等比数列的性质及应用教案.
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的性质。
2. 引导学生掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念2. 等比数列的性质3. 等比数列的通项公式4. 等比数列的求和公式5. 运用通项公式解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式及其应用。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列的性质和通项公式。
2. 利用多媒体课件，生动展示等比数列的图形和性质，提高学生的直观认识。
3. 结合例题，讲解等比数列通项公式的应用，培养学生解决问题的能力。
4. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队意识。
五、教学过程1. 引入新课：通过讲解现实生活中的例子，引出等比数列的概念。
2. 讲解等比数列的性质：引导学生发现等比数列的规律，总结等比数列的性质。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知的数列性质，推导出通项公式。
4. 讲解等比数列的求和公式：结合通项公式，讲解等比数列的求和公式。
5. 运用通项公式解决实际问题：选取典型例题，讲解等比数列通项公式的应用。
6. 课堂练习：布置适量习题，巩固所学知识。
7. 总结与反思：引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
8. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
9. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对等比数列知识的掌握程度。
10. 教学反思：总结本节课的教学效果，针对存在的问题，调整教学策略。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生深刻理解等比数列的概念和性质。
2. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问引导学生思考，增强课堂的互动性。
高中数学选择性必修二 4 3 1(第2课时)等比数列的性质及应用 教案
重点
等比数列的性质、等比数列的应用
难点
等比数列的运算、等比数列的性质及应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新
等比数列
等差数列
定义
公比（公差）
q不可以是0
d可以是0
等比（差）中项
等比中项
等差中项 2A=a+b
等比数列的性质及应用教学设计
课题
等比数列的性质及应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
分析：复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和 构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ，则 是等比数列，
首项 ，
公比q=1+0.400%，所以
所以，
12个月后的利息为 （元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列 ，则 也是一个等比数列，首项 ，公比为1+r，于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元.
解不等式 ，得
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5已知数列Байду номын сангаас的首项 .
数学教案：探索等比数列的性质和应用
数学教案：探索等比数列的性质和应用一、引言：等比数列在数学中的重要性和应用实际意义等比数列是数学中的重要概念之一，它在解决许多实际问题时发挥着关键作用。
本教案旨在帮助学生探索等比数列的性质和应用，培养他们对数学思维的发展和解决问题的能力。
通过深入理解等比数列的定义、性质和模式，我们将进一步巩固基础知识，并扩展应用场景。
二、了解等比数列：定义、常见形式和例题分析1. 等比数列的定义：等比数列指的是一个序列，在这个序列中，每一个数字都是前一个数字乘以相同的非零常数所得到的。
换句话说，如果我们把这个常数称为公比，那么在等比数列中任何两个连续项之间都有着相同的乘积关系。
2. 常见形式：通常以$a$作为第一项，在等比数列中第$n$项可以表示为$a \cdot r^{(n-1)}$，其中$r$代表公比。
3. 例题分析：- 已知一个等差数列前五项依次为2, 6, 18, 54, 162，求公比$r$和第十项。
- 解：我们可以观察到每一项都是前一项乘以3的关系。
通过列写方程$a_n = a \cdot r^{(n-1)}$，我们可以得到关于公比$r$的方程 2 = $a \cdot r^{(5-1)}$ 和 6 =$a \cdot r^{(10-1)}$。
通过解这两个方程组，可以求得公比$r=3$和第十项$a_{10}=1458$。
三、等比数列的性质及证明1. 等比数列的常见性质：- 第$n$项$a_n = a \cdot r^{(n-1)}$- 前$n$项和$S_n = a \times \frac{{r^n-1}}{{r-1}}$- 等差数列的乘积等于首尾两项之差的平方减一，即$a_m\cdota_n=a_{m+n}\cdot a_{m-n}-1$2. 性质证明示例：- 证明前$n$项和公式：要证明等比数列前$n$项和的公式，我们可以采用归纳法进行推导。
首先验证对于$n=1$时结论成立，然后假设对于任意$k<n$结论也成立。
等比数列性质教学教案
等比数列性质教学教案一、教学目标：1. 理解等比数列的概念。
2. 掌握等比数列的性质。
3. 学会运用等比数列的性质解决问题。
二、教学内容：1. 等比数列的概念。
2. 等比数列的性质。
3. 等比数列的通项公式。
4. 等比数列的前n项和公式。
5. 等比数列的应用。
三、教学重点：1. 等比数列的概念及性质。
2. 等比数列的通项公式和前n项和公式。
四、教学难点：1. 等比数列的性质的理解和应用。
2. 等比数列的通项公式和前n项和公式的推导。
五、教学方法：1. 讲授法：讲解等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式。
2. 案例分析法：分析等比数列的应用实例。
3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。
六、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考等比数列的概念。
2. 讲解：讲解等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式。
3. 案例分析：分析等比数列的应用实例，让学生理解等比数列的实际意义。
4. 练习：让学生通过练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列的性质和应用。
七、课后作业：1. 等比数列的概念和性质的复习。
2. 等比数列的通项公式和前n项和公式的应用。
八、教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。
2. 学生对等比数列的概念和性质的理解程度。
