梁的内力

3、集中力作用处
剪力图突变，突变值等于集中力的数值，
自左向右的突变方向
aF
与集中力的方向相同；
l
弯矩图上有尖角，
F⎜⎛1− a ⎟⎞ ⎝ l⎠
方向与集中力方向相同。
F a FS图 l M图
Fa⎜⎛1− a ⎟⎞ ⎝ l⎠
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
4、集中力偶作用处 剪力图无变化；
弯矩图突变，突变值等于集中力偶的数值，
x22 2
0 ≤ x2 ≤ 4
20
31.25
M图(kN.m)
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q(x)
q(x)
x
dx
l
Fs (x)
M(x)
M(x)+d M(x)
∑ Fy = 0
dx
Fs (x) + q(x)dx − [Fs (x) + dFs (x)] = 0
Fs (x)+ dFs (x)
§4-3 梁的内力及其求法
一、剪力和弯矩 弯曲内力有两类：剪力和弯矩
FAy
考察弯曲梁的某个横截面:
FBy
y
在截面形心建立直角坐标系
剪力与截面平行，用FS 表示 弯矩作用面在纵向对称面内 方向沿Z轴方向， 用M 表示
M
x
FS
z
§4-3 梁的内力及其求法
二、求梁内力的方法: ——截面法
M FN
FAy
FFSS
CB
FS (x2 )＝− Fa / l (a ≤ x2 ≤ l) M(x2 )＝Fa(l − x2 )/ l (a ≤ x2 ≤ l)
3、作剪力图和弯矩图
例题3 图示简支梁C点受集中力偶作用。
例题4
a
b
M
试画出剪力图和弯矩图。
q
A
C
x1
FAy
l
B x2
FBy
解： 1、求支座反力 FAy＝M / l FBy＝ －M / l
dFs (x) = q(x)
dx
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q(x)
q(x)
x
dx
l
Fs (x)
M(x)
O
M(x)+d M(x)
∑MO = 0
dx Fs (x)+ dFs (x)
[M
(x)
+
dM
( x)]
−
Fs
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
§4-1 工程中的弯曲问题
平面弯曲
•具有纵向对称面
M
M
•外力都作用在此面内
•弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
§4-1 工程中的弯曲问题
常见平面弯曲构件截面:
§4-2 梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载
• 集中荷载
q
• 分布荷载
• 集中力偶
dx Fs (x)+ dFs (x)
dM (x) dx
=
Fs (x)
dM 2(x) dx2
=
q(x)
弯矩图上某点处的曲率等于该点处荷载集度的大小
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
二、 剪力图、弯矩图的特征
dFs (x)
dx
=
q(x)
dM (x) dx
= Fs (x)
FAy
=
5F 3
∑ Fy = 0
2F
+
FSE
=
5F 3
FSE
=
−
F 3
∑ ME
ME =0
2F
⋅
a 2
+
ME
=
5F 3
⋅ 3a 2
ME
=
3Fa 2
例题1
FSE
FAy ME FSE
求图示简支梁E 截面的内力
FBy
=
F 3
FAy
=
5F 3
ME 分析右段得到：
∑ FBy
Fy = 0 FSE + FBy = 0
M(x)＝qlx− qx2 (0 ≤ x ≤ l)
22
3、作剪力图和弯矩图
例题2 图示简支梁C点受集中力作用。
F
a
b
A
C
x1 x2
FAy
l
FS Fb / l (+)
Fa / l
(−)
试画出剪力图和弯矩图。
B 解： 1、求支座反力
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
FBy
2、求剪力和弯矩方程
x
AC
FS (x1)＝Fb/ l (0 ≤ x1 ≤ a) M (x1)＝Fbx1 / l (0 ≤ x1 ≤ a)
( x)dx
−
M
(x)
−
1 2
q( x)(dx) 2
=
0
dM (x) dx
=
Fs (x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q(x)
q(x)
x
dx
l
Fs (x)
M(x)
O
M(x)+d M(x)
dFs (x) = q(x)
dx
+
FS
_
FS
FS
左上右下为正；反之为负
弯矩： M
+M
M
_M
左顺右逆为正；反之为负
例题1
求图示简支梁E 截面的内力
FAy 2. 用截面法求内力
FFSSEE
FAy
解： 1. 确定支座反力
∑MA =0
FBy ⋅ 3a + Fa = 2F ⋅ a
∑ Fy = 0
FBy
FBy
=
F 3
