不可约M-矩阵的一种判别法

不可约M-矩阵的一种判别法许晓玲(闽江学院数学系，福建，福州350108)关晋瑞(厦门大学数学科学学院，福建，厦门361005)摘要：本文中我们提出了一个判定不可约M-矩阵的实用算法，给出了相应的理论分析，并用数值算例展示了该算法的有效性和优越性。

关键词：M-矩阵；判别法；不可约中图分类号：O151.211 引言M-矩阵是一类很重要的特殊矩阵，自1937年由Ostrowski 提出之后，由于它的重要性和优美的性质，得到了深入的研究和广泛的应用。

从那时起，新的性质和等价条件不断被发现，1977年Plemmons 在[11]中总结的非奇异M-矩阵的等价条件已有40个，在后来的专著[2]中又扩充到多达50个。

另一方面，M-矩阵的应用十分广泛，数学上应用在矩阵理论，微分方程数值解，Markov 链，线性互补问题，线性方程组迭代法等问题中，其他学科如物理，生物，经济中也有着广泛的应用。

这方面的详细内容可参考[2][7][8][15]。

下面我们给出M-矩阵的定义及一些基本性质，主要来自[2] [15]。

记{}()|0,n n n ij ij A a a i j ⨯==∈≤∀≠。

对任意的n A ∈，我们总可以将A 表示为A cI B =-，其中0c ≥为常数，0B ≥是一个非负矩阵。

若()c B ρ≥，我们称A 是一个M-矩阵。

特别的，当()c B ρ>时称A 是一个非奇异M-矩阵，当()c B ρ=时称A 是一个奇异M-矩阵。

关于非奇异M-矩阵我们有下面几个常见的等价条件。

定理1.1 设n A ∈，则下列各条件等价：(1) A 是一个非奇异的M-矩阵；(2) A 可逆，且10A -≥；(3) 存在0x >，使得0Ax >；(4) A 的任意特征值都有正实部；(5) A 的对角元素都为正的，且存在正的对角矩阵D ，使得AD 是严格对角占优矩阵。

在实际应用中我们最关心的问题是，一个给定的矩阵A 是否为M-矩阵，以便作进一步的研究。

因此，判别一个给定的矩阵是否为M-矩阵是一个关键。

不过首先要说明的是，用M-矩阵的定义或者等价条件去验证并不是一个好的途径，因为要验证这些条件并非易事。

从定理1.1我们可以看到，若用等价条件(1)去验证需要计算()B ρ，对于一般的矩阵这并不容易求出。

用(2)验证需要计算1A -，运算量大且容易受误差影响。

用(3)验证需要找到合适的正向量x ，然后并没有合适的途径去寻找。

用(4)验证需要计算所有的特征值，更是不可行。

因此，寻求M-矩阵更简洁实用的判定条件是一个值得研究的课题。

近几十年来国内外很多数学工作者都对这个问题作了深入的研究，得到了许多优美而实用的判别条件，文献[3][4][5][6][9][10][12]是其中一些比较好的结果。

然而在实际应用中发现，这些判别方法尽管各具特色却都有一些不足之处。

总的来说存在这样一些问题：一是判别条件难以验证，这在应用中很不方便；二是判别范围过窄，这些判别条件大都是一些充分条件，只能判别出M-矩阵的一个子集，对于一般的M-矩阵却束手无策；三是对于奇异的M-矩阵则不能或不易判定；四是这些判别方法不易在计算机上实现。

针对上述判别法存在的这些问题，我们在本文中提出一种新的迭代判别法，该判别法的特点是：首先，判定范围广泛，非奇异或奇异的M-矩阵都可判别出来，只要要求判定矩阵不可约即可；其次，计算量小，每步迭代只需要对判定矩阵的某个列乘以一个非零常数即可；此外，易于在计算机上实现，在应用中很方便。

下面我们在第2节中给出迭代判别法的理论分析及算法，在第3节中给出一些数值例子，最后一节给出一个简单的总结。

2 主要结果以下我们记{}1,2,,N n =，对于()n n ij A a ⨯=∈，记()||i ij j i r A a ≠=∑，()()i i iir A t A a =，i N ∈。

在推导算法前我们需要用到下面的一些结论，其中引理2.1用M-矩阵的定义很容易验证，引理2.2来自[15，p377]，2.3来自[15，p376]，引理2.4来自[14，p38]。

引理2.1 设n A ∈，则A 是M-矩阵当且仅当AD 是M-矩阵，其中D 为正对角矩阵。

引理2.2 设A 是一个不可约M-矩阵，则0ii a >，对任意i N ∈。

引理2.3 n A ∈是不可约M-矩阵，当且仅当存在向量0x >，使得0Ax ≥。

将0Ax ≥在第i 行展开化简可得||ii i ij j j i a x ax ≠≥∑，这说明A 是广义(非严格)对角占优矩阵。

关于广义对角占优矩阵的知识可以参考[15，Chapter 3]。

上述引理也可以表述为：n A ∈是不可约M-矩阵，当且仅当A 是广义(非严格)对角占优矩阵。

引理2.4 设矩阵0A ≥，向量0x >，若存在,0αβ≥，使得Ax x α≤，Ax x β>，则有()A ρα≤，()A ρβ>。

下面定理2.1中的矩阵我们称之为不可约对角占劣矩阵，该定理结论说明，不可约对角占劣矩阵是广义严格对角占劣矩阵。

定理 2.1 设A 不可约，对角线元素非零，||()ii i a r A ≤，对任意i N ∈，且至少有一个严格不等式成立，则存在向量0x >，1(,,)T n x x x =，使得||||ii i ij j j ia x a x ≠<∑，对任意i N ∈。

