导数在函数求最大值和最小值中的应用

导数在函数求最大值和最小值中的应用

例1．求函数f (x )＝5x ＋234x x +--的值域. 解析：由3040x x +⎧⎨-⎩≥≥得f (

x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’＝f ’(x )＝5324x x +

++-, 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增．

∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27，

∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27].

例2．设32

3ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－6,求a , b 的值。 解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下：

当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1)

∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小，

∵ f (0)－f (1)＝

2

3a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=21(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－2

3a =－6, ∴ a =6，b =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求

()f x x 在(0，a ]上的最大值。 解析：2

()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0，

∴ 2()'()()[

]'f x f x x f x x x ⋅-=>0，∴ ()f x x

在(0，a ]上是增函数。 ∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为()f a a ． 例4．设g (y )＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ，

① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。

解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]，

当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2.

当－3

10，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0)上恒成立，

∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4.

当x ≤－3

1时，g ’(y )，g (y )在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x , ∴ f (x )=2

24210112703143

x x x x

x x x x ⎧⎪-⎪⎪-+-<<⎨⎪⎪---⎪⎩≥≤. ② 当x ≥0时，f (x )≤f (0)=1，

当x ∈(－

31，0)时，f (x )=27[(x －154

)2－2154]+1

1时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1<119

< 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+3a x (x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。 解析：f ’(x )＝6x －43a x

，令f ’(x )=0得 x ＝15()2a ， 当015()2

a 时f ’(x )＞0， ∴ x ＝1

5()2

a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20,

∴ 1225553255

5(())3()2022()22

a a a f a a =⋅+=⋅≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？

解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，

∴ h =2

22S R R

ππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h =2222122S R R SR R R ππππ-⋅=-, 由V ’(R )=0得2

1S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大．

例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ．

（1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ；

（2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上；

（3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。

解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ，

由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根．

∵

f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0，

f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根，

∵ s

, ∴ f (s )+f (t )=342()()273

a b ab a b -

+++, ∵ 3211()()()()[()()]232732

s t a b f f a b ab a b f s f t ++==-+++=+, ∴ AB 的中点C (2s t +，f (2s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1),

由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点．

∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ],

当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ，

当x 1=2

a b +时，切线斜率为－41(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－4

1(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－4

1(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。

例8 、设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.

（1）求n 的值；

（2）求证：f （1）≥2.

剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x =2吗?不一定.会在x =2的哪一侧呢?

解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .

∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，

∴当x =0时，f （x ）取到极大值.

∴f '（0）=0.∴n =0.

（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），

f '（x ）=3x 2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－3

2m ， ∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数，

∴x 2=－

3

2m ≥2.∴m ≤－3. ∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.

评述：此题学生往往错误地认为x =2是另一个极值点.再证f （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知道m 的范围，便可证之.

例9、已知函数f （x ）=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =－12x .

（1）求函数f （x ）的解析式；

（2）求函数f （x ）在［－3，1］上的最值.

解：（1）f '（x ）=12x 2+2ax +b ，f '（1）=12+2a +b =－12. ① 又x =1，y =－12在f （x ）的图象上，