FAy + FBy = 2F
6kN ⋅ m
6kN
1 2 q = 2kN m 3 4
5
12
A 2m
34
B
5
C
3m
3m
FA = 13kN
FB = 5kN
FS1 = −6kN M1 = −12kN.m
FS 2 = 7kN M 2 = −12kN.m
FS3 = 1kN M3 = 0
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和 5－5各截面上的内力。
第4章 梁的内力
§4-1 工程中的弯曲问题
吊车大梁简化:
q F
§4-1 工程中的弯曲问题
火车轮轴简化：
§4-1 工程中的弯曲问题
起重机大梁
§4-1 工程中的弯曲问题
火车轮轴
§4-1 工程中的弯曲问题
楼房的横梁
阳台的挑梁
§4-1 工程中的弯曲问题
杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或 外力偶（其作用面与杆轴线共面）作用，将会产 生弯曲变形。
1、q＝0 FS=常数， 剪力图为水平直线；
弯矩图为斜直线。
2、q＝常数
剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。
q
q
l F Fl
F l
FS图 F M图 Fl
F 1 ql 2
FS图
M图
l
l
FS图
1 ql 2
1 ql 2
M图
1 ql 2
1 ql 2
FS图
8
1 ql 2 8
M图
弯矩图中抛物线沿荷载方向凸出
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
A
2、求剪力和弯矩方程
L
FS
AC: FS (x1 )＝M / l (0 ≤ x1 ≤ a)
M (x1 )＝Mx1 / l (0 ≤ x1 ≤ a)
Fs
CB:
FS (x2 )＝M / l (0 ≤ x2 ≤ b) M (x2 )＝ − Mx2 / l (0 ≤ x2 ≤ b)
3、作剪力图和弯矩图
试画出剪力图和弯矩图。
Fs (x) = −qx, (0 ≤ x ≤ l) B M (x) = − 1 qx2 , (0 ≤ x ≤ l)
2 0.5ql 2
x
x
ql
M
例题5 试画出剪力图和弯矩图。
例题5 试画出剪力图和弯矩图。
FAY MA
A
x
FS
l
F
F
B
解：1、求支反力 FAY = F ; M A = Fl 2、写出内力方程
6kN ⋅ m
6kN
1 2 q = 2kN m 3 4
5
12
A 2m
34
B
5
C
3m
3m
FA = 13kN
FB = 5kN
FS 4 = 1kN M 4 = 6kN.m
FS5 = −5kN M5 = 0
§4-4 内力图——剪力图和弯矩图
当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯矩方 程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段 列出其表达式。
FSE
=
5F 3
− 2F
=−F 3
FAy FAy
FFSSEE ME
FAy
来自百度文库
FBy
=
F 3
FAy
=
5F 3
FBy
梁的任一横截面上的弯矩
在数值上等于该截面任一侧所
有外力（包括外力偶）对该截
ME
面形心力矩的代数和
2F
截面左边顺时针（右边逆时针）
的外力矩使截面产生正号的弯矩
ME
ME
=
5F 3
⋅
3a 2
− 2F
均布荷载
§4-2 梁的荷载和支座反力
二、梁的支座及支座反力
1、固定铰支座
2、可动铰支座
FRx
FRy
FRy
3、固定支座
MA FRx
FRy
§4-2 梁的荷载和支座反力
三、静定梁的基本形式
FAx
FAy FAx
FAx MA
FAy FAy
简支梁
FBy
外伸梁 (伸臂梁)
FBy
悬臂梁 梁的支座反力可根据梁的平衡条件得到
分段是以集中力、集中力偶的作用位置及 分布荷载的起点和终点为界。（控制截面）
§4-4 内力图——剪力图和弯矩图
在杆件的不同横截面上，内力通常并不相同，即
内力一般是横截面位置的函数。若沿杆件轴线方向引
入 x 坐标表示横截面的位置，则有
FS = FS (x) M = M (x)
——内力方程
内力方程是作梁内力图的前提和基础
40kN ⋅ m
x1 A 1m 35kN
15
20 20
10kN m 4m
2.5
Fs图(kN)
FS (x1 ) = −20kN
x2
B
25kN
0 ≤ x1 ≤ 1
M (x1 ) = −20x1
0 ≤ x1 ≤ 1
FS (x2 ) = −25 +10x2
0 ≤ x2 ≤ 4
25
M
(x2
)
=
25x2
−10
×
Fs (x) = FAY = F (0 ≤ x ≤ l)
M (x) = FAY x − M A = F(x − l) (0 ≤ x ≤ l)
x 3、作内力图
FAY MA
A
x
l
F
B
Fl
M
M (x) = FAY x − M A = F(x −l)
(0 ≤ x ≤ l)
x
图示外伸梁,试作剪力图和弯矩图.
