第六章 两种常用的概率分布

四、正态曲线下面积的应用
• （一）推求考试成绩中特定区间的人数
• 例8 已知某年级200名学生考试成绩呈正
态分布，平均分为85分，标准差为10分，
学生甲的成绩为70分，问全年级成绩比学
生甲低的学生人数是多少？
• 解：属于已知Z值求P值问题。
一般分3步完成：
a)计算甲生成绩的标准分数； b)根据Z值查表求得对称轴与过Z值纵线所夹的面积； 再计算出Z值左侧的曲线面积； c)将面积比率乘以总人数，即可得比甲生分数低的学 生的实际人数。
n n1 n1 1 k 0 0 n Cn An B 0 Cn A B ... Cn Ak B nk ... Cn A B
（6.5）
二项分布中A事件出现k次的概率与上式中各项 对应，通式为
Pk C p q
k n k
k n
n k
(6.6)
k 其中Cn 为n次试验中A事件出现次数为 k时的组合数，
（3）正态曲线下Z=-1.64处左侧的面积。
（4）正态曲线下Z=-1.5处右侧的面积。
解：（1）查表得，Z=1.34，P=0.40988,
由于正态曲线对称轴左侧的面积为0.5, 所
以所求面积为:0.5+0.40988=0.90988.
(2) z=2.16,p=0.48461,由于对称轴右 侧的面积为0.5,故所求面积为: 0.5-0.48461=0.01539.
P18 C p q 190 0.5 0.5 0.000181
18 20 18 2 18 2
即凭猜测得18分的可能性只有十万分之十八。 （2）依题意应首先求该学生得18分，19分、20分三种 分数的概率之和是多少，然后从这个概率的大小判断他 是否是凭猜测得到这个分数。 同样P（19）=0.000019
•
在每次试验中一定发生的事件，称为必
然事件；而一定不会发生的事件，称为不可
能事件。如纯水在标准大气压下零度结冰等。
• （二）事件的概率
•
1、频率：对于随机事件A，如果在N
次试验中出现a次，则A发生的频率记作
F
A

a N
（6.1）
频率满足不等式0≤F（A）≤1。若A是必然事
件，则F（A）=1，若A是不可能事件，则F（A）
第二列给出了与Z对应的过点Z的纵线的高
度Y值，第三列给出了曲线下面积P值是过
Z=0人纵线与过表中某Z点人纵线所夹图形
的面积比率，即相应区间的随机变量的概
率。
（二）正态分布表的使用
•
• • • •
已知Z值查出对应的P值和Y值；已知P 值查出对应的Z值和Y值。 1、已知Z值，求P值。 例5 在正态分布表中： （1）求Z=-1与Z=1之间的面积比率。 解：查表，当Z=1时，P1=0.34134,由它的 对称性，当Z=-1时，P2=0.34134，所以所 求的面积比率为：P1+P2=0.68268。
(3)查表得,Z=1.64时,P=0.44950,所以 Z=-1.64时,P=0.44950,即它与Z=0所夹面积 为P=0.44950,故所求面积为:0.5-P=0.0505. (4) 当Z=1.5时,P=0.43319,所以当Z=1.5时,P=0.43319,故所求面积为: 0.5+P=0.93319.
=0。
2、经验概率
计数某事件在一系列试验中发生的次数，然后
计算发生次数与试验总次数的比值得到频率。试验
次数越多，某事件发生的频率会在某个常数上下波 动。当试验次数无穷时该事件发生的频率会与一常 数相等，把这一常数称为某事件的概率。（统计定 义）
•
3、先验概率
•
试验满足：试验中各种可能结果（基本事件）
P（20）=0.000000095
三者之和为0.000201,即凭猜测得18分以上的概 率只有万分之二，可以断定，他得18分以上不是凭猜 测得到的。
第三节 正态分布
• 一、正态分布的概念 • 正态分布是指在一个 概率分布中，中间频数多， 两端频数相对称地减少，
形成一种“钟”形对称的
理论概率分布。 •
σ =0.5
σ =1 σ =1.6
图6-3（b)
在无数条正态分布曲线中有一条曲线 µ=0，σ =1，这条曲线称为标准正态曲线，
见图6-3（a）中左侧的一条曲线。其方程
简化为
Y
1 2
e

1 2 Z 2
二、标准正态分布曲线的特点
1、曲线最高点为Z=0，Y=0.3989，曲 线下的总面积即概率总和为1，对称轴左右 各0.5。 2、曲线是以过Z=0的纵线为对称轴呈 钟形的轴对称图形。 3、标准正态分布的平均数、中数、众 数三点重合在Z=0这一点上。
答对5题的概 率1/32
答对3题的概 率10/32
答对4题的概 率5/32
答对0题的概 率1/32
• 5题中答对各种可能结果的概率之和为1。
所以在二项分布中，n+1项的概率之和为1。 若p=q,则概率分布呈对称性，与两端等距 的项的概率相等。若p≠q,n较小时，概率分 布不对称，当n较大时（大于等于30或50）， 概率分布逐步对称。
n! C 。 公式(6.5)叫二项分布函数 。 k!(n k )!
