三角函数诱导公式

1 向左(>0)或向右(<0) y=sin(x+) 横坐标变为原来的 倍 y=sin(x+) y=sinx 平移个单位 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(x+) 横坐标不变
上下平移 y=Asin(x+) (A>0, >0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到:
x x
sin x cos x
sin cosx x 1
描点作图
2 2
0 0

0 -1 11
3 3 2 2
2 2
yy
10 1 -1
01 02
01 00
1 0 1 -1
2
-
y 1 sin x , x [ 0 , 2 ]
1- 1
oo
1 1
2
y cos x , x [ 0 , 2 ]
-
2
-
-1 -
o
2
4
6
x
例.用五点法作出下列函数图象:
(1 ) y = 2 sin x
(2 ) y = 1 2 s in x
解:
x
0
2

3 2
2
sinx 0 2sinx 0
1
1 2
1 2
0 -1 0 -2 0
1 2
0 0 0
y = 2 sin x
y 2 1
1
2

s in x
y

2 的终边
公式五：
sin(
P2(y，x)
α 的终边 O

2
) cos ) sin
P1(x，y) x
cos(

2
思考：

2
2
与

2
有什么内在联系？
(

2
)
思考：根据相关诱导公式推导， sin( ) ， cos( ) 分别等于什么？
2 2
图象的最低点 ( 32 , 1)
-1 -
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最高点
( 0 ,1 ) ( 2 ,1)
1-
与x轴的交点
-1
o
6

3

2
2 3
5 6

y=Asin(x+) (A>0, >0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到:
1 向左(>0)或向右(<0) y=sin(x+) 横坐标变为原来的 倍 y=sin(x+) y=sinx 平移个单位 纵坐标不变
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ，
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ，
-
4
-
2
-
o-1
2
-
4
-
6
-
x
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
4 关键五点 (五点作图法)
1-
图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
( 0 , 0 ) ( , 0 ) ( 2 , 0 )
x
11 6
Fra Baidu bibliotek

-
-1
o
6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
-
2

3 3 2
2
2 2
xx
y sin x , x [ 0 , 2 ]
y cos x , x [ 0 , 2 ]
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1
-
6
4
2
-
由于
所以余弦函数
是同一个函数；y=sinx图象左移
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 而得到．
x
公式三：
tan( ) tan
思考：利用π －α ＝π ＋(－α )，结合 公式二、三，你能得到什么结论？
sin( ) sin
公式四：
cos( ) cos tan( ) tan
思考：公式一～四都叫做诱导公式，他 们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z），π ＋ α ，－α ，π－α的三角函数与α的三角 函数之间的关系，你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗？ 2kπ ＋α （k∈Z），π ＋α ，－α ，π －α 的三角函数值，等于α 的同名函数 值，再放上原函数的象限符号. 函数同名，象限定号！
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数 之间的关系是什么？
公式一： sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
k Z
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
对比sinα ，cosα ，tanα 的值，π ＋ α 的三角函数与α 的三角函数有什么关 系？
2 2
sin(

2
) cos ) sin
公式六：
cos(

2
思考：诱导公式可统一为 2 (k Z) 的三角函数与α的三角函数之间的关系， 你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限.
k
例 化简：
sin(2 - )cos( )cos(

2
)cos(
11 2
- )
cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin(
9 2
)
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
定义域为R 值域为[-1,1]
y
1
3
7 2
y=1

2
3 2
4
2
5 2

3
5 2 7 2
4
1

3 2


2
0
-1

2
y 1
x
x

2
y= -1
2kπ （k Z）
2kπ （k Z）
x

2
性质二：周期性
正弦函数y sin x的周期2kπ(k Z , k 0)
T 2
y A sin （ω x φ ）（A 0，ω 0, x R) 的周期为T 2 π ω
x
-2
小结:
1.对于函数 y=Asin(x+) (A>0, >0):
A --- 振幅,
T 2
--- 周期,
f
1 T
--- 频率,
x+ --- 相位, 2.图象的变换:
--- 初相.
周期变换 (1)伸缩变换 (2)平移变换
振幅变换
左右平移
( ----- 形状变换) ( ----- 位置变换)
2
0
3 2 2
o1 -1 2 -2
2
x
2
y= 1 2 s in x