3. 学生对等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握程度。
九、教学反思：在课后，教师应反思本节课的教学效果，是否达到了教学目标，学生是否掌握了等比数列的概念和性质，以及教学过程中是否存在需要改进的地方。
十、教学拓展：1. 等比数列在实际生活中的应用。
2. 等比数列与其他数列的关系。
3. 等比数列的进一步研究。
六、教学策略：1. 采用互动式教学，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的思维能力。
2. 通过数学软件或教具展示等比数列的性质，增强学生的直观理解。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在练习中不断深化对等比数列性质的理解。
七、教学准备：1. 准备等比数列的相关教学素材，如PPT、教学案例、练习题等。
等比数列的性质与应用教学备课
等比数列的性质与应用教学备课一、引言在数学中，数列是一个非常重要的概念，而等比数列是其中一种特殊的数列。
等比数列具有独特的性质和广泛的应用，因此在教学中备课时，我们需要全面了解等比数列的性质，并掌握其应用方法。
本文将针对等比数列的性质和应用进行教学备课。
二、等比数列的定义与性质1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中任意两项的比例都相等的数列。
如果一个数列的任意两项之间的比例都相等，那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示首项，q表示公比。
3. 等比数列的公比和首项的关系：公比q是等比数列中任意两项之间的比值，即q = an / a(n-1) =a(n+1) / an-1。
通过公式的转换，我们可以得到公比和首项之间的关系：q = (an)^(1/n)。
4. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
三、等比数列的教学应用1. 等比数列在几何图形中的应用：等比数列可以用于描述几何图形中的一些特殊性质。
例如，在正多边形中，每条边的长度可以构成一个等比数列。
在绘制正多边形的过程中，学生可以通过等比数列的概念，计算出每一条边的长度，从而完成几何图形的绘制。
2. 等比数列在利润计算中的应用：在经济学中，等比数列可以用于计算利润的增长情况。
假设某公司的利润年增长率为10%，那么每年的利润可以构成一个等比数列。
通过利用等比数列的性质，我们可以根据首年的利润和公比，计算出未来多年的利润情况，为企业的发展提供参考依据。
3. 等比数列在科学实验中的应用：在科学实验中，等比数列可以用于描述某种物质的增长或变化规律。
例如，在细胞分裂的过程中，每次分裂细胞的数量可以构成一个等比数列。
通过等比数列的性质，我们可以计算出每一次分裂后细胞的数量，从而推断出整个分裂过程的变化趋势。
等比数列教案
等比数列教案一、教学目标1.理解等比数列的概念和性质；2.掌握等比数列的通项公式和求和公式；3.能够应用等比数列解决实际问题。
二、教学重点1.等比数列的概念和性质；2.等比数列的通项公式和求和公式。
三、教学难点1.等比数列的求和公式的推导；2.应用等比数列解决实际问题。
四、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式引入等比数列的概念，例如：“小明在银行存款，每年利率为5%，如果他连续存5年，每年的利息都加到本金里，最后一共有多少钱？”通过这个问题，引导学生思考连续增长的情况，从而引出等比数列的概念。
2. 概念讲解等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
这个常数称为公比，通常用字母q表示。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
3. 性质讲解等比数列有以下性质：1.任意一项与它的前一项的比值都相等，即an/an-1=q；2.任意一项与它的后一项的比值都相等，即an/an+1=q；3.等比数列的前n项和为a1(1-qn)/(1-q)。
4. 公式推导4.1 通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an=a1qn-1这个公式可以通过数学归纳法证明。
4.2 求和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则有：Sn=a1(1-qn)/(1-q)这个公式可以通过以下方法推导：设Sn=a1+a2+…+an，则有：qSn=a1q+a2q+…+anq两式相减得：Sn-qSn=a1(1-qn)-an+1因为an+1=a1qn，所以有：Sn(1-q)=a1(1-qn)即：Sn=a1(1-qn)/(1-q)5. 应用实例教师可以通过一些实际问题，如利息计算、人口增长等，引导学生应用等比数列解决问题。
五、教学总结通过本节课的学习，学生应该掌握等比数列的概念和性质，能够使用等比数列的通项公式和求和公式解决实际问题。
同时，教师应该引导学生思考，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
等比数列性质教学教案
等比数列性质教学教案第一章：等比数列的定义与性质1.1 等比数列的定义引导学生回顾数列的概念，引入等比数列的定义。
通过示例，让学生理解等比数列的特点，即相邻两项的比值相等。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的通项公式，引导学生理解通项公式的推导过程。
引导学生理解等比数列的求和公式，并通过示例进行解释。
第二章：等比数列的求和2.1 等比数列的前n项和公式引导学生推导等比数列的前n项和公式。
通过示例，让学生理解前n项和公式的应用，并能够熟练运用。
2.2 等比数列的求和性质引导学生探讨等比数列的求和性质，例如：等比数列的求和与项数的关系，等比数列的求和与首项和公比的关系等。
第三章：等比数列的图像与性质3.1 等比数列的图像引导学生绘制等比数列的图像，并理解图像的特点。
引导学生通过图像分析等比数列的性质，例如：增长速度，收敛性等。
3.2 等比数列的性质与应用引导学生探讨等比数列的性质，例如：等比数列的单调性，有界性等。
引导学生运用等比数列的性质解决实际问题，例如：人口增长模型，利息计算等。
第四章：等比数列的扩展4.1 等比数列的推广引导学生思考等比数列的推广，例如：等比数列的变体，广义等比数列等。
引导学生理解广义等比数列的性质与应用。
4.2 等比数列与其他数列的关系引导学生探讨等比数列与其他数列的关系，例如：等差数列与等比数列的关系，斐波那契数列与等比数列的关系等。
第五章：等比数列的综合应用5.1 等比数列在数学中的应用引导学生探讨等比数列在数学中的应用，例如：数论中的等比数列，图论中的等比数列等。
引导学生通过解决数学问题，加深对等比数列的理解。
5.2 等比数列在其他学科中的应用引导学生探讨等比数列在其他学科中的应用，例如：物理学中的等比数列，经济学中的等比数列等。
引导学生通过解决实际问题，理解等比数列的实际意义。
第六章：等比数列的练习题解析6.1 基础练习题解析选取一些基础的等比数列练习题，引导学生运用所学的知识进行解答。
高中数学等比数列教案
高中数学等比数列教案
一、教学目标：
1. 掌握等比数列的定义及判断方法；
2. 掌握等比数列的通项公式及前 n 项和公式；
3. 能够灵活应用等比数列解决实际问题。
二、教学重点：
1. 等比数列的定义及判断方法；
2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式。
