2014海淀高三上期中理科11月

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(理科) 2013.11.06

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( ) A. {1,1,2}- B. {1,2} C. {1,2}- D.{2}

2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( )

A. ()f x =

B. ()ln f x x =

C. ()2x

f x = D.()tan f x x =

3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( )

A.

B.

C.5

D.5- 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC

，则实数m 的值为()

A. 2-

B.

1

2-

C. 12

D. 2

5.若a ∈R ，则“2

a a >”是“1a >”的（）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n

n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（）

A. 3S

B. 4S

C. 5S

D. 6

S

7.已知0a >，函数

2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧

∈-⎪

=⎨⎪++∈+∞⎩若11

()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（）

A. 2[,0)3-

B.[1,0)-

C.[2,3)

D. (0,)+∞

8.已知函数sin cos ()sin cos x x

f x x x

+=

，在下列给出结论中：

①π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线x 4π=对称；③()f x 在(,0)2

π

-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（）

A. 0个

B.1个

C. 2个

D. 3个

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.1

0(21)d x x +=⎰___________.

10. 已知数列{}n a 为等比数列，若13245,10a a a a +=+=，则公比q =____________.

11. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________.

12.函数π

()2s i n ()(0,||)2

f x x =+>

<ωϕ

ωϕ的图象如图所示，则

ω=______________，ϕ=__________.

13.已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=- a 与向量AC

的夹角大于90 ，则实数λ的取值范围是__________.

14.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数

()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =，则123x x x ++= ；

若(1,3)a ∈，则122n x x x +++= ________________.

三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A = ,32,b c

=ABC S ∆（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求sin B 的值. 16. （本小题满分14分）

已知函数2π

()2cos (2)14

f x x x =-++.

（I ）求()f x 的最小正周期；

（II ）求()f x 在区间ππ

[,]64

-上的取值范围.

17. （本小题满分13分）

如图，已知点(11,0)A ，直线(111)x t t =-<<

与函数y 的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH

∆的面积为()f t .

（I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值. 18. （本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足：①20a >；②对于任意正整数,p q 都有2p q p q a a +⋅=成立. （I ）求1a 的值；

（II ）求数列{}n a 的通项公式；

（III ）若2

(1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和. 19.（本小题满分14分）

已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.

（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求()f x 的单调区间；

（III ）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围. 20.（本小题满分13分）

已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*

a ∈N ，*1*,3,,31,3,.

n

n n n

n a a l l a a a l l +⎧=∈⎪=⎨⎪+≠∈⎩N N 令集合*{|,}n A x x a n ==∈N .

（I ）若4a 是数列{}n a 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项； （II ）求证：{1,2,3}A ⊆；

（III ）当2014a ≤时，求集合A 中元素个数()Card A 的最大值.

参考答案

1.A

2.C

3.B

4.C

5.B

6.B

7.D

8.C

9.2; 10.2; 11.a b c >>; 12.2π3,π

6; 13.2λ>;14；14，6(31)n -；

15．解：（Ⅰ）由60A =

和ABC S ∆=

可得1sin602bc = 分

所以6bc =， --------------------------------------3分 又32,b c =

所以2,3b c ==. ------------------------------------5分

（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分

2222367a =+-=

，即a . ------------------------------------9分

由正弦定理sin sin a b

A B =

可得------------------------------------11分

2

sin B

=，------------------------------------12分

所以sin B =.------------------------------------13分

16. 解：（I

）π

()cos(4)2

f x x x =-+------------------------------------2分

sin 4x x +------------------------------------4分

π

2sin(4)3

x =+------------------------------------6分

()f x 最小正周期为π

T 2=，------------------------------------8分

（II ）因为ππ

64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分

所以π

sin(4)13

x ≤+≤-----------------------------------12分

所以π

2sin(4)23

x +≤， -----------------------------------13分

所以()f x

取值范围为[. ------------------------------------14分

17. 解：（I

）由已知11,AH t PH =-= -------------------------------------1分

所以APH ∆

的面积为1

()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分

（II ）解法

1. 1'()(11)2f t t =⨯-

= -------------------------------------7分