第15章 格与布尔代数

a ≥ b且b ≥ c a ≥ c
（4）a*b ≤ a； ab≥a （5）c ≤ a且c ≤ b c ≤ a*b； c ≥ a且c ≥ b c ≥ ab
2015-1-23
15
性质15.2.1（续）
（6）交换律：a*b = b*a； a b = b a 。
（7）结合律：(a*b)*c = a* (b*c)；
27
定理15.2.6
设<L, , >是分配格，对于任何a, x, y∈L，如 果ax = ay且ax = ay，则x = y。
2015-1-23
28
定义15.2.8
设<L, ≤ >是一个格，若存在元素a∈L，使得对任 意x∈L，都有：
a ≤ x(或x ≤ a)，
则称a为格<L, ≤ >的全下界(或全上界)，分别记 为0(或1)，具有全上界和全下界的格称为有界格。 显然，对任意x∈L，有 1x = x1 = x，1x = x1 = 1
2015-1-23
3
保交与保联
在格<L, ≤ >中，任取a, b∈G，则{a, b}的最大 下界和最小上界都是惟一存在的，且均属于L。
用a*b表示{a, b}的最大下界，称为a与b的保交， 用ab表示{a, b}的最小上界，称为a与b的保联， 即 a*b = GLB{a, b}，ab = LUB{a, b}
2015-1-23
23
例15.2.8
e
e
d
右图所示的两个格都不 是分配格。
b 分析 由于链是分配格， 因此在同一条链上的元 素都满足分配等式，最 有可能不满足分配等式 的元素不在同一条链上。 选取b, c, d来验证即可。
2015-1-23
c
d
b
c
a (b)
a (a)
24
例15.2.8（续）
解 取图中b, c, d三个元素验证。在图 (a)中， b (cd) = ba = b，而
下界，a∈L。如果存在b∈L，使得
ab = 0，ab = 1，
则称b为a的补元，记为a'。若有界格<L, , >中的
所有元素都存在补元，则称<L, , >为有补格。
2015-1-23
32
例15.2.9
如下图有界格，求其所有元素的补元(如果有的话)。
1 c a d e b c 1 d
a
0 (b)
2015-1-23
12
对偶格
对于集合L的任何偏序关系“ ≤ ”，其逆关系 “≥”也是集合L上的偏序关系； 对L的任意子集T，T在偏序集<L, ≤ >中的最大下 界和最小上界分别是<L, ≥>中的最小上界和最大 下界。
因此偏序集<L, ≤ >是格当且仅当<L, ≥>是格， 我们称此两个格为对偶格；
格<L, ≤ >的保联运算与保交运算分别是对偶格<L, ≥>的保交运算和保联运算。
0x = x0 = 0，0x = x0 = x
2015-1-23
29
有限格与有界格
若<L, ≤ >是有限格，设L = {a1, a2, …, an}， 由于运算“”和“”满足结合律，所以有 ((a1a2)…an) = a1a2…an ((a1a2)…an) = a1a2…an 此时， a1a2…an和a1a2…an分别是格L的全 下界和全上界，即有 a1a2…an = 0 a 1 a 2 … a n = 1 所以，有限格一定是有界格。
e
d
f
e f
e
e d
c b c a b
c
d
b
c
b
(h)中2元素子集{g, h}不存在最小上界，
a
a
b
a
(i) {e, f} (j) (k) (h) (i)中2元素子集 不存在最小上界
(j)中2元素子集{e, f}不存在最小上界， (k)中2元素子集{a, b}不存在最大下界，
(l)
(l)中2元素子集{d, e}不存在最大下界。
2015-1-23
6
例15.2.2
判断哈斯图如下图所示的几个偏序集是否是格。 g e e e e f
e d f d c b a d b c a a c d b c b a c
d
d
e
b
a
c
b
a
(a)
(a) (b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2015-1-23
