材料力学四种基本变形要点

d FQ dx
q
=0
dM FQ dx
FQ图
d2 M q 2 dx
M图 或 或
q(x)
内力图 >0( ) <0( )
常 量
集中力作用点，剪力图上有突变，突变大小与方向， 恰与载荷 F 相当。弯矩图上有尖点。 集中力偶作用点，弯矩图上有突变，突变大小与方向， 恰与力偶 M 相关。剪力图上无变化。
wB=0
附录A
平面图形的几何性质
一、组合截面图形的形心
二、惯性矩、极惯性矩、惯性半径的计算
(圆形、矩形) (P275)
三、平行移轴公式
三、剪切和挤压 四、弯曲 剪力FQ和弯矩M
F Q 图 、 M图
剪力：对所取梁内任一点之矩顺时针转向为 “+” ； 反之为“ – ”。 弯矩：使梁产生上凹下凸变形为 “+” ；反之为“– ”。 FQ FQ为 + FQ FQ FQ
FQ为 –
M为 +
M为 –
求梁的剪力 FQ 和弯矩 M 大小的规律： q F1 M F2
例4 试绘外伸梁FQ、M图 。 F1 =2kN M=10kN•m q=1kN/m F2=2kN A FA 7kN 4m C 4m D 4m FB
FA =7kN FB =5kN FQC左=3kN FQC右=1kN B E FQB右= 2kN 3m FQB左= –3kN
FQ图 (+)
3kN (+) 1kN x G 20kN•m 20.5kN•m
(2)切应力主要由腹板承受(95~97%)，且tmax ≈ tmin
(3)若工字钢为型钢，则最大切应力 Iz FQSz*max tmax = ———— 查型钢表。 其中 ——— * Izb Sz max
圆截面
t max
4 FQ 4 t 3 A 3 FQ A 2t
薄壁圆环：
t max 2
3
实心圆截面 z pD Iz= —— 64 pD Wz= —— 32
3 4
hLeabharlann Baidu
bh Wz= —— 6
2
D
梁弯曲时横截面上的切应力计算公式
矩形截面
FQ h2 t = —— ( — − y2 ) 4 2 Iz 3FQ − tmax = —— = 1.5t 2A
t 方向：与横截面上剪力方向相同；
FQSz*max tmax = ———— Izb b
四种基本变形
一、轴向拉压
轴力FN、FN图 横截面上正应力
F
拉 “+ ” ；压 “━” FN s = —— A
s
正应变
e = ——
E
FNl Dl = —— EA
s
杆件伸长量
二、扭转 扭矩Mx 、 Mx图 T
P (kW) T 9549 n (r/min) (N· m)
T 右手螺旋法则:扭矩矢与截面外法线方向一致时为“+” ； 反之为 “ -” “+” Mx “━” Mx
弯曲变形(积分法)
w
M ( x) EI z
M ( x) dxC EI z
w q
w
M ( x) d x d x Cx D EI z
C、D为积分常数，由位移的边界与连续条件确定。
边界条件：
(1) 固定端约束 A B (2)铰支座
A
C
B
wA=0
qA=0
wA=0
y
t 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h 呈抛物线分布，最大
切应力为平均切应力的1.5 倍，位于中性轴上。
y
h
z
tmax
其它截面梁横截面上的切应力 最大切应力也是位于中性轴上。 工字型截面： FQ tmax ≈ —— A腹
tmin
tmax
(1)翼缘部分tmax<<腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
Mx Mx
横截面上切应力 Mx O Mx = —— Wp
t max
Mx
O
t max
π D4 t max Ip (1 4 ) 32 3 3 4 π D pD 4 pD W ( 1 ) p Ip= —— Wp= —— 16 16 32 单位长度扭转角： q = Mx /GIp Mx l 相对扭转角 j = —— GIp
A FA l C l D l FB B a
2
E
FQD左=FA –F1–2ql FQD右=FA –F1–2ql
MD左=2FAl –F1l–2ql 2 MD右=2FAl –F1l–2ql –M
(1)梁任一横截面上的剪力，其数值等于该横截面的任一侧 (左边或右边 )梁上所有外力在梁轴线垂线上投影的代数和。 (2)梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该横截面任一侧 (左边或右边)梁上所有外力对截面形心的力矩的代数和。
(–)
16kN•m (+)
6kN•m
6kN•m
2kN x=1m 3kN MC= 20kN•m MB= –6kN•m M图 MD右= 6kN•m MD左= 16kN•m MG= 20.5kN•m (–)
梁弯曲时横截面上的正应力计算公式 s = My / Iz M
smax= M / Wz
矩形截面 z b bh Iz= —— 12