOC,又OA=OB,OD=OC,∴△AOD≌△BOC,∴∠C=∠D《圆的概念》检测题1、M,N是⊙O上的两点,已知OM=3 cm,那么一定有( )A.MN>6 cm B.MN=6 cmC.MN<6 cm D.MN≤6 cm2、如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是( )A.a>b>c B.a=b=cC.c>a>b D.b>c>a3、如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为_______.4、如图,AB,CD为圆O的两条直径,E,F分别为OA,OB的中点.求证:四边形CEDF为平行四边形.5、如图,AB是⊙O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并给予证明.解:OE=OF.证明:连接OA,OB.∵OA,OB是⊙O的半径,∴OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.又∵AE=BF,∴△OAE≌△OBF(SAS),∴OE=OF6、如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于E点,已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度数.解:连接OD.∵AB为⊙O的直径,OC,OD为半径,AB=2DE,∴OC=OD=DE,∴∠DOE=∠E,∠OCE=∠ODC.又∠ODC=∠DOE+∠E,∴∠OCE=∠ODC=2∠E.∵∠E=18°,∴∠OCE=36°,∴∠AOC=∠OCE+∠E=36°+18°=54°7、如图,AB是半圆O的直径,四边形CDEF是内接正方形.(1)求证:OC=OF;(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK,点G在AB上,H在半圆上,K在EF 上.若正方形CDEF的边长为2,求正方形FGHK的面积.解:(1)连接OD,OE,则OD=OE,又∠OCD=∠OFE=90°,CD=EF,∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL),∴OC=OF (2)连接OH,∵CF=EF=2,∴OF=1,∴OH2=OE2=12+22=5.设FG=GH=x,则(x+1)2+x2=5,∴x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2(舍去),∴S正方形FGHK=12=1。
人教版 九年级数学 与圆有关的位置关系讲义 (含解析)

第11讲与圆有关的位置关系知识定位讲解用时:3分钟A、适用范围:人教版初三,基础偏上B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系:点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系,重点掌握各种与圆位置关系的判断方法,其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用,能够结合已知题意证明相关切线,最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。
本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理,属于中考重点内容,也是难点之一,希望同学们能够好好学习,扎实基础。
知识梳理讲解用时:25分钟与圆有关的位置关系(1)点与圆的位置关系点与圆的位置关系有3种,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:⊙点P在圆外⊙d>r⊙点P在圆上⊙d=r⊙点P在圆内⊙d<r注意:点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。
课堂精讲精练【例题1】到圆心的距离不大于半径的点的集合是( )。
A .圆的外部B .圆的内部C .圆D .圆的内部和圆【答案】D【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系,根据点和圆的位置关系,知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合; 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合.所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部(包括边界). 故选:D .讲解用时:3分钟解题思路:根据圆是到定点距离等于定长的点的集合,以及点和圆的位置关系即可解决。
教学建议:理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。
难度:3 适应场景:当堂例题 例题来源:盱眙县校级月考 年份:2016秋 【练习1】已知Rt⊙ABC 中,⊙C=90°,AC=3,BC=7,CD⊙AB ,垂足为点D ,以点D 为圆心作⊙D ,使得点A 在⊙D 外,且点B 在⊙D 内,设⊙D 的半径为r ,那么r 的取值范围是 。
《圆的标准方程》 讲义
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《圆的标准方程》讲义一、引入在我们的日常生活中,圆是一种非常常见的几何图形,比如车轮、盘子、月亮等等。
那么如何用数学的语言来精确地描述一个圆呢?这就需要用到圆的方程。
今天,我们就来学习圆的标准方程。
二、圆的定义在平面直角坐标系中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
定点称为圆心,定长称为半径。
设圆心的坐标为$(a,b)$,半径为$r$,圆上任意一点的坐标为$(x,y)$,那么根据两点间的距离公式,圆心到圆上任意一点的距离都等于半径$r$,我们可以得到:\\begin{align}\sqrt{(x a)^2 +(y b)^2}&=r\\(x a)^2 +(y b)^2&=r^2\end{align}\这就是圆的标准方程。
三、圆的标准方程的形式圆的标准方程为$(x a)^2 +(y b)^2 = r^2$,其中$(a,b)$是圆心的坐标,$r$是圆的半径。
当圆心在原点$(0,0)$时,圆的标准方程就变成了$x^2 + y^2 =r^2$。
四、圆的标准方程的特点1、方程中有三个参数$a$、$b$、$r$,分别表示圆心的横纵坐标和圆的半径。
2、圆的标准方程明确地给出了圆心的位置和半径的大小,使我们能够直观地了解圆的特征。
3、对于给定的圆心和半径,可以很容易地写出圆的标准方程;反之,对于给定的圆的标准方程,也能快速确定圆心和半径。
五、用圆的标准方程解决问题例 1:已知圆的圆心为$(2,-3)$,半径为 5,求圆的标准方程。
解:因为圆心为$(2,-3)$,半径为 5,所以圆的标准方程为$(x 2)^2 +(y + 3)^2 = 25$。
例 2:求以点$(-1, 4)$为圆心,且过点$(3, 0)$的圆的标准方程。
首先,计算圆心到已知点的距离,即半径$r$:\\begin{align}r&=\sqrt{(-1 3)^2 +(4 0)^2}\\&=\sqrt{(-4)^2 + 4^2}\\&=\sqrt{16 + 16}\\&=\sqrt{32}\\&=4\sqrt{2}\end{align}\所以圆的标准方程为$(x + 1)^2 +(y 4)^2 = 32$。