7
例15.2.2（续）
g e c h f d b a
2015-1-23
20
定理15.2.3 (保序定理)
设<L1, *1, 1>和<L2, *2, 2>是两个格，对应的偏 序关系为 ≤1、 ≤2，则有： （1）如f：L1→L2是格同态，则对任意a, b∈L1， a ≤1bf(a) ≤2f(b)； （2）如f：L1→L2是格同构，则对任意a, b∈L1， a ≤ 1b f(a) ≤ 2f(b)。
2015-1-23
13
对偶原理
对于格<L, ≤ >的任何命题，将保联运算与保交运 算分别换成对偶格<L, ≥>的保交运算和保联运算， 将命题中的“ ≤ ”换成对偶格<L, ≥>中的 “≥”，得到的一个关于对偶格<L, ≥>中的命题， 称这个命题为对偶命题。
容易证明，关于格<L, ≤ >的任何真命题，其对应 的对偶命题在对偶格<L, ≥>中也是真命题，把这 个原理称为对偶原理。
2015-1-23
8
定义15.2.2
设<L, ∧, ∨>是具有两个二元运算的代数系统， 如果运算∧和∨满足交换律、结合律和吸收律，则 称<L, ∧, ∨>为格。 把由代数系统定义的格称为代数格。
2015-1-23
9
例15.2.3
设A是一个集合，P(A)是A的幂集，∩和∪分别是集 合的交和并运算，试证明代数系统<P(A), ∩, ∪> 是一个格。 证明 由集合的运算性质知，交和并运算都满足交 换律、结合律和吸收律，因此由定义15.2.2知， <P(A), ∩, ∪>是一个格。
2015-百度文库-23
21
定义15.2.6
设<L, , >是一个格，如果对任意a, b, c∈L，都 有 a(bc) = (ab) (ac) ， a(bc) = (ab) (ac)， 即运算满足分配律，则称<L, , >是一个分配格。
2015-1-23
22
例15.2.7
2015-1-23
26
性质15.2.2
e e c c a (b) e d
（1）四个元素以下的格 d 都是分配格；
d b
（2）五个元素的格仅有 c 两个格是非分配格(图 b 15.2.7(a)和(b))，其余 a 三个格(右图 (a), (b) (a) 和(c))都是分配格。
b
a (c)
2015-1-23
b
0 (a)
2015-1-23
33
例15.2.9（续）
解 对于图a 0 ' = 1 ，1' = 0，
对于图b
2015-1-23
a' = e，d' c' = d，e' b无补元。 0 ' = 1 ，1' a' = d，a' b' = d，b' c' = a，c' d' = a，d'
（1）设A为任意一个集合，格<P (A), ∩, ∪>是 否是分配格？
（2）设P为命题公式集合，∧与∨分别是命题公式 的合取与析取运算，格<P, ∧, ∨>是否是分配格？
解 （1）因集合的交、并运算满足分配律，所以， 格<P(A), ∩, ∪>是一个分配格。 （2）因命题公式的析取、合取运算满足分配律， 所以，格<P, ∧, ∨>是分配格。
2015-1-23
19
定义15.2.5
设<L, ∧, ∨>和<S, *, >是两个格，f是L到S的 映射。如果对任意x, y∈L，都有
f(x∧y) = f(x)* f(y)，f(x∨y) = f(x) f(y)
则称f为从格<L, ∧, ∨>到格<S, *, >的格同态 映射，简称格同态。 如果f是格同态，当f分别是单射、满射和双射时， f分别称为单一格同态、满格同态和格同构。
(bc) (bd) = ee = e。
在图 (b)中， b (cd) = ba = b，而 (bc) (bd) = ed = d。 因此，在图 (a)和(b)中都有，
b (cd)≠(bc) (bd)
2015-1-23
故它们都不是分配格。
25
定理15.2.5
一个格是分配格的充分必要条件是该格中没有任何 子格与图15.2.7（例15.2.8）中的两个五元素格中 的任何一个同构。
第15章 格与布尔代数
1
偏序格与代数格
