非齐次线性方程组同解的判定和同解类

非齐次线性方程组同解的判定和同解类摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。

关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题.预备知识定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得B PA =。

定理2设A 、B 为m n ⨯矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得CA B =则存在m m ⨯可逆矩阵P ，使得PA B =证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使011A P A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 01B QB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ⨯矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出，于是矩阵00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得00r B P A =又设110A C A =，12020r B C B C P A ==令2210rr n r P P C P C I -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1P 为可逆矩阵，且10212021100rn r A P A P P A P A C P C I C A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦02000r r 11P A C P A C A C A ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦ 00201r r P A B C P A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦QB = 记121P Q P P -=,则121B Q P P A PA -==.且P 可逆.定理3如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.1、 非齐次线性方程组同解的判定定理1、1设A 、B 都为m n ⨯矩阵，Ax b =与Bx d =同解的判定定理定理4[1]设A 、B 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =.证明 充分性 若0x 是0Ax =的解.即00Ax =.可得,所以00Bx =。

即0x 是0Bx =的解必要性 设0Ax =与0Bx =的同解,所以0Ax =与0A x B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦同解。

则[]A R R A r B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.其中[]R A 表示矩阵A 的秩. 若0r =，则P 可以取任意的矩阵;若0r >设,A B 的行向量分别是{}12,,,,m ααα{}12,,,.s βββ为了讨论方便，不妨设12,,,m ααα的极大无关向量组为12,,,r ααα，12,,,s βββ的极大无关向量组为12,,,r βββ，则12,,,r βββ可由12,,,r ααα线性表出，设表示式为111112211122r rr r r rr r a a a a a a βαααβααα=+++⎧⎪⎨⎪=+++⎩令1111r r rr a a P a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即存在可逆矩阵P 使得PA B =.定理5设A 、B 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =有解且同解，则它们的导出组0Ax =与0Bx =同解.证明 设ξ为0Ax =的解，η为Ax b =的一个特解.则由非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解及线性方程组的性质可知η为Bx d =的一个特解，ξη+为Ax b =与Bx d =的解.所以()ξξηη=+-是0Bx =的解.反之设ξ为0Bx =的解，同样可以证明，ξ为0Ax =的解.所以0Ax =与0Bx =同解.定理6设A 、B 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =都有解，则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =，Pb d =.证明 充分性显然成立.必要性 设Ax b =与Bx d =同解，由定理5得，0Ax =与0Bx =同解.又由定理4可知存在可逆矩阵P 使得PA B =. 设ξ为Ax b =与Bx d =的解.即,A a B d ξξ==从而Pa PA B d ξξ===所以结论成立.定理[3]7 非齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充分必要条件是存在可逆矩阵m m W ⨯使得[][]A b W B d = （2） 证明 充分性 如果存在可逆矩阵m m W ⨯使得（2）式成立，则对Bx d =的任意解0x ，有[]0001x Bx d B d ⎡⎤=⇔=⎢⎥-⎣⎦所以[][]0000011x x B d A b Ax b ⎡⎤⎡⎤=⇔=⇔=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦故0x 是0Ax b =的一个解.反之对Ax b =的任意解1x ，把（2）式改写为[][]1W A b B d -= （3）同理可证，1x 是Bx d =的一个解. 所以Ax b =和Bx d =同解.必要性 因为Ax b =和Bx d =同解，则A b x B d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而[][]A b rank A b rank B d rank B d ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ （4） 通过行初等变换，总可以求出[]A b 与[]B d 的行向量组的线性无关极大组.即存在可逆矩阵K 与H 使得[][],S P K A b H B d T Q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式中,S P 的行向量分别是[][],A b B d 的行向量的线性无关极大组.这里[][]rankS rankP rank A b rank B d r ====记{}R x 为矩阵x 的行向量生成的向量空间.由式（4）及S 与P 的构造知S 与P 的行向量分别构成A b R B d ⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的一个基底.故存在可逆矩阵C 使得P CS =令1111,m r n m r r r n m r n m r r r n T D S Q F P FCS -⨯+-⨯⨯+-⨯+-⨯⨯+===0CG FC D I ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦式中I 为单位阵.显然G 是可逆的，从而[]0S CS GK A b G T FC D I DS ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []CS P H B d FCS Q ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 记11W K G H --=,那么W 是可逆的，且[][]A b W B d =.把式（2）改写为[][]I A b W B d =便可得到用行初等变换来判断Ax b =和Bx d =是否同解的方法，若同解，那么1W -可用如下的方法求出： 在增广矩阵[]A b 的左边写上单位矩阵I ，对[]IA b 进行行初等变换，当把[]A b 化成[]B d 时，I 便相应地化成1W -，此时Ax b =和Bx d =同解. 若[]A b 化不成[]B d ，则此方程组不同解.1、2求可逆矩阵P 的方法定理[3]6 非齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充分必要条件是存在可逆矩阵m m W ⨯使得[][]A b W B d = （2） 证明 充分性 如果存在可逆矩阵m m W ⨯使得（2）式成立，则对Bx d =的任意解0x ，有[]0001x Bx d B d ⎡⎤=⇔=⎢⎥-⎣⎦所以[][]0000011x x B d A b Ax b ⎡⎤⎡⎤=⇔=⇔=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦故0x 是0Ax b =的一个解.