例3 凭猜测做五道是非题，答对的概率p=1/2,答错
的概率q=1/2，问五题中答对k（k=0,1,2,3,4,5)题的概率 各是多少？ 解：根据二项式定理
1 1 4 0 0 5 p q5 C55 p5 q 0 C54 p 4 q1 C53 p3q 2 C52 p 2 q3 C5 p q C5 p q
B
）+ P（ A B ）=P（A）P（ B ）+
P（ A ）P（B）
=1/4*3/4+3/4*1/4=3/8
第二节 二项分布
• （一）二项分布的概念 • 所谓分布的指随机变量的概率分布。
•
如果一次试验中只会发生两种结果，非A
即B，A和B就是对立事件。发生A和B的概 率分别为p和q，显然P（A）+P（B） =p+q=1。而且 重复多次试验时，各次试验
图6-1 正态分布
•
在二项分布中，当p=q,当均数
np>=5,n>=10时，二项分布可看作正态 分布的近似形。
图6-2 平均数、标准差相同的二项分布直条图和正态分布图
（二）正态分布曲线
• 图6-1为正态分布曲线，其方程为
Y
1 2
e
X 2
2 2
（6.9）
其中，Y为正态分布曲线的高度，表示 随机变量的概率的大小或观测值出现的相 对次数，X为观测值，即随机变量的可能 取值；µ、σ 分别为X的平均数和标准差， e=2.71828,П =3.1416。
4、曲线与对称轴交点处Y值最大，即
此处观测值的相对次数最大，概率最大；
曲线向两侧先快后慢地下降，在Z=±1处
有两个拐点；横轴是标准正态曲线的水平
渐近线，曲线向两侧逐渐接近横轴，但永
不相交。
三、正态分布表
• （一）正态分布表的结构（P240） • 它是通过公式（6.10）计算得到的。
•
表中第一列给出了从0到3.99的Z值，
（2）求 Z=-2.58与Z=2.58之间的面积比率.
解：查表，当Z=2.58时，P1=0.49506,由它 的对称性，当Z=-2.58时，P2=0. 49506， 所以所求的面积比率为：P1+P2=0.99012。
例6 利用正态分布表求：
（1）正态曲线下Z=1.34处左侧的面积。
(2) 正态曲线下Z=2.16处右侧的面积。
是有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时，
则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件
数（K）除以试验中可能发生的基本事件总件数
（N）之商。
P A K N
6.2
• 经验概率是由计算事件发生的频率而得， 先验概率是在实践之前利用有关事实确定的。 前者给出了概率的操作性定义，后者提供了 概率的理论上的基本定义。 • 4、概率的性质
第六章 两种常用的概率分布
第一节 概率 第二节 二项分布 第三节 正态分布
第一节 概率
• 一、事件及其概率 • （一）随机事件 • 概率论：是从量的方面研究随机现象的 统计规律的科学。 • 随机现象：是指在相同条件下反复进行 观察或实验，其结果无法事先预定的现象。 • 如：掷硬币，其结果有两个，正面或反 面。在随机现象中出现的各种可能结果， 称为随机事件，简称事件。
•
从式6.9可看出，Y的值与离差|X-µ|的绝 对值有关，它是以X=µ这一点的纵线为对称 轴的轴对称图形。它的位置和形状由平均 数µ和标准差σ 决定。在同一直角坐标系中， 平均数的大小决定图形的位置左移或右移， 当µ较小时，图形向左移；当µ较大时，图 形向右移。见图6-3（a)
µ=0
µ=5
σ =1
• 两个相互独立事件就是指一个事件发生的概率与另
一个事件的发生无关，两个事件的积就是指两个事 件同时发生的事件。
• 例2
少？
两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是多