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圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理(选学)圆与圆的位置关系圆的有关计算一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d >r ;②点在圆上d=r ;③点在圆内d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB ∥CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少?例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm,,求CD 的长.例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为,求的度数.二.垂径定理及其推论【考点速览】AB DCO· EM A B C DOBC考点1垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条孤. 推论1:①平分弦(不是直径)的直径重直于弦,并且平分弦所对的两条孤. ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条孤.推论2.圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为:① 经过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且. 求证:AB=CD .例2已知,不过圆心的直线交⊙O 于C 、D 两点,AB 是⊙O 的直径,AE ⊥于E ,BF ⊥于F 。
求证:CE=DF .【考点速练】1.已知⊙O 的半径为2cm ,弦AB 长,则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为( ).A .1cm B.2cm C. D.cm3.如图1,⊙O 的半径为6cm ,AB 、CD 为两弦,且AB ⊥CD ,垂足为点E ,若CE=3cm ,DE=7cm ,则AB 的长为( )A BDC O· NMABDCO800A .10cm B.8cm C. D.4.有下列判断:①直径是圆的对称轴;②圆的对称轴是一条直径;③直径平分弦与弦所对的孤;④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有( )A .0个 B.1个 C.2个 D.3个5.如图2,同心圆中,大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4,CD=2,圆心O 到AB 的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为( )A .3:2 B.:2 C.: D.5:46.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 .7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m.8.如图,直径为1000mm 的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB 为800mm ,求水的最大深度CD .三.圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
圆周角:顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可. Eg: 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由考点2定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. Eg: 如下三图,请证明。
考点3 4. 推论:①同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 经典例题例1:下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。
① ② ③④⑤ ⑥例2:如图,∠A 是⊙O 的圆周角,且∠A =35°,则∠OBC=_____.例3:如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB= .例4:如图1,是⊙O 的直径,点都在⊙O 上,若,则º.例如图2,⊙O 的直径过弦的中点,,则 . 例6:已知:如图,AD•是⊙O•的直径,∠ABC=•30•°,则∠CAD=_______.B OC A OABC(例1)E F C D GO 例2例7:已知⊙O 中,,,则⊙O 的半径为四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(务必注意前提为:在同圆或等圆中)例1.如图所示,点O 是∠EPF 的平分线上一点,以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ,求证:AB=CD .例2、已知:如图,EF 为⊙O 的直径,过EF 上一点P 作弦AB 、CD ,且∠APF=∠CPF 。
求证:PA=PC 。
_ .. ._D_C_B _A_OABEF O O P OCO1O 2OD O例3.如图所示,在中,∠A=,⊙O 截的三条边长所得的三条弦等长,求∠BOC.例4.如图,⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ,且BC=DE .求证:AC=AE .例5.如图所示,已知在⊙O 中,弦AB=CB ,∠ABC=,OD ⊥AB 于D ,OE ⊥BC 于E .求证:是等边三角形.五.圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补,外角等于内对角。
圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形。
判断四点共圆的方法之一:四边形对角互补即可。
【典型例题】例1 (1)已知圆内接四边形ABCD 中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠D 的度数.(2)已知圆内接四边形ABCD 中,如图所示,AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数.例2 四边形ABCD 内接于⊙O ,点P 在CD 的延长线上,且AP ∥BD .求证:·OBO· C AEB D·O A DE BC· ABO· ABDO例3 如图所示,是等边三角形,D 是BC 上任一点.求证:DB+DC=DA .六.会用切线,能证切线考点速览:考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d 与r 的关系 直线与圆的位置关系d >r 相离1d =r 相切2d <r 相交考点2切线:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言∵ OA ⊥ l 于A , OA 为半径 ∴ l 为⊙O 的切线 考点3判断直线是圆的切线的方法:①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
③经过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(请务必记住证明切线方法:有交点就连半径证垂直;无交点就做垂直证半径) 考点4切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
A· BCDO推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
(请务必记住切线重要用法:见切线就要连圆心和切点得到垂直)经典例题:例1.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠CAD=∠ABC,判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由。
