2.4 麦克斯韦速度分布

•若要求出分子速度x方向分量小于某一数值的 分子数所占的比率，则可对上式积分
v x dN (v ) ux N (0 v x ) 1 2 x ( ) exp(u x )dux 0 0 N N
•引入误差函数erf(x),
erf ( x) (
2

) exp( x 2 )dx
2 N (0 ~ v x ) 1 erf (2) 2 ( ) exp( u x )dux 0 N 2
• 由表2.1查得erf（2）=0.995，故这种分 子所占百分比为=49.8% 。
（二）相对于的麦克斯韦速率分布
• ●若令 表示为 dNu
u v vp
可将麦克斯韦速率分布
N
(
• ●因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率 是f（vx）dvx，分子落在垂直于vy轴的平板内 的概率是f（vy）dvy。 • ●由相互独立的同时事件概率相乘法则可知， • 分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数 dN（vx，vy）与总分子数N的比值
f (v x ) dvx f (v y )dvy dN (v x , v y ) N
4

) exp(u 2 ) u 2 du
●利用（ 2.35 ）式可求得在某一速率附近微小 范围内的气体分子数所占的百分比率。 ●再利用误差函数可求得在0 到 v 范围内的 分子数 2 2 N (0 ~ v) N erf (u) ( ) u exp(u )
dN（vy）/N = f(vy)dvy • dN（vz）/N = f(vz)dvz 分别表示y及z方向速度分量的概率分布函 数。 ●根据处于平衡态的气体的分子混沌性 假设，分子速度没有择优取向，故 f（vx）、f（vy）、f（vz）应具有相同形 式。
速度空间中一根截面积为dvx dvy的无穷长 的方条中的概率 （ 2 ） 进 一 步 问 ， 分 子 速 率 介 于 vx 到 vx+dvx，vy 到vy+dvy，而vz在任意的范围 内的分子数 dN（vx，vy）是多少？ ●显然这些分子的代表点都落在一根平行 于vz轴、截面积为dvx dvy的无穷长的方 条中。
•因为f（vx ，vy，vz)= • f(vx)dvxdvx· f(vy)dvy· f(vz)dvz •麦克斯韦速度分布有
m f (vi )dv i 2kT
1/ 2
mv i2 exp 2kT dv i
其中i 可分ห้องสมุดไป่ตู้代表x、y、z。
• ●若设此平板中代表点数为dN（vx）， 则dN（vx）/N 表示分子的速度处于vx 到vx+dvx而vy、vz为任意值范围内的概率。 • ●显然这一概率与板的厚度dvx成比例。 • ●并有dN（vx）/N = f(vx)dvx • 称分子x方向速度分量概率分布函数 ●同样可分别求出垂直于 vy轴及 vz轴的无 穷大薄平板中代表点数dN（vy）及 d N （ v Z ） ,则 •
v
在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中， 在速度分量vx、vy、vz附近的代表点数密度是 Nf（vx、vy、vz），它就是这里的 D（v），故 dNv m 3/ 2 mv2 D(v) N( ) exp( ) dvx dvy dvz 2kT 2kT
●将上式代入可以得到
dNv D(v) 4v dv
二、气体分子的速率分布
●麦克斯韦速度分布: 所有分子速率介于v到v+dv 范围内的分子的代表点 都落在以原点为球心， v 半径，厚度为dv的一 薄层球壳中，如图所示。 ●根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优 取向，在各个方向上应该是等概率的，说明代 表点的数密度D 是球对称的，D 仅是离开原点 的距离v的函数。设代表点的数密度为D（v）。 ●在球壳内的代表点数dNv应是D（v）与球壳体积 的乘积 dN D(v) 4v 2 dv
mv x m 1/ 2 m 1/ 2 N( ) exp( )dv x ( ) 2kT 2kT 2kT
2 m vy m vz 2 m exp ) exp dvy ( dvz 2kT 2kT 2kT
（2）速度空间中厚为dvx 无限大平板中的概率
首先问，在N个分子中速度 x分量落在vx 到 vx+dvx范围内而vy ,vz 在任意的范围内的分 子数 dN（vx）是多少？, 在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为 dvx的无穷大平板，如图所示. ● 不 管 速 度 的 y、 z 分 量如何 ，只要 速 度 x 分 量 在 vx 到 vx+dvx 范 围 内 ， 则 所 有这些 分子的 代 表 点都落 在此很 薄 的无穷 大平板中.
§2.4.2 麦克斯韦速度分布 （Maxwell velocity distribution） 麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气 体分子的速度分布，这一分布可表示为 • f （ v x ， v y ， v z ） d v xd vy dv z=
m 2kT
3/ 2 2 2 m(v x 2 v y vz ) exp dvx dvy dvz 2kT
0
x
误差函数erf(x)有表可查
• [例2.2] 试求在标准状态下氮气分子速 度的x分量小于800m· s-1的分子数占全部 分子数的百分比.
• [解] 首先求出273 K时氮气分子（摩尔 质量Mm=0.028 kg）的最概然速率 .
2 RT vp 402m s 1 Mm
vx 800 ux ~2 vp 402
最后说明，由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速 度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相 互作用，故这一速度分布律一般适用于平衡 态的理想气体。
*§2.4.3 相对于vp 的（麦克斯韦）速度分量分布 与速率分布 误差函数
• ●附录2-1中的定积分公式都是从 0积分到无穷 大， • 有时需要计算气体分子速度分量（或速率 v ） 在某给定范围内的分子数或概率。 • 这时可把麦克斯韦速度分布式或速率分布式分 别作变量变换， • 使之变换为相对于最概然速率的速度分量分布 或速率分布的形式。
§2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布
• 一、以极坐标表示的射击点分布 ●按极坐标表示的射击点分布。 ●若用相等的△r为间隔， 在靶板上画出很多个同心圆， 数出每个圆环中的黑点数△N。 ●以△N/N △r 为纵坐标， r为横坐标画出竖条，如右图 ●令△r 0，得到光滑曲线， 它表示离靶心不同距离处存在 黑点的概率
• ●金属自由电子模型指出， • 金属中的价电子是无相互作用的自由电 子。 • 在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示 为在速度空间中的一个费米球。 • 其球心位于速度空间的原点，球的半径 为 vF （称为费米速率，是一个与金属种 类有关的常数）。
以直角坐标表示的速度空间
●以速度分量vx、vy、vz为坐标轴，
以从原点向代表点所引矢量来表示分子 速度方向和大小的坐标称为速度空间。
●速度空间是人们想像中的空间坐标，所 描述的不是分子的空间位置，而是速度 的大小与方向。
。
二、速度空间中代表点的分布
• ●若把某一瞬时所有分子所对应的速度 矢量代表点都标在速度空间中，就构成 代表点在速度空间中的一种分布图形， 如图所示
（1) 速度空间中的代表点
● 把分子的速度矢量沿 x、y、z 方向的投影 vx、 vy、vz作直角坐标图， 把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原 点O上。 ●在平移时，矢量的大小、方向都不变。 ●平移后，仅以矢量的箭头端点的点来表示这一 矢量，而把矢量符号抹去。 ●这样的点称为代表点。 如图中的P点所示。
速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似：
●前面已指出，在图2.2（a）中，靶点位于x 到 x+dx，y 到y+dy范围内的概率是以 f（x，y）dxdy 来表示的，其中 dxdy 为这一区域 大小，f（x，y）是黑点分布的概率密度。
（1）速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率
●在三维速度空间中，在vx 到vx+dvx，vy
2
m 3/ 2 m v2 dNv 4N ( ) exp( ) v 2 dv 2kT 2kT dNv m 3/ 2 m v2 f (v)dv 4 ( ) exp( ) v 2 dv N 2kT 2kT
●这就是麦克斯韦速率分布.
*§2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的速度分布与 速率分布 费米球
到vz+dvz区间内 划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。 ●数出在这微分元中的代表点的数目 dN（vx、vy、vz）， 并把
f (v x , v y , v z ) dN(v x , v y , v z ) Ndvx dvy dvz
到vy +dvy ，vz
称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度， ●它表示在dvxdvydvz小体积元 中代表点的相对密集程度。 我们可以这样来求出 dN（vx 、vy 、vz ）
• ●欲求分子速度的x分量在vx 到vx+dvx内而vy、、 vz任意的分子数dN(vx), • 这就是速度空间中垂直于x 轴的无穷大薄平板中 的代表点数，显然可对vy、vz积分后求出：
dN(v x ) Nf (v x )dvx