• 解：设第一题做对为事件A，做错为事件 A ，第 二题做对为事件B，做错为事件 B ，做对第一题 的概率为P（A B ），做对第二题的概率为P （A B ），所以做对任意一题的概率为 P（A
• P（A+B）=P（A）+P（B）
• 在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容 事件。 • 例1 在9道题中，有6道选择题，2道是非题，1道填 空题，随机抽出一题，求抽出的为是非或选择题的 概率是多少？
• 解：高抽出是非题为事件A，抽出选择题为 事件B，随机抽一题，只能是抽取三类题中 的一题，所以A，B为互不相容事件。“抽
出的为是非或选择题”意思是无论抽得两
种题中的哪一种都表示该事件发生了，因
此是求两个事件之和的概率P（A+B）。
• P（A）=2/9, P(B)=6/9
• 所以P（A+B）=P（A）+P（B）=8/9
（二）概率的乘法法则
• 两个相互独立事件A、B之积的概率等于两个事件分 别发生的概率的积，即 • P（A•B）=P（A）• P（B）
（1）对任一事件A，有0≤P（A）≤1。 （2）不可能事件的概率等于零。 （3）必然事件的概率等于1。
•
5、小概率事件 在统计推断中，将一次试验中发生的概 率小于0.05的事件，称为小概率事件。认为 它是一次试验中同乎不可能发生的事件。
二、概率的两个基本法则
• （一）概率的加法法则
• 两个互不相容（或互斥）事件A、B之和的概率等于 两个事件分别发生的概率，即
• （二）二项分布的平均数与标准差 • （对随机变量k进行计算） • 平均数： • µ=np
• 标准差： • σ=
npq
二、二项分布的应用
• 例4 某个学生一次测验回答20道是非
题，每题1分，他得了18分，问（1）凭猜 测得18分的概率是多少？（2）他的成绩若 在18分以上，是否是凭猜测得到的？ • 解：（1）p=0.5,q=0.5,n=20,k=18,代 入公式（6.6）得
结果之间互不影响，各次试验
• 结果之间是相互独立事件，则在n次试验中，
A事件可能出现的次数k(k=0,1,…,n)是随机 的，也就是有n+1个概率值。A事件出现各 种可能结果这一随机变量的概率分布就叫 二项分布。二项分布中A事件出现的k次的 概率与二项展开式的各项相对应。
• 二项式定理：
A Bn
σ =1
图6-3（a）
标准差的大小决定图形的陡峭平缓程度，即决定纵线高度 的最大值。当标准差较大时，概率分布的离中趋势较大， 观测值分散在较大范围内，纵线高度的最大值较小，正态 分布曲线形状较平缓；当标准差较小时，概率分布的离中 趋势较小，观测值分散在较小范围内，纵线高度的最大值 较大，正态分布曲线形状较陡峭。如图6-3（b)
恰等于0.25的P值，可以用误差最小的近
似值0.24857作为P的近似值，对应的
Z=0.67，故Z的下限为-0.67，Z的上限为
0.67。
(2)所要求的Z值是表中P=0.5-0.2=0.3
处对应的Z值，取最近似的值P=0.29955， 其对应的Z值为0.84，故所求的下限Z值为
0.84。
（3）对称轴与过Z值点纵线所夹面积 为P=0.5-0.3=0.2，表中最近的P值为 0.19847，其对应的Z=0.52，它的对ຫໍສະໝຸດ Baidu点 为Z=-0.52，为所求。
2、已知P值，求Z值。
• 例7 利用正态分布表，求： • （1）求中央50%的面积操作的下限Z值和 上限Z值。 • （2）求正态曲线下右尾20%的面积的下限 Z值。 • （3）求正态曲线下左侧30%的面积的上限 Z值。
解：（1）由于正态曲线的对称性，中央
50%的面积为对称轴左右两侧各25%的面
积的和。所以P=0.25，查附表，表中没有