三、教学难点：
1. 灵活运用等比数列解决复杂问题；
2. 培养学生数学思维和逻辑推理能力。
四、教学内容：
1. 等比数列的定义及性质；
2. 等比数列通项公式及前 n 项和公式的推导；
3. 等比数列的应用实例。
五、教学过程：
1. 引入：通过生活中的实例引入等比数列的概念，让学生了解等比数列的特点和应用场景。
2. 学习等比数列的性质和判断方法，让学生能够判断一个数列是否为等比数列。
3. 学习等比数列的通项公式及前 n 项和公式的推导，让学生掌握这两个公式的用法和计算
方法。
4. 练习与巩固：让学生通过练习题巩固所学知识，培养他们的解题能力和推理思维。
5. 应用实例：通过一些实际问题，让学生运用等比数列解决实际问题，培养他们的数学建
模能力。
六、作业布置：
1. 课后练习：布置一些等比数列相关的习题，巩固学生所学知识。
2. 探究性问题：布置一些拓展性问题，让学生能够进一步应用所学知识解决问题。
七、课堂反馈：
1. 通过课堂讨论和作业批改，及时纠正学生的错误，加深他们对等比数列的理解和掌握。
八、教学总结：
1. 总结本节课所学知识，梳理等比数列的性质和应用场景，巩固学生的学习成果。
2. 展望下一节课内容，引导学生进行自主学习和提前预习。
等比数列的性质及应用教案.
等比数列的性质及应用教案.一、教学目标:1.知识与技能:理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。
2.过程与方法:通过观察、类比、猜测等推理方法,提高我们分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。
3.情感态度价值观:体会类比在研究新事物中的作用,了解知识间存在的共同规律。
二、重点:等比数列的性质及其应用。
难点:等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们,我们已经学习了等差数列,又学习了等比数列的基础知识,今天我们继续学习等比数列的性质及应用。
我给大家发了导学稿,让大家做了预习,现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。
数列名称等差数列等比数列定义一个数列,若从第二项起每一项减去前一项之差都是同一个常数,则这个数列是等差数列。
一个数列,若从第二项起每一项与前一项之比都是同一个非零常数,则这个数列是等比数列。
定义表达式 an-an-1=d (n≥2(q≠0通项公式证明过程及方法an-an-1=d; an-1-an-2=d,…a2-a1=dan-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1dan=a1+(n-1*d累加法; …….an=a1q n-1累乘法通项公式 an=a1+(n-1*d an=a1q n-1多媒体投影(总结规律数列名称等差数列等比数列定义等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义表达式 an-an-1=d (n≥2通项公式证明迭加法迭乘法通项公式加-乘乘—乘方通过观察,同学们发现:等差数列中的减法、加法、乘法,等比数列中升级为除法、乘法、乘方.四、探究活动。
探究活动1:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。
练习1 在等差数列{an}中,a2= -2,d=2,求a4=_____..(用一个公式计算解:a4=a2+(n-2d=-2+(4-2*2=2等差数列的性质1: 在等差数列{an}中, a n=am+(n-md.猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m性质证明右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边应用在等比数列{an}中,a2= -2 ,q=2,求a4=_____. 解:a4= a2q4-2=-2*22=-8探究活动2:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。
等比数列性质课程设计
等比数列性质课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握等比数列的定义及通项公式。
2. 学生能运用等比数列的性质解决相关问题，如求和、求项等。
3. 学生能了解等比数列在实际问题中的应用，如人口增长、复利计算等。
技能目标：1. 学生能通过观察、分析等比数列的规律，培养逻辑思维和抽象思维能力。
2. 学生能运用等比数列的性质，解决具有一定难度的数学问题，提高解题能力。
3. 学生能运用等比数列知识，解决实际问题，培养数学应用能力。
情感态度价值观目标：1. 学生在学习等比数列的过程中，培养对数学的兴趣和热情，增强自信心。
2. 学生通过合作交流，培养团队精神和沟通能力，形成积极向上的学习态度。
3. 学生认识到数学与现实生活的联系，体会数学的价值，树立正确的价值观。
课程性质：本课程为数学学科课程，以等比数列性质为主要内容，注重知识掌握与实际应用。
学生特点：学生处于高中年级，具备一定的数学基础，逻辑思维能力逐渐成熟，但需加强抽象思维和数学应用能力的培养。
教学要求：教师应结合学生特点，运用多样化教学手段，激发学生学习兴趣，注重培养数学思维和实际应用能力。
在教学过程中，将课程目标分解为具体学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 等比数列的定义及基本性质- 等比数列的概念- 等比数列的通项公式- 等比数列的公比及其对数列的影响2. 等比数列的运算- 等比数列的求和公式- 等比数列的乘法法则- 等比数列的除法法则3. 等比数列的应用- 实际问题中的等比数列模型- 人口增长与衰减问题- 复利计算问题4. 等比数列的性质证明- 等比数列通项公式的推导- 等比数列求和公式的推导- 等比数列性质的证明方法5. 综合练习与拓展- 各类等比数列问题的解题方法与技巧- 等比数列与其他数列的结合问题- 等比数列在实际问题中的拓展应用教学大纲安排：第一课时：等比数列的定义及基本性质第二课时：等比数列的运算第三课时：等比数列的应用第四课时：等比数列的性质证明第五课时：综合练习与拓展教学内容进度：第一周：1、2课时第二周：3、4课时第三周：5课时三、教学方法为了提高等比数列性质课程的教学效果，充分激发学生的学习兴趣和主动性，本课程将采用以下多样化的教学方法：1. 讲授法：- 对于等比数列的基本概念、性质、公式等理论知识，采用讲授法进行教学，使学生明确知识点，为后续学习打下基础。
2025届高考数学一轮复习教案：数列-等比数列
