正交曲线坐标系向量微分算子

曲线正交曲线坐标系()w v u ,,，每一点的单位正交标架()w v u e e e

,,构成右手系，

微分弧与曲线坐标的关系为()()()()2

2

2

2

dw h dv h du h ds w v u ++=

散度：

在直角坐标系下用高斯公式：()S d A dV A V

V

∙=

∙∇⎰

⎰∂

换成曲线正交坐标系下可得：

()⎰

⎰++=

∙∇∂dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A udvdw d h

h h A v u w u w v w v u D

w

v

u

D

右边应用高斯定理的：

()()()udvdw d w h h A v h h A u h h A dudv

h h A dwdu h h A dvdw h h A v u w u w v w v u D v u w u w v w v u D

⎰

⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=

++∂

所以：()()()()dudvdw w h h A v h h A u h h A dudvdw h h h A D v u w u w v w v u D

w v u ⎰⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=

∙∇

比较得曲正交标架下的散度公式：()()()⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=

∙∇w h h A v h h A u h h A h h h A v u w u w v w v u w v u 1

旋度：

直角坐标下用斯托克斯公式：()⎰

⎰

∂∙=

∙⨯∇S

S

l d A S d A

换成曲线正交坐标系下可得：

()()()dw

h A dv h A du h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A w w v v D

u u v u w D

u w v w v u ++=

⨯∇+⨯∇+⨯∇⎰

⎰∂

右边应用斯托克斯公式：

()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dw

h A dv h A du h A u u v v D w w u u v v w w w w v v D

u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰

∂

所以：

()()()()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dudv

h h A dwdu h h A dvdw h h A u u v v D w w u u v v w w v u w D

u w v w v u ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇+⨯∇+⨯∇⎰⎰

对比两边可得旋度在曲正交标架下公式。

梯度：

有梯度的定义梯度等于个方向的方向导数乘以该方向的单位向量：

w w v v u u e w

h e v h e u h

∂∂+∂∂+∂∂=

∇ϕϕϕϕ