例2.如图,OA=OB=13cm,AB=24cm,⊙O的半径为5cm,AB与⊙O相切吗?为什么?例3.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点为A、B,C是⊙O上一点,若∠P=40。
,求∠C的度数。
例4.如图所示,中,,以AC为直径作⊙O交AB于D,E为BC中点。
求证:DE是⊙O 的切线.中考链接·AB C EOD1.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 经过圆心O ,且与小圆相交于点A ,与大圆相交于点B ,小圆的切线AC 与大圆相交于点D ,且CO 平分∠ACB.试判断BC 所在直线与小圆的位置关系,并说明理由。
2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90。
,点O 在AB 上,以O 为圆心,OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ,且∠CBD= ∠A ,判断BD 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论。
七.切线长定理考点速览: 考点1切线长概念:经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 切线长和切线的区别切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量. 考点2 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.要注意:此定理包含两个结论,如图,PA 、PB 切⊙O 于A 、B两点,①PA=PB ②PO 平分.考点3 两个结论:圆的外切四边形对边和相等;圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长. 经典例题:例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点,若PO=13㎝,的周长为24㎝,求:①⊙O 的半径;②若,的度数.· AOC DB例2 如图,⊙O 分别切的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,若.(1)求AD 、BE 、CF 的长;(2)当,求内切圆半径r .例3.如图,一圆内切四边形ABCD ,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为?考点速练1: 1.如图,⊙O 是的内切圆,D 、E 、F 为切点, ,则..2.直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝,则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝,内切圆半径为 ㎝.3.如图,直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ,且AB ∥CD ,若OB=6㎝,OC=8㎝,则 ,⊙O 的半径= ㎝,BE+CG=㎝.八.三角形内切圆· EFDCOAB· EFDCOAB· AO CD BB BEF ·AO CDBB B EFG B考点速览考点1概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.概念推广:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.考点2三角形外接圆与内切圆比较:名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形的内部.内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三边的距离相等;(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)内心在三角形内部.考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为.2、一般三角形①已知三边,求△ABC内切圆⊙O的半径r.(海伦公式S△=,其中s=)经典例题:例1.阅读材料:如图(1),△ABC的周长为L,内切圆O的半径为r,连结OA,OB,△ABC被划分为三个小三角形,用S△ABC表示△ABC的面积.∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =AB·r,S△OBC =BC·r,S△OCA =AC·r∴S△ABC =AB·r+BC·r+CA·r=L·r(可作为三角形内切圆半径公式)(1)理解与应用:利用公式计算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径;(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(2)•且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1,a2,a3,…a n,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).例2.如图,△ABC中,∠A=m°.(1)如图(1),当O是△ABC的内心时,求∠BOC的度数;(2)如图(2),当O是△ABC的外心时,求∠BOC的度数;(3)如图(3),当O是高线BD与CE的交点时,求∠BOC的度数.例3.如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB于D,E,F,求Rt△ABC的内心I 与外心O之间的距离.考点速练1:1.如图1,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F.已知∠B=50°,∠C=60°,•连结OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于()A.40° B.55° C.65° D.70°图1 图2 图32.如图2,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°,•则∠DOE=()A.70° B.110° C.120° D.130°3.如图3,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=()A.112.5° B.112° C.125° D.55°4.下列命题正确的是()A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B.三角形的内心不一定在三角形的内部C.等边三角形的内心,外心重合D.一个圆一定有唯一一个外切三角形5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分别为()A.1.5,2.5 B.2,5 C.1,2.5 D.2,2.56.如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB分别切于D,E,F.(1)求证:BF=CE;(2)若∠C=30°,CE=2,求AC的长.7.如图,⊙I切△ABC的边分别为D,E,F,∠B=70°,∠C=60°,M是弧DEF上的动点(与D,E不重合),∠DMF的大小一定吗?若一定,求出∠DMF的大小;若不一定,请说明理由.九.了解弦切角与圆幂定理(选学)【考点速览】考点11. 弦切角的概念:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。