第三节等比数列课程标准1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.考情分析考点考法:高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等比数列的有关概念定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列通项公式设{a n}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式a n=a1q n-1.推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab【微点拨】(1)等比数列中不含有0项;(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的前n项和公式【微点拨】在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n=1·q n,而y=1·q x(q≠1)是一个不为0的常数1与指数函数q x的乘积,从图象上看,表示数列1·q n中的各项的点是函数y=1·q x的图象上孤立的点.4.等比数列的性质(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.特别地,若m+n=2p,则a m·a n=2.(2)若等比数列前n项和为S n,则S m,S2m-S m,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).(3)数列{a n}是等比数列,则数列{pa n}(p≠0,p是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{a n}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n,a n+k,a n+2k,a n+3k,…为等比数列,公比为q k.(5)等比数列{a n}的单调性:当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{a n}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{a n}是递减数列;当q=1时,数列{a n}是常数列.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.满足a n+1=qa n(n∈N*,q为常数)的数列{a n}为等比数列B.三个数a,b,c成等比数列的必要不充分条件是b2=acC.数列{a n}的通项公式是a n=a n,则其前n项和为S n=(1-)1-D.如果数列{a n}为正项等比数列,则数列{ln a n}是等差数列【解析】选BD.A中q不能为0;B中当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列;C 中a=1时不成立;D中,a n>0,设a n=a1q n-1,则ln a n=ln a1+(n-1)ln q,{ln a n}是等差数列.2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=()A.32B.-48C.16D.-48或16【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{a n}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=32(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.4.(2023·全国乙卷)已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.【解析】设{a n}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然a n≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.因为a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,则q15=(5)3=-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.答案:-2【巧记结论·速算】1.若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n}(λ≠0),{1},{2},{a n·b n数列.2.当{a n}是等比数列且q≠1时,S n=11--11-·q n=A-A·q n.【即时练】1.设n∈N*,则“数列{a n}为等比数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.充分性:若数列为等比数列,公比为q,为公比为12的等比数列,充分性成立;必要性:,公比为q,则-1=±所以数列不是等比数列,必要性不成立.2.已知数列{a n}的前n项和S n=22n+1+a,若此数列为等比数列,则a=________.【解析】因为数列的前n项和S n=22n+1+a=2×4n+a,所以a=-2.答案:-2【核心考点·分类突破】考点一等比数列基本量的计算[例1](1)(一题多法)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.方法一:设等比数列{a n}的公比为q,则由5-3=14-12=12,6-4=15-13=24,解得1=1,=2,所以S n=1(1-)1-=2n-1,a n=a1q n-1=2n-1,所以=2-12-1=2-21-n.方法二:设等比数列{a n}的公比为q,因为6-45-3=4(1-2)3(1-2)=43=2412=2,所以q=2,所以=1(1-)1-1-1=2-12-1=2-21-n.(2)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3a11=232,且S8+S24=mS16,则m=()A.-4B.4C.-83D.83【解析】选D.因为a3a11=232,且a n≠0,所以a11=2a3即a1q10=2a1q2,解得q8=2或q=0(舍去),因为S 8+S 24=mS 16,所以1(1-8)1-+1(1-24)1-=m ·1(1-16)1-,又因为q 8=2,a 1≠0,所以-8=-3m ,解得m =83.【解题技法】等比数列基本量的计算(1)等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解;(2)注意观察条件转化式的特点,尽量采用整体消元、代入的方法简化运算,如两式相除就是等比数列中常用的运算技巧.【对点训练】1.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=()A .16B .8C .4D .2【解析】选C .设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,则1+1+12+13=15,14=312+41,解得1=1=2,所以a 3=a1q 2=4.2.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,5项和为()A .158或5B .3116或5C .3116D .158【解析】选C .若q =1,则由9S 3=S 6,得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6,得9×1(1-3)1-=1(1-6)1-,解得q =2.故a n =a 1q n-1=2n -1,1=(12)n -1.1为首项,以12为公比的等比数列,所以5项和为T 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.【加练备选】设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=()A.32B.12C.23D.2【解析】选A.因为在等比数列中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),所以a2(q+q2)=3a2(q2-1),又a2≠0,所以q+q2=3(q2-1),即2q2-q-3=0,又q>0,所以q=32.