集合的表示方法 格的性质 子格与格同态 布尔代数
2 3
4
2015-1-23
1
偏序格
比较右边两个哈 斯图的不同？
e
f
d c
d
b
c
a (a)
b
a (b)
2015-1-23
2
定义15.2.1
设<L, ≤ >是一个偏序集，如果对任意a, b∈L， {a, b}都有最大下界和最小上界存在，则称<L, ≤ >是格，简称L是格。若L为有限集，则称格<L, ≤ >为有限格。 暂且把由偏序关系定义的格称为偏序格
（2）运算和对子集S都是封闭的；
则称<S, , >是<L, , >的子格，简称S是L的 子格。
2015-1-23
18
子格
定义15.2.4 设<L,≤>是一个格，S L，若S满足： （1）S≠Φ；
（2）对任意a, b∈S， <L, ≤ >的保交和保联运 算都有
ab = GLB{a, b}∈S， ab = LUB{a, b}∈S， 则称<S, ≤ >是<L, ≤ >的一个子格，简称S是L的 子格。
2015-1-23
10
定理15.2.1
偏序格与代数格是等价的。
注意：偏序格与代数格等价，今后就不再区分偏 序格与代数格了，而把它们统称为格。
2015-1-23
11
自然运算与自然偏序
任何偏序格<L, ≤ >都存在两个二元运算——保交 (*)和保联()，称之为格<L, ≤ >的自然运算；
代数格<L, ∧, ∨>都可以得到一个偏序关系 ≤ ， 称之为格<L, ∧, ∨>的自然偏序。
ab = LUB{a, b} = LCM{a, b}∈Z＋
LCM表示{a, b}的最小公倍数。
所以，<Z+, D>是一个格。
2015-1-23
5
例15.2.1 （续）
（2）设A是一个集合，P(A)是A的幂集，是集合上 的包含关系，问此偏序集<P(A), >是否是一个格？ 解: 对S1，S2∈P(S)，有 S1*S2 = GLB{S1, S2} = S1∩S2∈P(S) S1S2 = LUB{S1, S2} = S1∪S2∈P(S) 所以，<P(S), ∩， ∪ >是一个格。
2015-1-23
14
性质15.2.1
设<L, ≤ >是格，“≥”是“ ≤ ”的逆关系。则对 任意a, b, c, d∈L，有 （1）自反性：a ≤ a； a≥a （2）反对称性：a ≤ b且b ≤ aa = b a≥b且b≥a a = b （3）传递性：a ≤ b且b ≤ c a ≤ c；
2015-1-23
30
定理15.2.8
在格<L, ≤ >中，全下界和全上界分别是集合L的 最小元和最大元，由于最大元和最小元的惟一性， 有下面的定理： 定理15.2.8 设<L, ≤ >是一个格，若格<L, ≤ > 的全上界和全下界存在，则必惟一。
2015-1-23
31
定义15.2.9
设<L, , >为有界格，1和0分别为它的全上界和全
(ab) c = a (bc)
（8）吸收律：a* (ab) = a； a (a*b) = a （9）幂等律：a*a = a；aa = a （10）a ≤ b
2015-1-23
a*b = a
a b = b
16
性质15.2.1（续）
（11）a ≤ b且c ≤ da*c ≤ b*d； a ≤ b且c ≤ dac ≤ bd
（12）保序性：a ≤ b a*c ≤ b*c；
a ≤ b a c ≤ b c （13）分配不等式： a (b*c) ≤ (ab) * (ac)；
a* (bc)≥(a*b) (a*c)
2015-1-23
（14）模不等式：
17
定义15.2.3
设代数系统<L, , >是一个格，S L，若S满足： （1）S≠Φ；
也可用∩和∪、·和＋、∧和∨分别表示保交和保 联
2015-1-23
4
例15.2.1
（1）考虑偏序集<Z+, D>，其中Z+是正整数，D是 整除关系，问此偏序集<Z+, D>是否是一个格？ 分析 判断一个偏序集<L, ≤ >是否是格，要对L的 所有2元素子集看它是否都有最大下界和最小上界 解 对a, b∈Z＋，有a*b = GLB{a, b} = GCD{a, b}∈Z＋