2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省六市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．124．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．185．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．2008．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．49．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．411．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x212．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{1，2，3}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，若为纯虚数，则，解得a＝，则z＝（2a+1）+i＝z＝2+i，则复数z＝（2a+1）+i的模为，故选：C．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．12【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×4+2＝10．即目标函数z＝2x+y的最大值为10．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5＝a1+a1+2d+a1+4d＝105，即a1+2d＝35，①a2+a4+a6＝a1+d+a1+3d+a1+5d＝99，即a1+3d＝33，②由①②联立得a1＝39，d＝﹣2，∴S n＝39n+×（﹣2）＝﹣n2+40n＝﹣（n﹣20）2+400，故当n＝20时，S n达到最大值400．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）由2x+＝kπ，即x＝﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）＝cos（2×（﹣）+φ）＝cos（kπ﹣+φ）＝±cos（φ﹣）＝0，即φ﹣＝kπ+，则φ＝kπ+，k∈Z当k＝﹣1，φ＝﹣π+＝﹣，故选：D．6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β【解答】解：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B错误；对于C，若b⊂α，显然结论不成立，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．200【解答】解：由频率分布直方图得支出金额在[30，50]的学生所在频率为：1﹣（0.01+0.025）×10＝0.65，∵支出金额在[30，50]的学生有17人，∴n＝＝180．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．9．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．【解答】解：可令|x|＝t（1≤t≤4），g（t）＝﹣，由y＝，y＝﹣在[1，4]上递增，可得g（t）在[1，4]递增，g（t）的最小值为1﹣1＝0；最大值为2﹣＝，又f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，则f（x）的最小值为m＝0，最大值为M＝，则M﹣m＝，故选：A．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正面递增等比数列，则q＞1，数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0，则有1＝（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）＝（1+λq）（a4﹣a2），∴1+λq＝，a6+λa7＝a6（1+λq）＝＝，令g（q）＝，（q＞1），∴g′（q）＝．分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数，当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数，则当q＝时，g（q）取得最小值，此时g（q）＝g（）＝4，∴a6+λa7的最小值为4．故选：D．11．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x2【解答】解：由题意及框图，在①应填y＝﹣x；在②应填y＝x2；在③应填y ＝0故选：B．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．【解答】解：，，＝（k+1，k+2），，则：k+1+k+2＝0，解得k＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝4．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝1﹣，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣a，由切线方程为y＝﹣2x+5，可得1﹣a＝﹣2，解得a＝3，由切点（1，3），可得3＝1+3+b，解得b＝﹣1，则a﹣b＝4，故答案为：4．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，代入双曲线的方程可得y2＝4（1+）＝4+，可设M（﹣，），∠MFN＝120°，可得tan＝tan60°＝＝，解得a＝，故答案为：．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．【解答】解：∵{a n}和{}都是等差数列，且公差d相等，则＝+（n﹣1）d，S n＝na1+d，令n＝2，3，可得：＝+d，＝+2d，化为：2d2＝d，解得d＝，或d＝0．d＝0时，a1＝0，与a1＞0矛盾，舍去．把d＝代入：＝+d，化为：﹣+＝0，解得a 1＝，则a2＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sin A cos B﹣sin B cos C＝sin C cos B；∴4sin A cos B＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A；∵sin A≠0；∴；（2）由得ac cos B＝3，ac＝12；由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2＝24，所以可得．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．【解答】解：（Ⅰ）由平均数相同，列方程得93+90+x+81+73+77+61＝90+94+84+72+76+63，解得x＝4；（Ⅱ）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名，设赋3分的学生为A1，A2，赋2分的学生为B1，B2，赋1分的学生为C1，C2，…（6分）则从6人抽取两人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2共15种，其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为P＝＝．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE＝2，又∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴，∴SE2+BE2＝SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1++lnx﹣a，∴f″（x）＝，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y＝的导数为y′＝，由y＝x﹣﹣2lnx的导数为y′＝1+﹣＝＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y＝在x＞1递增，则＝＝2，可得＞2恒成立，即有a≤2．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。