考点二等比数列的判定与证明[例2]已知数列{a n}中,a1=1且2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),(1)求证:数列+;(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),所以a n+1=3a n+n-12,所以r1+r12+2=3+-12+r12+2=3+32+2=3,因为a1+12=1+12=32,所以数列+2是首项为32,公比为3的等比数列.(2)由(1)得,a n+2=32×3n-1=12×3n,所以a n=12×3n-2.【解题技法】等比数列的判定方法定义法若a n+1a n=q(q为非零常数,n∈N*)或-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{a n}是等比数列等比中项法若数列{a n}中,a n≠0且r12=a n·+2(n∈N*),则{a n}是等比数列【对点训练】数列{a n}中,a1=2,a n+1=r12a n(n∈N*).证明数列{}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式.【解析】由题设得r1r1=12·,又11=2,所以数列{}是首项为2,公比为12的等比数列,所以=2×(12)n-1=22-n,a n=n·22-n=42.【加练备选】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+54}是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故数列的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54.所以数列是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)数列的前n 项和S n =54(1-2)1-2=5·2n -2-54,即S n +54=5·2n -2,所以S 1+54=52,r1+54+54=5·2-15·2-2=2.因此{S n +54}是以52为首项,以2为公比的等比数列.考点三等比数列性质的应用【考情提示】等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.角度1等比数列项的性质[例3]已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为S n ,a 2a 4=9,9S 4=10S 2,则a 2+a 4的值为()A .30B .10C .9D .6【解析】选B .已知为各项均为正数的等比数列,则a n >0,可得a 1>0,q >0,因为32=a 2a 4=9,所以a 3=3,又因为9S 4=10S 2,则9(a 1+a 2+a 3+a 4)=10(a 1+a 2),可得9(a 3+a 4)=a 1+a 2,所以3+41+2=q 2=19,解得q =13,故a 2+a 4=3+a 3q =10.角度2等比数列前n 项和的性质[例4]已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8=(4+5)24=S4+254+10≥2当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.角度3等比数列的单调性[例5]已知{a n}是等比数列,a1>0,前n项和为S n,则“2S8<S7+S9”是“{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为数列是等比数列,a1>0,2S8<S7+S9,所以a8<a9,所以q7<q8,所以q7(q-1)>0,所以q<0或q>1,所以2S8<S7+S9的充要条件为q<0或q>1.又a1>0,数列为递增数列的充要条件为q>1,所以“2S8<S7+S9”是“为递增数列”的必要不充分条件.【解题技法】1.应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关S m,S2m,S3m的问题可利用S m,S2m-S m,S3m-S2m(S m≠0)成等比数列求解.2.等比数列的单调性的应用方法研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.【对点训练】1.设单调递增的等比数列{a n}满足12+14=1336,a1a5=36,则公比q=()A.32B.94C.2D.52【解析】选A.因为数列{a n}为等比数列,所以a1a5=a2a4=36,所以12+14=2+424=2+436=1336,则a2+a4=13,又数列{a n}单调递增,所以q>1,解得a2=4,a4=9,则q2=94,因为q>1,所以q=32.2.设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n,若-a1<a2<a1,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.数列{S n}有最大项D.数列{S n}有最小项【解析】选D.由-a1<a2<a1可得a1>0,所以q=21<1,因为-a1<a2得q=21>-1,所以-1<q<1,因为S n=1(1-)1-,当0<q<1时,{S n}递增,当-1<q<0时,{S n}既有递增又有递减,A,B错误;当0<q<1时,S n有最小项S1,没有最大项,当-1<q<0时,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0且a3+a4>0,S n有最小项S2,没有最大项,C错误,D 正确.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a n>0,S3=5,a7+a8+a9=20,则S15=________.【解析】由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12是等比数列,由条件可知S3=5,S9-S6=20,则此等比数列的公比q2=205=4,又a n>0,所以q=2,S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12),所以S15=5(1-25)1-2=155.答案:155。
等比数列教案
等比数列教案一、教学目标：1. 了解等比数列的定义、性质和运算规律；2. 能够根据等比数列的首项和公比求出任意一项的值；3. 能够判断一个数列是否为等比数列，并求出它的首项和公比；4. 能够应用等比数列解决实际问题。
二、教学重点：1. 理解等比数列的定义和性质；2. 掌握等比数列的运算规律；3. 判断一个数列是否为等比数列，并求出它的首项和公比。
三、教学难点：1. 应用等比数列解决实际问题；2. 掌握等比数列的运算规律。
四、教学准备：1. 教师准备教学课件；2. 学生准备课本、笔记本等教学工具。
五、教学过程：1. 导入新知：提问学生是否了解数列的概念，并询问有哪些种类的数列。
引入等比数列的概念，并与等差数列进行对比，让学生体会两者的区别。
2. 等比数列的定义和性质：a. 引导学生独立思考，定义等比数列：若一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的比值都相等，则称这个数列为等比数列。
b. 探究等比数列的性质：等比数列中，任意一项与它前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
公比只与首项和公共比率有关，与项数无关。