---振幅变换
(3 ) y = sin 2 x
(4 ) y = s in
2 3 4 3 2
1 2
x
3
3 2
解: x
2x

0
0
4 2

x
1 2
s in 1 2 x
0
x

2
2
4 2

2
0

sin2x 0 y 1 o -1
x
-1 -
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P1
p1
/
y
(1) 作法： 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线

3
-
-
o1
M1
-1A
Q1
o
y -1 -
6

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
y
1-
Q2
-
-
-
o1
M2
M 1 -1
o
6

tan( ) tan 。
tan( ) tan 。
利用诱导公式一～四，可以求任意角 的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
思考：设角α 的终边与单位圆的交点为 P1（x，y），则 的终边与单位 2 圆的交点为P2（y，x），根据三角函数 的定义，你能获得哪些结论？
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα ， sin（3π －α ）=sinα 等.
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin( 2 k ) sin ， cos( 2 k ) cos ， tan( 2 k ) tan 。
-
y cos x cos( x ) s in [
-
y cos x , x R
-
o
-1
2
-
4
-
6
-

2
( x ) ] s in ( x

2
)

2
与函数
y sin( x
y s in ( x

2
), x R
便得到的

2
)
图象

2
个单位长度
正弦函数.余弦函数的图象和性质

3 2
1

3 2

1 2
0
(2) 描点
y
1
2
0

-
3 2
2
x
(3) 连线
1 -
正弦函数.余弦函数的图象和性质
1 函数 y sin x , x 0 , 2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/
1P 1
p1
(3) 平移 (4) 连线
3
2

6
-
-
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
( , 0 ) ( 32 , 0 ) 2
( , 1 )
-
图象的最低点
-1 -
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]
（2）y=－cosx , x∈[0,2π] (2) 解: （1） 列表
o
M
1
A
x
正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
x
y
0

6
1 2
y sin x , x 0 , 2

3
3 2

5 3 11 6

2
2 3
3 2
5 6
1 2

0

7 6
1 2
4 3
3 2
2
0
1
正弦函数 y=sinx 的单调性和奇偶性
增区间： π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
减区间： 3 π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2

（k Z）

（k Z）
正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tanα的几何意义. 想一想?
y
1
P
T
正弦线MP 余弦线OM
sin( ) sin
公式二：
cos( ) cos tan( ) tan
该公式有什么特点，如何记忆？
思考3：根据三角函数定义，－α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系？
α 的终边 y
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
sin( ) sin cos( ) cos
-
o1
M
-1 A
1
o
6
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
2
x
-1 -
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2 正弦曲线
y
1-
6
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 3余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）

1 2
y=sin2x
6 )
12
0
)

2
y = s in [2 (x-
12
)] = s in (2 x-
2 s in (2 x-
0 2 0 -2 0 y 2
纵坐标变为原来的2倍 y = 2 s in (2 x- ). 横坐标不变 6
o
12 3 7 12 5 6 13 12
3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
x
-1 l
正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
6
-
-
4
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 4 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 4 , …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
y
1P1
p1
/
y
余弦函数 y
-
cos x , x 0 , 2
y
-
o1
M1
-1A
-
-
o
6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
-1 -
的图象
1-
-
o1
-1
o
6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
4 2
1
0 -1
0
0
1
0 -1
0
3 4

3 2
x
2
5 2
3
7 2
4
y = s in 1 2 x
y = 2 sin x
---周期变换
(5 例 ) y = 2 s in (2 x-
6
)
7 5 13 12 6
3 2
解:
x
2x 6
6
12
3 2
横坐标变为原来的 y=sinx 纵坐标不变 向右平移 1 2