统计学原理 第七章 抽样调查

x
2
n


2
n 1 n N


某地区有奶牛2500头，随机抽选400头进行 调查，得出每头奶牛年平均产奶量为3000公 斤，标准差为280公斤，求抽样平均误差。 用重复抽样公式计算为：
x 2
2802 14 （公斤） n 400

1．大数定律 在对客观事物及其现象进行观测和实验中，随着观测或实 验的次数增多，事件发生的频率和均值逐渐地趋于某个常数。
（1）贝努利定理（Bernoulli Theorem）
nA lim P PA 1 n n
贝努利定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件发生的 概率。从而以严格的数学形式表述了频率的稳定性特征，即 n当很大时，事件发生的频率与概率之间出现较大的偏差的 可能性很小。由此，在n充分大的场合，可以用事件发生的 频率来替代事件的概率。
(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
总体均值的区间估计
1.
假定条件

总体服从正态分布,方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2.
总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
重复抽样
x t
x t

s 或x t (未知) n n
N n s 或x t N 1 n N n (未知) N 1

在抽样总体分组的情况下：
xf x f
2）抽样成数
n1 p n
n0 q n
p q 1
3）样本数量标志标准差及方差

当抽样总体未分组时：
S
x x
n
2

当抽样总体分组时：
S
x x f
2
f
4）样本交替标志标准差及方差
S p1 p
，
S p1 p
三、 抽样极限误差

抽样极限误差，又称抽样允许误差。它 是表示样本指标与总体指标之间产生抽 样误差的最大可能范围，表现为样本指 标允许变动的上限或下限与总体指标之 差的绝对值，用 表示。
x x X
p p P
四、 抽样误差的概率度

抽样极限误差与抽样平均误差的比值， 叫做误差的概率度，用 t 表示

某进出口公司出口一种名茶，为检查其每包规格的 质量，现用重复抽样的方法抽取100包，检验结果如 表10-3： 表10-3 某公司茶叶质量抽样表
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1.
2.
将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平 表示为 (1 -

为是总体参数未在区间内的比例 相应的 为0.01，0.05，0.10
3.

某厂生产一批电视机共10000台，现从 中抽取300台进行质量检测，测得其合 格率为94%，试求其抽样平均误差。
p
p(1 p) 0.94 (1 0.94) 1.37% n 300
p
p(1 p) n 0.94 (1 0.94) 300 1 1 1.35% n 300 N 10000

1.全及指标 全及指标又称总体指标，是根据全及总 体各单位标志值计算的综合指标。 N 1）总体平均数 Xi X i 1 在总体未分组的情况下： X
N N

在总体分组的情况下：
X F XF X F F
i 1 k i i i 1 i
k
2）总体成数
第三节 抽样误差和抽样估计
一、参数估计的优良标准 (一)无偏性 指一个优良的估计量，其数学期望应等于被估计总体参 数的真值。 (二)有效性 指作为优良的估计量，其方差应比较小。这样才能保证 估计量的取值能集中在被估计的总体参数附近。 (三)一致性 指随着样本容量n 的增大，一个好的估计量将在概率意 义下愈来愈接近于所要估计的总体参数真值。




二、 抽样调查的作用




1.有些现象不可能进行全面调查，为了 测算全面资料，必须采用抽样调查的方 法 2.有些现象不必要或很难进行全面调查， 也要采用抽样调查 3.对全面调查资料进行检验和修正 4.可以用于工业生产过程的质量控制
三、 抽样估计的一般原理
1.大数定律 2.中心极限定理

0.15 x t 21.4 1.96 n 9 21.4 0.098 21.302,21.498

该批零件平均长度的置信区间在21.302cm~21.498cm之间
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】在某天生产的 500 袋食品中，按不重复抽样方法随机 抽取25袋进行检查，测得平均每袋的重量为996g。已知该种 袋装食品的重量服从正态分布，且标准差为 20g 。试估计该 种食品平均重量的置信区间，置信水平为95%。
中心极限定理
(central limit theorem)
2.中心极限定理：设从均值为 ，方差为 2的一个任意 总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的 抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
2.抽样调查的特点