c. 给出等比数列的通项公式：第n项的值可表示为$a_n = a_1\\cdot q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。
3. 等比数列的运算规律：a. 计算等比数列中任意一项的值：通过已知的首项和公比，使用通项公式计算任意一项的值。
b. 求等比数列的前n项和：将等比数列的前n项进行求和，得到等比数列前n项和的公式为$S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}$。
4. 判断一个数列是否为等比数列：a. 检查相邻两项的比值是否相等，若相等则为等比数列；若不等，则不是等比数列。
b. 若为等比数列，计算出它的首项和公比。
5. 应用等比数列解决实际问题：a. 引导学生思考并解决一些实际问题，如利用等比数列计算存款利息、人口增长等问题。
b. 分组讨论，互相交流解决问题的方法和答案。
4.1.2等比性质教案
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“4.1.2等比性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过类似银行利息递增、细胞分裂这样的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等比数列的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对等比数列的概念和性质的理解普遍较好，大多数同学能够快速掌握等比数列的通项公式和求和公式。但在实际应用方面，部分学生还是显得有些吃力。我觉得这可能是因为我们在教学过程中，对实际案例的分析和讲解还不够充分，导致学生们在遇到实际问题时，不知道如何运用所学知识去解决。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过讨论和实验操作，加深了对等比数列的理解。但同时我也发现，部分学生在讨论过程中过于依赖同学，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在接下来的教学中，鼓励学生们独立思考，培养他们解决问题的能力。
此外，我还注意到，在课堂总结环节，有些学生对等比数列的应用仍然存在疑问。为了帮助他们更好地消化和吸收所学知识，我计划在课后加强个别辅导，针对学生的疑问进行有针对性的解答。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用等比数列的定义和性质进行推理；
2.提升学生的数学建模能力，通过等比数列的通项公式和求和公式的推导与应用，解决实际问题；
3.培养学生的数据分析能力，让学生能够从实际问题中抽象出等比数列模型，并进行求解；
4.增强学生的数学运算能力，熟练掌握等比数列的计算方法和技巧；
4.1.2等比性质教案
一、教学内容
高一数学《等比数列的性质及应用》教案优秀3篇
高一数学《等比数列的性质及应用》教案优秀3篇教学过程篇一一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准。
（幻灯片）①－2，1，4，7，10，13，16，19，…②8，16，32，64，128，256，…③1，1，1，1，1，1，1，…④243，81，27，9，3，1，，，…⑤31，29，27，25，23，21，19，…⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…⑧0，0，0，0，0，0，0，…由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）。
二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题。
假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的'共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列。
（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）等比数列（板书）1、等比数列的定义（板书）根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义。
学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的。
教师写出等比数列的定义，标注出重点词语。
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列。
学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例。
而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列。
等比数列性质教学教案
等比数列性质教学教案第一章：等比数列的定义1.1 等比数列的概念引导学生回顾数列的定义，即按照一定顺序排列的一列数。
引入等比数列的概念，即从第二项起，每一项都是前一项与一个常数（比）的乘积。
1.2 等比数列的表示方法介绍等比数列的通项公式：\(a_n = a_1 \times r^{(n-1)}\)，其中\(a_n\)表示第n项，\(a_1\)表示首项，\(r\)表示公比。
讲解等比数列的列表和项的表示方法。
第二章：等比数列的性质2.1 等比数列的性质引导学生探究等比数列的性质，如相邻项的比相等，任意项可以表示为首项和公比的幂次关系等。
2.2 等比数列的求和公式推导等比数列的前n项和公式：\(S_n = a_1 \times \frac{1-r^n}{1-r}\)，其中\(S_n\)表示前n项和。
解释公式的含义和应用，举例说明如何使用求和公式计算等比数列的前n项和。
第三章：等比数列的通项公式应用3.1 等比数列的通项公式的应用引导学生思考如何利用通项公式解决实际问题，如计算等比数列中特定项的值。
举例讲解如何使用通项公式计算等比数列中特定项的值。
3.2 等比数列的性质的应用引导学生思考如何利用等比数列的性质解决实际问题，如判断数列是否为等比数列。
举例讲解如何使用等比数列的性质判断数列是否为等比数列。
第四章：等比数列的求和公式的应用4.1 等比数列的求和公式的应用引导学生思考如何利用求和公式解决实际问题，如计算等比数列的前n项和。
举例讲解如何使用求和公式计算等比数列的前n项和。
4.2 等比数列的性质的应用引导学生思考如何利用等比数列的性质解决实际问题，如判断数列是否为等比数列。
举例讲解如何使用等比数列的性质判断数列是否为等比数列。
第五章：等比数列的综合应用5.1 等比数列在实际问题中的应用引导学生思考如何将等比数列应用于实际问题，如计算利息、增长等问题。
举例讲解如何使用等比数列解决实际问题。
5.2 等比数列的综合练习提供一些综合性的练习题，让学生练习等比数列的性质、通项公式和求和公式的应用。
等比数列教学设计教案
等比数列教学设计教案一、教学目标1.了解等比数列的定义和基本性质；2.掌握通项公式和求和公式的推导和应用；3.能够应用等比数列的知识解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，激发数学兴趣。
二、教学内容第一部分：引入1.通过生活中的例子，引出等比数列的概念；2.学生回顾等差数列的知识，引导学生思考等比数列和等差数列的关系。
第二部分：概念介绍2.引导学生掌握等比数列的特点和基本性质。
第三部分：公式推导2.案例分析和练习巩固应用。