反之对Ax b =的任意解1x ，把（2）式改写为[][]1W A b B d -= （3）同理可证，1x 是Bx d =的一个解. 所以Ax b =和Bx d =同解.必要性 因为Ax b =和Bx d =同解，则A b x B d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而[][]A b rank A b rank B d rank B d ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ （4） 通过行初等变换，总可以求出[]A b 与[]B d 的行向量组的线性无关极大组.即存在可逆矩阵K 与H 使得[][],S P K A b H B d T Q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式中,S P 的行向量分别是[][],A b B d 的行向量的线性无关极大组.这里[][]rankS rankP rank A b rank B d r ====记{}R x 为矩阵x 的行向量生成的向量空间.由式（4）及S 与P 的构造知S 与P 的行向量分别构成A b R B d ⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的一个基底.故存在可逆矩阵C 使得P CS =令1111,m r n m r r r n m r n m r r r n T D S Q F P FCS -⨯+-⨯⨯+-⨯+-⨯⨯+===0CG FC D I ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦式中I 为单位阵.显然G 是可逆的，从而[]0S CS GK A b G T FC D I DS ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []CS P H B d FCS Q ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 记11W K G H --=,那么W 是可逆的，且[][]A b W B d =.把式（2）改写为[][]I A b W B d =便可得到用行初等变换来判断Ax b =和Bx d =是否同解的方法，若同解，那么1W -可用如下的方法求出： 在增广矩阵[]A b 的左边写上单位矩阵I ，对[]IA b 进行行初等变换，当把[]A b 化成[]B d 时，I 便相应地化成1W -，此时Ax b =和Bx d =同解. 若[]A b 化不成[]B d ，则此方程组不同解. 例1 判别方程组1234123412341022441x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪--+=-⎩ 与方程组12341234123433330335511x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=-⎨⎪-+-=⎩是否同解？解 []IA b =100|1111|1010|1111|0001|2244|1--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦101|3333|0011|3355|1001|2244|1--⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦101|3333|0011|3355|1100|1111|1--⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦101|3333|0011|3355|1100|1111|1--⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦可见这两个方程组同解，且[][]1W A b B d -=.1、3 设A 为m n ⨯矩阵，B 为k n ⨯矩阵，m k ≠，Ax b =与Bx d =同解的判定定理定理7齐次线性方程组0Ax =和0Bx =，A 为m n ⨯矩阵，B 为k n ⨯矩阵，m k ≠同解的充要条件是：存在m 阶可逆矩阵M 使m s B MA O -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中m s O -是()m s n -⨯零矩阵.证明 充分性 设0x 是0Ax =的解，则00Ax =，即00MAx =，亦即00m s B x O -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得00Bx =,从而0x 也是0Bx =的解； 反之若0x 是0Bx =的解,则，00Bx =有00m s B x O -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦即00MAx =，由M 的可逆性知00Ax =，也即0x 也是0Ax =的解.所以0Ax =和0Bx =同解.必要性 若0Ax =和0Bx =同解，则秩A =秩B =r ，因此A 与B 的行向量等价.当r =0时，可取M 为任意m 阶可逆矩阵.当0r >时，设A 与B 的行向量分别是{}12,,,,m ααα{}12,,,.s βββ为了讨论方便，不妨设12,,,m ααα的极大无关向量组为12,,,r ααα，12,,,s βββ的极大无关向量组为12,,,r βββ，则12,,,r βββ可由12,,,r ααα线性表出，设表示式为111112211122r rr r r rr r a a a a a a βαααβααα=+++⎧⎪⎨⎪=+++⎩这里显然有1111r r rr a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11,,r r s s βαβα++--也可由12,,,r ααα线性表出，设表示式为111,111,221,1122r r r r r r rs s s s sr r a a a a a a βααααβαααα+++++-=+++⎧⎪⎨⎪-=+++⎩即11,111,221,11122r r r r r r r s s s sr r s a a a a a a βααααβαααα+++++=++++⎧⎪⎨⎪=++++⎩1,,s m αα+--也可由12,,,r ααα线性表出，设表示式为11,111,221,1122s s s s r rm m m mr r a a a a a a αααααααα++++-=+++⎧⎪⎨⎪-=+++⎩即1,111,221,1112200s s s r r s m m mr r ma a a a a a αααααααα++++=++++⎧⎪⎨⎪=++++⎩将上面三个式子用矩阵的形式表示出来，有1111111,11,1111,11,1100000000100001000010000010r r rr r r r r r r r s srs s s s r s m mr m a a a a a a a a a a a a αβαβαβαβαα+++++++⎡⎤⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 令11111,11,11,11,1000000001000010000100001r r rr r r r s sr s s r m mra a a a a a M a a a a a a ++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则M 可逆，且m s B MA O -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 定理8齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充要条件是：存在m 阶可逆矩阵M 使m s B MA O -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中m s O -是()m s n -⨯零矩阵.且有一公共解.1、3、1讨论扩充方程组与原方程组的同解在生产实际中，由于生产条件的变化，往往需要在原方程组中添加若干个线性方程，形成新的线性方程组，称它为原线性方程组的扩充线性方程组.定理9设,A B 分别为m n ⨯与t n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax Bx =⎧⎨=⎩（9） 与齐次线性方程组0Ax = （10）同解的充要条件是：存在t m ⨯矩阵P ，使得B PA =.推论1 齐次线性方程组（9）与（10）同解的充分必要条件是：[]A R R A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.其中[]R A 表示矩阵A 的秩.定理10 设A 、B 分别为m n ⨯矩阵和t n ⨯矩阵，且非齐次线性方程组（11）有解，则它与非齐次线性方程组（12）同解的充分必要条件是：存在t m ⨯可逆矩阵P ，使得,PA B Pb d ==。