浙教版八年级数学第三章知识点+经典例题+解析

第三章 不等式

重点： 不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点： 一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。 知识点一：不等式的概念

1. 不等式： 用“＜” (或“≤ ” )，“＞” (或“≥ ” )等不等号表示大小关系的式子，叫做不 等式 .用“≠”表示不等关系的式子也是不等式 .

要点诠释： (1)不等号的类型:

① “≠”读作“不等于” ，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个 量谁大谁小；

②“＞”读作“大于” ，它表示左边的数比右边的数大； ③“＜”读作“小于” ，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥ ”读作“大于或等于” ，它表示左边的数不小于右边的数； ⑤“≤ ”读作“小于或等于” ，它表示左边的数不大于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等 关系， 不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式， 都是同类量比较所得的关系，

不是

同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系， 就要正确理解 “非负数”、“非正数”、“不大于”、

“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道， 当对不等式中的未知数取一个数， 若该数使不等式成立， 则 这个数就是不等式的一个解，

我们可以和方程的解进行对比理解，

一般地， 要判断一个数是

否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。 3．不等式的解集：

一般地， 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个不等式的解集。 求不等式的解集

的过程叫做解不等式。如：不等式

x － 4＜1 的解集是 x ＜5.

不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围 ,是所有 解的集合 ,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值

.

二者的关系是 :解集包括解 ,所有的解组成了解集。 要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：如果a

(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

基本性质2：不等式的两边都加上

(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

基本性质3：不等式的两边都乘上

(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

基本性质4：不等式的两边都乘上

：

要点诠释

；

握

(1)不等式的基本性质 1 的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌

(2)要理解不等式的基本性质 1 中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的

单项式或多项式；

(3“)不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，

那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为

“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

别注意性质3，在乘(除)

(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特

同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要

改变。

知识点三：一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

：

要点诠释

(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式(单项式或多项多)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；

)，一元一次方程

不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接

)。

表示相等关系(用“＝”连接

知识点四：一元一次不等式的解法

1.解不等式：

求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

步

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般

骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.

要点诠释

：

运用。

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：

在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左。

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质

2、3 要倍加小心）

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式

是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原

不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注

意，去分母或化未知数的系数为 1 时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，

如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的一般步骤及注意事项

变形名称具体做法注意事项

（1）不含分母的项不能漏乘

（2）注意分数线有括号作用，去掉分去分母在不等式两边同乘以分母的最小公倍数母后，如分子是多项式，要加括号

（3）不等式两边同乘以的数是个负

数，不等号方向改变。

（1）运用分配律去括号时，不要漏乘根据题意，由内而外或由外而内去括号均括号内的项

去括号

可

（2）如果括号前是“—”号，去括号

时，括号内的各项要变号把含未知数的项都移到不等式的一边（通

移项常是左边），不含未知数的项移到不等式移项（过桥）变号

的另一边