第四部分：应用举例1.引导学生联系实际应用，掌握等比数列的应用方法；2.案例分析和练习，加深对等比数列的理解。
第五部分：课堂互动与思考1.对学生提出的问题进行回答；2.鼓励学生思考和探究，促进课堂交流和合作。
第六部分：练习与巩固1.课后布置相关练习和作业；2.课堂检查和解答，帮助学生解决疑惑和困惑。
三、教学方法1.讲解和演示相结合的教学方法；3.课堂互动和思考，激发学生的数学兴趣和探究欲望。
四、教学手段1.多媒体课件和投影仪；2.教师板书和讲解；3.教学案例和练习题集。
五、评价方法1.课堂表现评价；2.小组合作评价；3.作业和考试评价。
六、教学流程1.讲解等比数列的概念和定义，引导学生理解等比数列的特点和基本性质，如“公比为正数时，数列单调递增或单调递减”。
2.通过练习让学生自己验证等比数列的性质，如“判断数列a1=2，a2=4，a3=8，a4=16是否为等比数列，确定其公比”。
1.讲解等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，引导学生掌握公式的使用方法和推导思路；2.通过练习和实例，让学生巩固公式的应用，如“已知数列和为105，公比为2，求数列的首项和项数”。
2.通过案例分析和练习，加深学生对等比数列的理解，如“某校人数为800人，每年增长20%，问6年后该校有多少学生”。
1.布置相关练习和作业，要求认真分析问题和思考解题方法；七、教学时数2课时八、课后作业2.根据所学知识，思考并回答生活中的一些问题。
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等比数列的性质教案
等比数列的性质教案一、知识目标：1.了解等比数列的定义。
2.掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。
3.了解等比数列各项之间的比值相等的性质。
二、能力目标：1.能够利用通项公式求出等比数列中任意一项的值。
3.能够应用等比数列的性质解决实际问题。
三、情感目标：1.培养学生对等比数列的兴趣，并提升其数学学科素养。
2.培养学生独立思考和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的积极性和自信心。
四、教学过程：1.导入通过一组数据，引出等比数列的定义。
举例：小明的家庭一代一代的传下来的达官贵族收藏有古玩，第一代收藏了1件，第二代收藏了2个，第三代收藏了4个，第四代收藏了8个，第五代收藏了16件，…… ，请问，第六代需要收藏几件？（可能会有学生说第6代应该是32件，然而验算后能发现第6代应该是16 x 2 = 32件或者8 x 4=32件。
）引出等比数列的概念：如果一个数列中任意一项除以前一项均等于同一常数，那么这个数列就是等比数列。
如此例中的古玩数量就是一个等比数列。
2.讲授由定义可知，一个等比数列的性质是：任意两项之间的比都相等。
不难得出一个等比数列的第n项通项公式为：an = a1 x q^(n-1)其中，a1为首项，q为公比，n为项数。
3.练习1）.求等比数列 0.4，1.6，6.4，…… 的通项公式。
解：由题意得q = 1.6 / 0.4 = 4，a1 = 0.4，则有an = a1 x q^(n-1) = 0.4 x 4^(n-1)。
2）.已知一个等比数列的首项为40，公比为2，求这个数列前10项的和。
4、拓展应用1）.某人每月将其银行存款增加40万元，第一次存入100万元，这时它含有40万元的利息，第二次存入的时候也含有40万元的利息，依次类推。
设这个人一共存了n个月，问n为多少时，这个人银行存款首次大于500万元？求大于500万元意味着要求出前n项和Sn > 500万元。
由等比数列前n项和公式可知：Sn > 500万元1.4^n < 0.6n > log1.4 0.6 ≈ 6.18n = 7最后，提醒学生，如果我们要研究一个问题，尤其是数学问题，我们应该将问题中所涉及到的各个数之间的关系——即数学模型——考虑清楚后，再找到数学模型的解，这样才能得到正确的答案。
等比数列教案（精选7篇）
等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。
那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。
等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。
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一、教学目标:1.知识与技能:理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。
2.过程与方法:通过观察、类比、猜测等推理方法,提高我们分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。
3.情感态度价值观:体会类比在研究新事物中的作用,了解知识间存在的共同规律。
二、重点:等比数列的性质及其应用。
难点:等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们,我们已经学习了等差数列,又学习了等比数列的基础知识,今天我们继续学习等比数列的性质及应用。
我给大家发了导学稿,让大家做了预习,现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。
数列名称等差数列等比数列定义一个数列,若从第二项起每一项减去前一项之差都是同一个常数,则这个数列是等差数列。
一个数列,若从第二项起每一项与前一项之比都是同一个非零常数,则这个数列是等比数列。
定义表达式 an-an-1=d (n≥2(q≠0通项公式证明过程及方法an-an-1=d; an-1-an-2=d,…a2-a1=dan-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1dan=a1+(n-1*d累加法 ; …….an=a1q n-1累乘法通项公式 an=a1+(n-1*d an=a1q n-1多媒体投影(总结规律数列名称等差数列等比数列定义等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义表达式 an-an-1=d (n≥2通项公式证明迭加法迭乘法通项公式加-乘乘—乘方通过观察,同学们发现:? 等差数列中的减法、加法、乘法,等比数列中升级为除法、乘法、乘方.四、探究活动。
探究活动1:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。
练习 1 在等差数列{an}中,a2= -2,d=2,求a4=_____..(用一个公式计算解:a4= a2+(n-2d=-2+(4-2*2=2等差数列的性质1: 在等差数列{an}中, a n=am+(n-md.猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m性质证明右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边应用在等比数列{an}中,a2= -2 ,q=2,求a4=_____. 解:a4= a2q4-2=-2*22=-8探究活动2:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。
