粒子滤波推导

粒子滤波简介 本文只介绍基本粒子滤波的推导。 1、粒子滤波还是基于贝叶斯理论：
p( x / z )
p ( z / x) p ( x) 这个贝叶斯公式是贝叶斯滤波方法中精髓， 所有号称贝叶斯滤 p( z )
波的方法都是基于这个公式的。 2、粒子滤波基于蒙特卡洛方法 蒙特卡洛方法是一种计算机模拟方法，在粒子滤波中即用计算机模拟出真实的状态 分布，粒子在状态空间的分布与真实状态分布近似。 3、基于重要性采样 何为“重要性采样” ，importance sample。说白了，就是概率密度 p ( x) 你不好求， 用计算机来采样 p ( x) 这个概率密度得出样本 （粒子） 比较难以实现， 就退而求其次， 在 q( x) 上提取粒子样本，这个样本当然是服从 q ( x) 概率密度的了，这里有一个很直观的认识可以 帮助我们理解在 q ( x) 上的采样和直接在 p ( x) 上的采样的关系：设想，两个在[a,b]区间上的 概率密度函数 p ( x) 和 q ( x) ，c 为[a,b]中的一个数，那么在两者采样的样本中，理论上，c
i 1
N
对于建议分布 q 的选取，为了简化计算和防止粒子的退化，一般选取：
i i q( xt | x0: t 1 , z1:t ) p ( xt | xt 1 )
则 t t 1 p ( zt | xt ) 。
i i iBiblioteka Baidu
这个建议分布不是最佳的，但是确实最简单方便的，所以用得最多。
综上所述，粒子滤波的原理推导其实比较简单，基于序列蒙特卡洛方法和重要性采样原理， 当然还有最基础的贝叶斯原理和马尔科夫性。 这里没有介绍粒子滤波的重采样， 重采样其实 是对粒子集里的粒子根据 t 来进行重新洗牌，t 大的粒子出现次数增多，t 小的粒子出现
i p( zt | xti ) p( xti1 | xti1 ) p ( x0: p( zt | xti ) p( xti1 | xti1 ) i t 1 | z1:t 1 ) （3） t 1 i i q ( xti | xti1 , zt )q ( x0: q( xti | x0: t 1 | z1:t 1 ) t 1 , z1:t )
这里运用了贝叶斯公式和 markov 性质。
对于建议分布（proposal distribution） q ( x0:t | z1:t ) 有：
q ( x0:t | z1:t ) q( xt | x0:t 1 , z1:t ) p( x0:t 1 | z1:t 1 )
上述
（2）
p ( x) p( x) i i 可以用一个权重系数 t 来表示 t ，将（1）与（2）式相比得 q ( x) q( x)
i i i
次数减少，一种优胜劣汰的选择方法。这里粒子的选择不会引入新的粒子，但是有可能造成 粒子的重复出现和粒子的消失， 这样会造成粒子多样性的缺失， 在复杂的后验分布估计中造 成失真。具体的重采样方法不提及了。
ti
这里就得出了 t 得递推公式。
i
如果 q ( xt | x0:t 1 , z1:t ) = q ( xt | xt 1 , zt ) ，通过式 3 和建议分布的采样获得后验概率密度：
p ( x0:t | z1:t ) ti ( xt xti ) ，对于 N 足够大，这个分布近似于目的后验分布 p ( xt | z1:t ) 。
p( x0:t | z1:t )

p ( zt | x0:t | z1:t 1 ) p ( x0:t | z1:t 1 ) p( zt | z1:t 1 )
（1）
p( zt | x0:t | z1:t 1 ) p( xt | x0:t 1 | z1:t 1 ) p ( x0:t 1 | z1:t 1 ) p ( zt | z1:t 1 ) p( zt | xt ) p( xt | xt 1 ) p( x0:t 1 | z1:t 1 ) p( zt | xt ) p ( xt | xt 1 ) p( x0:t 1 | z1:t 1 ) p( zt | z1:t 1 )
的个数比
Np Nq
应该等于
p (c ) p ( x) 。这就是说对 q ( x) 的采样，只要经过 的比例变换，就能 q (c ) q ( x)
成为目的密度函数 p ( x) 的近似采样，从而模拟出 p ( x) 。 4、粒子滤波推导 粒子滤波和卡尔曼滤波一样是一种递归的滤波器，即此刻的滤波器系数可以由上一刻 滤波器的系数加上此刻的观测量来得出。 粒子滤波的目的是为了求后验密度函数 p ( x0:t | z1:t )