1）按随机原则抽取调查单位 随机原则是指，排除人们主观意愿的干扰，使得 总体中每个单位都有同等被抽中的机会。 2）用部分单位（样本）的指标数值去推断和估计总 体的指标数值 抽样调查的中心问题是如何根据已知的（样本） 资料来推断未知的总体情况。 3）抽样调查必然会产生抽样误差，但这个误差是可 以事先计算并加以控制的 通过各种组织措施来控制抽样误差范围，保证抽 样推断的结果达到预定可靠程度的要求。
2
三、 重复抽样与不重复抽样

1.重复抽样 重复抽样也叫重置抽样，是从全及总体 中随机抽取一个样本单位，经调查登记 有关标志后将其放回到原总体中去，然 后再从总体中抽取第二个样本单位，记 录它的有关标志表现后，也把它放回到 总体中去，如此下去，直到抽够 n个样 本单位为止。
2.不重复抽样

不重复抽样也称为不重置抽样，是从全 及总体中按随机原则抽取一个样本单位， 观察记录其有关标志后，不再将它放回 到总体中去参加下一次抽选，而是从剩 N个单位中抽取第二个样本单 余的 －1 位。如此进行 次，就可以得到容量为 n n 的样本总体。

二、 抽样误差 1.抽样误差的概念 抽样误差，是指由于随机抽样引起的样 本结构不同于总体而产生的样本估计量 取值与总体参数之间的离差。即抽样平 均数与总体平均数之间的绝对离差 x X 和抽样成数与总体成数之间的绝对离 差 pP 。
2.抽样误差产生的原因
登记性误差
统 计 误 差 的 产 生 原 因
解：已知Ｘ~N(，202)，n=25, 1- = 95%，t=1.96 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
N n 20 996 1.96 n N 1 25 996 7.65 998.35,1003.65 x t

500 25 500 1
该种食品平均重量的置信区间为988.35g~1003.65g之间
（2）车比雪夫定理（Chebyshev
Theorem）
设随机变量相互独立，且具有相同的有限的数学期望和方 差，对于任意正整数有
1 n lim Px lim P X k 1 n n n k 1
，X n， 依概率收敛于总体均值。即当n充 称序列 X1，X 2， 分大时，车比雪夫不等式几乎都是成立的；当n趋于无穷大 时，n个随机变量的均值趋于总体均值。
P1 P
P(1 P)
2
2.抽样指标

抽样指标，又称样本指标，是根据抽样 总体计算的统计指标。和全及总体一样， 常用的抽样指标也有四种：抽样平均数、 抽样成数、样本数量标志标准差及方差， 样本交替标志标准差及方差。
1）抽样平均数

在抽样总体未分组的情况下：
x x n
第七章 抽样调查



第一节 抽样调查的概念和作用 第二节 抽样调查中的几个基本概念 第三节 抽样误差和抽样估计 第四节 抽样调查的组织形式 第五节 必要样本容量的确定和总量指标 的推算
第一节 抽样调查的概念和作用


一、 抽样调查的概念和特点 1.抽样调查的概念 抽样调查是一种非全面调查，是按照随 机原则从调查对象的总体中抽取部分单 位进行调查，并根据这部分单位的调查 结果推断总体的数量特征。
二、 抽样平均误差

1.抽样平均误差的概念 指所有可能样本估计值与所要估计参数离 差的平均数。一般用 x 或 p 表示。
x
x X
m i 1 i
2
m

x x
i 1 i
m
2
m
2.抽样平均误差的计算公式


1）样本平均数的抽 样平均误差 重复抽样条件下

用不重复抽样公式计算为：
x

2
2 n 280 400 1 （公斤） 1 12.83 n N 400 2500
2）成数的抽样平均误差

重复抽样条件下
p
P(1 P) n

不重复抽样的条件 下
p
P (1 P ) n 1 n N
x
X
第二节 抽样调查中的几个基本概念


一、 全及总体和抽样总体 1.全及总体 全及总体是指统计研究对象的全体，简称为 总体，也叫母体。 2.抽样总体 抽样总体是按照随机原则从全及总体中抽取 出来的一部分单位组成的小总体。抽样总体 也称样本总体，简称样本、子样。