练习 2 在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值为.解:a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7+(a4+ a6+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90a2+a8=2×90=180等差数列的性质2: 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的,当m=n时,2 an=ap+aq猜想等比数列的性质 2 在等比数列{an} 中,若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的,当m=n 时,an2=ap*aq性质证明右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边证明的方向:一般来说,由繁到简应用在等比数列{an}若an&0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____.解:a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a52=36由于an&0,a3+a5&0,a3+a5=6探究活动3:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。
练习3 在等差数列{an}中,a30=10,a45=90,a60=_____. 解:a60=2* a45-a30=2×90-10=170等差数列的性质3: 若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项, 则这些项构成新的等差数列,且2an=an-k+an+kan即时an-k,an,an+k的等差中项猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项,则这些项构成新的等比数列,且an2=an-k*an+k>an即时an-k,an,an+k的等比中项性质证明右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1 2t=an2左边证明的方向:由繁到简应用在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.解:a60= = =810应用等比数列{an}中,a15=10, a45=90,a60=________. 解:a30= = = 30a60=探究活动4:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。
练习 4 设数列{an} 、{ bn} 都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____. 解:a5+b5=2(a3+b3-(a1+b1=2*21-7=35等差数列的性质4: 设数列{an} 、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列猜想等比数列的性质4 设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列,两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。
性质证明证明:设数列{an}的首项是a1,公比为q1; {bn}的首项为b1,公比为q2,设cn=an?bn那么数列{an?bn} 的第n项与第n+1项分别为:应用设数列{an} 、{ bn} 都是等比数列,若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____. 解:由题意可知{an?bn}是等比数列,a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。
由(a3b32= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63(四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位,以学生的自主学习,自主探究为主题,以教师的指导为辅,开展教学活动五、等比数列具有的单调性(1q<0,等比数列为摆动数列, 不具有单调性(2q&0(举例探讨并填表a1 a1&0 a1<0q的范围 0 q=1 q&1 0 q=1 q&1{an}的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减让学生举例说明,并查验有多少学生填对。
(真确评价六、课堂练习:1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于( .a. b.?7 c.?6 d.?解析:由已知得a32?=5,? a82=10,∴a4a5a6=a53?= = =5 ?.答案:a2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2= .答案:43、 +1与 -1两数的等比中项是( .a.1b.?-1c.?d.±1?解析:根据等比中项的定义式去求。
答案:选d4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ? ,a2=1,则a1等于( .a.2b.?c.?d.?解析:∵a3a9= =2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故a1= ?= ?= ?.答案:c5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数。
分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数为: 根据题意再由方程组可得:q=2 或既这三个数为2,4,8或8,4,2。
七、小结本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。
八、§3.1.2 等比数列的性质及应用性质一:若{an}是公比为 q 的等比数列,则 an=am*qn-m 性质二:在等比数列{sp; c.?6 d.? 解析:由已知得a32?=5,? a82=10, ∴a4a5a6=a53?= = =5 ?. 答案:a 2、已知数列 1,a1,a2,4 是等比数列,则 a1a2= . 答案:4 3、 +1 与 -1 两数的等比中项是( . a.1 b.?-1 c.?d.±1? 解析:根据等比中项的定义式去求。
答案:选 d 4、已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2 ? ,a2=1,则 a1 等于( . a.2 b.? c.? d.? 解析:∵a3a9==2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故 a1= ?= ?= ?. 答案:c 5 练习题:三个数成等比数列,它们的和等于 14, 它们的积等于 64,求这三个数。
分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为 a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数为: 根据题意再由方程组可得:q=2 或既这三个数为 2,4,8 或 8,4,2。
七、小结本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。
八、§3.1.2 等比数列的性质及应用性质一:若{an}是公比为 q 的等比数列,则 an=am*qn-m 性质二:在等比数列{。