20kN
例2 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
(2) 求1-1截面的剪力FS1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FS1 = FRA − F = 15 − 8 = 7kN
M1 = FRA × 2 − F × (2 −1.5) = 26kN ⋅ m
根据1-1截面右侧的外力计算可得：
FS1 = (q × 3) − FRB = 7kN
FS 2 = (q ×1.5) − FRB = −11kN M 2 = −(q ×1.5) × 0.75 + FRB ×1.5 = 30kN ⋅ m
FR A = 15kN FRB = 29kN
8kN
1 A
1 1.5m 1.5m FRA 2m
12kN/m
2
2 3m
1.5m
B FRB
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和 5－5各截面上的内力。
M FN
FS
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
⇒ FN = 0 ⇒ FS = FAy − F1
∑ M C = 0 ⇒ M = FAy x − F1(x − a)
FS—剪力，平行于 横截面的内力合力
M—弯矩，垂直 于横截面的内力系 FBy 的合力偶矩
§4-3 梁的内力及其求法
内力正负号规定：
剪力：
FS
FSE
=
− FBy
=
−
F 3
FBy
∑ME =0
ME
=
FBy
⋅ 3a 2
+
Fa
ME
=
3Fa 2
FAy FAy
FFSSEE ME
FAy
FBy
=
F 3
FAy
=
5F 3
FBy
梁的任一横截面上的剪力
在数值上等于该截面任一侧
FSE
所有外力竖向投影的代数和
2F FSE
截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力
(2) 用截面法(分段)求内力函数 (3) 根据内力函数作内力图。
x x
M
例题1 简支梁受均布载荷作用,
y
q
A xC
FAy
l
FS ql / 2
(+ )
试画出剪力图和弯矩图。
B
x
解： 1、求支座反力
FBy
FAy = FBy =ql/2
2、求剪力和弯矩方程
(−) x
ql / 2
FS
(x)＝ql
2
−
qx
(0≤ x≤l)
§4-4 内力图——剪力图和弯矩图
为了形象地看到横截面上内力沿梁轴线分布情 况，通常将剪力、弯矩沿梁长的分布情况用图形表 示出来，这种表示剪力和弯矩分布情况的图形分别 称为剪力图和弯矩图。
内力图反映了相应内力分量沿杆件轴线的分 布状况，是结构分析和计算的重要依据。
根据内力方程绘制内力图步骤： FS
(1)求支座反力。
例2 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
8kN
1
A
1 1.5m 1.5m
FRA 2m
12kN/m
2
2 3m
1.5m
B FRB
解：(1)求支座反力
∑ M B = 0 −FR A × 6 + 8 × 4.5 + (12 × 3) ×1.5 = 0
FR A = 15kN
∑ M A = 0 FRB × 6 − 8 ×1.5 − (12 × 3) × 4.5 = 0 FRB = 29kN
⋅
a 2
= 3 Fa 2
§4-3 梁的内力及其求法
内力计算法则：
1、 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该 截面任一侧所有外力竖向投影的代数和
左上右下为正
2、 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该 截面任一侧所有外力（包括外力偶）对该截面形 心力矩的代数和
左顺右逆为正 （上正下负） 竖向向上的外力
产生正号弯矩
M1 = −(q × 3) × 2.5 + FRB × 4 = 26kN ⋅ m 8kN
可见计算结果完全相同。
1
A 1
1.5m 1.5m
FR A = 15kN FRB = 29kN FRA 2m
12kN/m
2
2 3m
1.5m
B FRB
例2 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
(3) 求2-2截面的剪力FS2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
对于顺时针方向的集中力偶， a M