2018年河南省郑州市高考一模数学文
，
n
1 ， n 1
所以： Tn＝ 1 1 1
S1 S2
Sn 1 n 1
2 2 = 2 1 1 n 1
=
=2 1 1 1 1 1
3 n
2n . n 1 2 2018 4036 ＝ . 2018 1 2019
1 1 sin [（ 2 x ） ] sin 2 x 的图象， 2 3 3 2
故本题即求 y=sin2x 的减区间， 令 2k 故函数 g(x)的单调递增区间为[ k 答案：B 8. 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， a1=1 ， a2=2 ， 且 an+2-2an+1+an=0(n ∈ N ) ， 记
A.4 B.5 C.2 D.3 解析：模拟执行程序，可得 a=1，A=1，S=0，n=1 S=2
不满足条件 S≥10，执行循环体，n=2，a= 不满足条件 S≥10，执行循环体，n=3，a= 不满足条件 S≥10，执行循环体，n=4，a=
1 9 ，A=2，S= 2 2 1 35 ，A=4，S= 4 4
1 ，则 ”是真命题 2 6 2 2 解析： “若 a＞1，则 a ＞1”的否命题是“若 a≤1，则 a ≤1” ，故 A 错； 2 2 2 2 “若 am ＜bm ，则 a＜b”的逆命题为假命题，比如 m=0，若 a＜b，则 am =bm ，故 B 错； x x 对任意 x＞0，均有 3 ＜4 成立，故 C 错；
b
)
1 3 1 2
解析：∵ a b a ， ∴ a b a =0， 即 a b a =0， 即 1+m -(m-1+2m)=0， 2 即 m -3m+2=0， 得 m=1 或 m=2， 当 m=1 时，量 a =(1，1)， b =(0，2)，满足 a
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选A2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）= 100 ． 【解答】解：∵，∴log 2a n +1﹣log 2a n =1，即，∴．∴数列{a n }是公比q=2的等比数列．则a 101+a 102+…+a 110=（a 1+a 2+a 3+…+a 10）q 100=2100，∴log 2（a 101+a 102+…+a 110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若，则双曲线的渐近线方程为 y=±x ．【解答】解：由题意得右焦点F （c ，0）， 设一渐近线OM 的方程为y=x ， 则另一渐近线ON 的方程为y=﹣x ， 由FM 的方程为y=﹣（x ﹣c ）， 联立方程y=x ， 可得M 的横坐标为，由FM 的方程为y=﹣（x ﹣c ），联立方程y=﹣x ， 可得N 的横坐标为．由2=，可得2（﹣c ）=﹣c ，水秀中华即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，=V P﹣AEC，得，由V E﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）水秀中华可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．水秀中华曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t 1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，水秀中华∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。
2018年河南省郑州市高考一模数学文
2018年河南省郑州市高考一模数学文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数3ii-(i 为虚数单位)等于( ) A.-1-3i B.-1+3i C.1-3i D.1+3i 解析：()()()3313i i i i i i i -⋅--==--⋅-. 答案：A2.设集合A={x|1＜x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A ∩B=A ，则a 的取值范围是( ) A.{a|a ≤2} B.{a|a ≤1} C.{a|a ≥1} D.{a|a ≥2}解析：∵A ∩B=A ， ∴A ⊆B.∵集合A={x|1＜x ＜2}，B={x|x ＜a}， ∴a ≥2 答案：D3.设向量a =(1，m)，b =(m-1，2)，且a b ≠，若()a b a -⊥，则实数m=( ) A.2 B.1C.13 D.12解析：∵()a b a -⊥， ∴()a b a -⋅=0， 即2a b a -⋅=0， 即1+m 2-(m-1+2m)=0，即m 2-3m+2=0， 得m=1或m=2，当m=1时，量a =(1，1)，b =(0，2)，满足a b ≠，当m=2时，量a=(1，2)，b=(1，2)，不满足a b≠，综上m=1. 答案：B4.下列说法正确的是( )A.“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B.“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C.∃x0∈(0，+∞)，使3x0＞4x0成立D.“若1sin2α≠，则6πα≠”是真命题解析：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若1sin2α≠，则6πα≠”的逆否命题是“若α=6π，则sinα=12”为真命题，则D正确.答案：D5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=( )A.4B.5C.2D.3解析：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S ≥10，执行循环体，n=2，a=12，A=2，S=92 不满足条件S ≥10，执行循环体，n=3，a=14，A=4，S=354不满足条件S ≥10，执行循环体，n=4，a=18，A=8，S=1358满足条件S ≥10，退出循环，输出n 的值为4.答案：A6.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A.10cm 3B.20cm 3C.30cm 3D.40cm 3解析：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积11134534520232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=(cm 3). 答案：B7.若将函数f(x)=()1sin 223x π+图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )A.[44k k ππππ-+，](k ∈Z)B.[344k k ππππ++，](k ∈Z)C.