实验数据处理方法第三章概率分布的基本性质

3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the Probability)
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability)
f(x)包含了随机变量X的所有信息，其性质确定了X的分布
最可几值(mode)：使f(x)取极大的x值，xp
中位值 (median)：F(xmedian)=1/2
Mean(中值－平均值）
ξ
x
3.3 概率密度函数的性质
(Properties of the probability)
一、函数的期望值（Expectation) 定义：
积分学第二中值定理
对连续函数f(x)和g(x)，在区间[a, b]上存在ξ，使得
b
b
a g(x) f (x)dx f (a)a g(x)dx f (b) g(x)dx
如果把求平均值的运算E看作一个算符，它具有性质：
若a是常数，则 E(a)=a E[ag(x)]=aE[g(x)] E[a1g1(x)+a2g2(x)]=a1E[g1(x)]+a2E[g2(x)]
即，E是线性算符
函数的方差（Variance）
定义： V[g(x)] E{g(x) E[g(x)]}2
1. 对所有的x值, f (x) 0 2. f(x)是单值函数 3. f(x)是非奇异的
第三章 概率分布的基本性质
3.2 累积分布函数
（Cumulative distribution function)
3.2 累积分布函数 （Cumulative distribution function)
简称分布函数
f(x)：随机变量X的概率密度函数 g(x)：随机变量X的函数 g(x)的期望值（对g(x)的加权平均值）：
E[g(x)] g(x) f (x)dx
E[g(x)]是一个常数，与x无关，是函数g(x)的平均值或中值的一个量度
f(x)对应于量子力学或统计物理中的态密度（如麦克斯韦分布、玻色 －爱因斯坦分布、费米－狄拉克分布）
定义：
X：连续型随机变量； ：样本空间（X的值域） X的值落入区间[x,x+dx]的概率：
p(x X x dx) f (x)dx
其中：f(x)被称为随机变量X的概率密度函数（p.d.f），表示单位长度 下的概率。
归一化条件（normalization condition）：
性质：
f (x)dx 1 表示：在样本空间内，随机变量X总会取某一值
平均值： E(x) xf (x)dx
g(x)可以理解为一个物理量算符
1 f (x)dx (x) | (x) dx E[g(x)] g(x) f (x)dx (x) | gˆ(x) | (x) dx
3.3 概率密度函数的性质
(Properties of the probability)
一、函数的期望值（Expectation) 定义：
实验数据处理方法 第一部分：概率论基础
第三章 概率分布的基本性质
• 本章内容： 随机变量的概率分布函数的基本性质：平均值、方差、协方 差矩阵、炬、…
第三章 概率分布的基本性质
3.1 概率密度函数
（Probability Density Function)
3.1 概率密度函数 （Probability Density Function)
2、F(xmin)=0, F(xmax) = 1
x
xmin
xmax
3、若x1<x2, 则F(x1)<F(x2),即F(x)是单调升函数
4、 p(x1 x x2 ) F (x2 ) F(x1)
x1
5、
F
(
x
)
F
(
x
)
lim
n
n x1
p( x)dx
0，即x取特定值的几率为0。
n
3.2 累积分布函数 （Cumulative distribution function)
{g(x) E[g(x)]}2 f (x)dx
意义： g(x)在其期望值周围的离散程度
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability)
二、随机变量的平均值和方差（Mean Value and Variance)
如取g(x)=x，则得随机变量X的平均值和方差
g(ξ)称为g(x)的积分中值（加权平均值），f(x)为权函数。
第一中值定理是第二中值定理在f(x)=1时的特例。
平均值可以指x2的、x3的等等任意函数的平均值。
概率论中的平均值特指自变量x的加权平均值，即g(x)=x
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability)
定义：
x
F(x) f (x')dx' xmin
f(x)
其中：xmin是随机变量X的取值下限
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意义：
表示随机变量X的取值小于某一值x的概率，即
F (x) p( X x),
xmin x xmax
F(x)
离散型随机变量可以定义累积分布函数
1
性质：
1、 0 F (x) 1,
xmin x xmax
f(x) 1/360
F(x) 1
0 xmin
360° x
0
(a)
(b)
一个均匀分布的例子
时钟角度X的p.d.f.— f(x)（a）和分布函数F(x)（b）
f(x)
360° x
随机变量X的取值x在区间[x1,x2]的概率是概 率密度函数f(x)曲线下相应区间的面积
x
x0
x1
x2
xmax
第三章 概率分布的基本性质
平均值(mean)： x xf (x)dx
f(x)
统计物理中，麦克斯韦速度分布律给出：
2
vp :v 1:
1:1.128
Mode（极大值）
Median(中位值） Mean(平均值）
x
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 一、函数的期望值（Expectation) 定义：
积分学第一中值定理（Mean Value Theorem） 对连续函数g(x)，在区间[a, b]上存在ξ，使得
b
a g( x)dx g( )(b a)
g(ξ)称为g(x)的积分中值，或平均值。实际上就是算术平均值， 对离散的函数g，就很容易看出来。
n
gi g n
i 1
g(x)
这意味着可以找到一个点ξ，使 得g(x)下的面积等价于一个矩 形面积，但这不是统计学中通 常定义的平均值（见下面）。