专题三导数及其应用

专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用

2019年

1（2019天津理8）已知a ∈R ，设函数222,1,

()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式

()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为

A.[]0,1

B.[]0,2

C.[]0,e

D.[]1,e 2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）是否存在

,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求

出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.

3.（2019浙江22）已知实数0a ≠

，设函数()=ln 0.f x a x x >

（1）当3

4

a =-

时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意2

1[

,)e

x ∈+∞

均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.

4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2

π

-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．

5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数()1

1

ln x f x x x -=-

+.

（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；

（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x

y =的

切线.

6.（2019江苏19）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．

（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；

（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=„，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤

427

． 7.（2019北京理19）已知函数3

21()4

f x x x x =

-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[]2,4x ∈-时，求证：()6x f x x -≤≤.

(III)设()()()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[]2,4-上的最大值为()M a ，当()M a 最小时，求a 的值.

8.（2019天津理20）设函数()e cos ,()x

f x x

g x =为()f x 的导函数.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当ππ,42

x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦时，证明π

()()02f x g x x ⎛⎫+- ⎪⎝

⎭

…

； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间ππ2,2π42m m ⎛⎫

+

+ ⎪⎝

⎭

内的零点，其中n ∈N ，证明200

π22sin c e os n n n x x x π

π-+-<-.

2010-2018年

一、选择题

1．（2017新课标Ⅱ）若2x =-是函数2

1

()(1)x f x x ax e

-=+-的极值点，则

21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为

A ．1-

B ．3

2e -- C ．3

5e - D ．1

2．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图

像可能是

x

x

A ．

B ．

x

x

C ．

D ． 3．(2016全国I) 函数2

||

2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（2015四川）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =

-+-+≥≥，

在区间122⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，

单调递减，那么mn 的最大值为

A ．16

B ．18

C ．25

D ．

812

5．（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是

A ．()(),10,1-∞-U

B ．()()1,01,-+∞U

C ．()(),11,0-∞--U

D ．()()0,11,+∞U

6．（2015新课标Ⅰ）设函数()(21)x

f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，

使得0()0f x <，则a 的取值范围是 A ．3[,1)2e -

B ．33[,)24e -

C ．33[,)24e

D ．3

[,1)2e

7．（2014新课标Ⅱ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是

A ．(],2-∞-

B ．(],1-∞-

C ．[)2,+∞

D ．[)1,+∞

8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），

已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为

(千米)

x -6

y =-

A ．321122y x x x =

-- B ．3211

322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．32

11242

y x x x =+-

9．（2014新课标Ⅱ）设函数(

)x f x m

π=．若存在()f x 的极值点0x 满足

()2

22

00x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是

A ．()(),66,-∞-⋃+∞

B ．()(),44,-∞-⋃+∞

C ．()(),22,-∞-⋃+∞

D ．()(),11,-∞-⋃+∞

10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千