证：记{}|||()ii i J i N a r A =∈<。

显然J N ⊂，若J N ≠，令{}1\0,ik N i N J a k J =∈≠∈。

由于A 不可约，1N 非空。

若1J N N ≠，令{}211\()0,ik N i N J N a k N =∈≠∈。

由于A 不可约，2N 非空。

继续上述过程，由于N 有限，因此存在k 使得1k N J N N =。

对所有的i J ∈，选取()1||i i ii r A d a <<。

然后对所有的i J ∈用i d 乘以A 的第i 列，得到新的矩阵()(1)(1)ij A a =。

注意此时(1)A 在i J ∈行仍然是对角占劣的，且对于任意的1i N ∈，(1)(1)(1),\||||()||||||()ii ii i ij j ij ij i j Jj i j N J j i a a r A a d a a r A ∈≠∈≠==<+==∑∑∑。

即(1)A 在1i N ∈行也是对角占劣的。

对所有的1i N ∈，选取(1)(1)(1)()1||i i ii r A d a <<。

然后对所有的1i N ∈用(1)i d 乘以(1)A 的第i列，得到新的矩阵()(2)(2)ij A a =。

类似上述讨论，得(2)A 在12J N N 行都是对角占劣的。

依次下去，最后可得()k A 在1k N J N N =行都是对角占劣的。

从而()k A 是严格对角占劣矩阵，由()k A 的构造过程知()k A AD =，D 是一个正对角矩阵。

证毕。

定理2.2 设n A ∈，不可约且0ii a >，对任意i N ∈。

则A 不是M-矩阵，当且仅当存在向量0x >，1(,,)T n x x x =，使得||ii i ij j j ia x a x ≠<∑， 对任意i N ∈。

证：当A 不是M-矩阵时，记A cI B =-，0B ≥，则()c B ρ<。

由于A 不可约，B 也不可约。

根据Perron-Frobenius 定理[6，p35]，存在向量0x >，1(,,)T n x x x =，使得()Bx B x ρ=。

从而()(())0Ax cI B x c B x ρ=-=-<在第i 行展开，化简得ii i ij j j ia x a x ≠<-∑.反之，若存在向量0x >，使得ii i ijj j i a x a x ≠<-∑，即有0Ax <。

从而()0cI B x -<，cx Bx <。

由引理2.4得()c B ρ<，A 不是M-矩阵。

证毕。

根据上面引理2.3，定理2.1和定理2.2的分析，对于给定的矩阵我们只需要验证它是否满足引理2.3或者定理2.1的条件即可判定它是不是M-矩阵。

如果都不满足的话，可以利用下面的算法将其转化为引理2.3，定理2.1中的形式即可判别出来。

对此我们利用一个技巧来实现这个过程，得到下面的算法。

算法1输入：不可约矩阵()n n ij A a ⨯=∈。

输出：“A 是M-矩阵”或者“A 不是M-矩阵”。

1．若对某个i N ∈有0ii a ≤，或者0ij a >，对任意i j ≠，“A 不是M-矩阵”，停止；否则2．令(0)A A =，0k =；3．计算()()k i t A ，对所有的i N ∈。

令()()()min ()k k p i i N t A t A ∈=，()()()max ()k k q i i Nt A t A ∈=；4．若()()1k q t A ≤，“A 是M-矩阵”，停止；若()()1k p t A ≥，“A 不是M-矩阵”，停止；否则5．计算(1)()()()k k k ip ip p a a t A +=⋅，当()()()()1k k p q t A t A ≤时；(1)()()()k k k iq iq q a a t A +=⋅，当()()()()1k k p q t A t A >时；6．令1k k =+，返回第3步。

注：(1) 算法第3步中，若有几个最大或最小的()()k i t A 存在时，任取一个即可；(2) 算法第5步表示，当()()()()1k k p q t A t A ≤时，对()k A的第p 列乘以()()k p t A 得到(1)k A +，这也可以表示为(1)()()k k k A A D +=，其中()k D 是一个对角矩阵，它的第p 个元素为()()k p t A ，其余都是1。

当()()()()1k k p q t A t A >时与此类似；(3) 经过k 次迭代后有(1)()()k k k A A D AD +===，其中()(1)(0)k k D D D D -=； (4) 不难验证，每步迭代中，若不计比较大小运算，计算量大约是22n n +。

但是需要注意的是，由于()k A 和(1)k A +只在一列上不同，可以利用递归关系将(1)()k i t A +用()()k i t A 表示出来，以减少运算量，这样每步运算量可达到()O n ；(5) 对该算法第4步略加修改，即可用来判别非奇异M-矩阵，在此略去。

下面，我们给出这个算法的一个最重要的性质。