f (v y )dvy


f (v z )dvz
•
2 m vx dN (v x ) m 1/ 2 f (v x )dvx ( ) exp dvx N 2kT 2 kT
（一）相对于 vp的速度分量（麦克斯韦）分布
•令其中 vx/ vp= ux ,其中vp 为最概然速率， 它可以变换为
dN(u x ) 1 2 ) dux exp(u x N
2 m vx dN(v x ) m 1/ 2 f (v x )dvx ( ) exp dvx N 2kT 2kT
利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1，故
• ●的概率分布曲线如图2.13所示：
•它对称于纵轴，图中打上斜线的狭条的面积即
2 m vx dN (v x ) m 1/ 2 f (v x )dvx ( ) exp dvx N 2kT 2kT
•（ 3 ）最后要问，分子速度分量处于 vx 到 vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz范围内的 概率是多少？ •●只需在图中再作一 垂直于 vz 轴的、厚度 为dvz的无穷大薄平板
平板与柱体相交截得一体积为 dvxdvydvz 的小 立方体，计算出在小立方体中的代表点数 • d N （ v x 、 v y、 v z） ●而dN（vx、vy、vz）/N 就是所要求的概率 • ●因为vx ，vy，vz相互独立，故 • dN（vx、vy、vz）/N • =f(vx)dvx· f(vy)dvy· f(vz)dvz • ●显然，速度分布概率密度f（vx ，vy，vz） 是分子分别按速度的x、y、z方向分量分布的 概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘积。 • ●分子处于速度空问任一微小范围dvxdvydvz内 的概率是 • f（vx ，vy，vz）与dvxdvydvz的乘积。
§2.4 麦克斯韦速度分布
• 前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分 布，然后再从速度分布得到速率分布的。 • 本节中介绍麦克斯韦速度分布。 • 为了说明速度分布的含义，先介绍速度 空间的概念。
§2.4.1速度空间 • 一、速度矢量、速度空间中的代表点 • （1 ) 速度矢量 • ●要描述气体分子的速度大小和方向， 需引入速度矢量这一概念， • 速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分 子速度的大小、方向一致。 • ●一个分子仅有一个速度矢量。