[236k k ππππ--，](k ∈Z) D.[51212k k ππππ-+，](k ∈Z) 解析：将函数f(x)=()1sin 223x π+图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到g(x)=11sin 2sin 22332[]x x ππ++=-（）的图象，故本题即求y=sin2x 的减区间，令322222k x k ππππ+≤≤+，求得344k x k ππππ+≤≤+，故函数g(x)的单调递增区间为[344k k ππππ++，]，k ∈Z. 答案：B8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a 2=2，且a n+2-2a n+1+a n =0(n ∈N *)，记12111n nT S S S =++⋯+(n ∈N *)，则T 2018=( )A.40342018 B.20172018 C.40362019 D.20182019解析：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a 2=2，且a n+2-2a n+1+a n =0(n ∈N *)， 则：数列为等差数列.设公差为d ，则：d=a 2-a 1=2-1=1， 则：a n =1+n-1=n. 故：()1122n n n S n +++⋯+＝＝， 则：()1112n ⋅-＝，所以：12111n nT S S S ++⋯+＝=()11111212231n n ⋅-+-+⋯+-+=()121⋅-=21nn +. 所以：2018220184036201812019T ⋅+＝＝.答案：C9.已知函数()020x e a x f x x a x ⎧-≤⎨-⎩，＝，＞(a ∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，1] B.[1，+∞) C.(0，1) D.(-∞，1]解析：当x ≤0时，f(x)单调递增，∴f(x)≤f(0)=1-a ， 当x ＞0时，f(x)单调递增，且f(x)＞-a. ∵f(x)在R 上有两个零点，∴100a a -≥⎧⎨-⎩＜，解得0＜a ≤1.答案：A10.已知椭圆C ：22221y x a b+＝ (a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( )A.D.解析：由直线AB 的方程为1y x a b+-＝，整理得：bx-ay+ab=0， 由题意可知：直线AB 与圆O ：x 2+y 2=c 2相切，可得d c ==，两边平方，整理得：c 4+3c 2c 2-a 4=0，两边同时除以a 4，由222c e a =，e 4-3e 2+1=0，∴2e =，又椭圆的离心率e ∈(0，1)，∴e 2.答案：B11.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则14a b+的最小值为( )A.49 B.2 C.94D.9解析：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+(0+2+y+1+3+6)=598+y ， 乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a 、b 满足：a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列， 则xy=G2，2G=a+b ，即有a+b=4，a ＞0，b ＞0，则()()()1411414119145944444b a a b a b a b a b ⎛+=++=+++≥+=⨯= ⎝，当且仅当b=2a=83时，1a+4b 的最小值为94. 答案：C12.若对于任意的正实数x ，y 都有2ln y y x x e x me ⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为( ) A.(1e，1) B.(21e ，1] C.(21e，e] D.(0，1e] 解析：根据题意，对于2ln y y x x e x me ⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭，变形可得12y y x x ln y e x m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 即12ln y y e x x m⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，设t=yx，则(2e-t)lnt≤1m，t＞0，设f(t)=(2e-t)lnt，(t＞0)则其导数f′(t)=-lnt+2et-1，又由t＞0，则f′(t)为减函数，且f′(e)=-lne+2ee-1=0，则当t∈(0，e)时，f′(t)＞0，f(t)为增函数，当t∈(e，+∞)时，f′(t)＜0，f(t)为减函数，则f(t)的最大值为f(e)，且f(e)=e，若f(t)=(2e-t)lnt≤1m恒成立，必有e≤1m，解可得0＜m≤1e，即m的取值范围为(0，1e].答案：D二、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)13.设变量x，y满足约束条件140340xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数z=4x-y的最小值为______.解析：设变量x，y满足约束条件140340xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x-y=0经过点A(1，3)时，4x-y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x-y的最小值：1.答案：114.如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7平行，则a=______. 解析：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7平行，∴23 317 a aa a-≠--＝，解得a=3. 答案：315.已知数列{a n }满足log 2an+1＝1+log 2a n (n ∈N *)，且a 1+a 2+a 3+…+a 10=1，则log 2(a 101+a 102+…+a 110)=______.解析：∵log 2a n+1＝1+log 2a n (n ∈N *)，∴log 2a n+1-log 2a n =1，即12log 1n n aa +＝，∴12n na a +＝. ∴数列{a n }是公比q=2的等比数列.则a 101+a 102+…+a 110=(a 1+a 2+a 3+…+a 10)q 100=2100，∴log 2(a 101+a 102+…+a 110)=log 22100＝100. 答案：10016.已知双曲线C ：22221y x a b－＝的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2FM FN ＝，则双曲线的渐近线方程为______. 解析：由题意得右焦点F(c ，0)，设一渐近线OM 的方程为b y x a=， 则另一渐近线ON 的方程为by x a=-，由FM 的方程为()ay x c b =--，联立方程by x a=，可得M 的横坐标为2a c， 由FM 的方程为()a y x c b =--，联立方程by x a=-， 可得N 的横坐标为222ca a b-.由2FM FN ＝，可得22222a ca c c c a b⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭， 即为222222a ca c c a c -=-， 由c e a =，可得222112e e -=-， 即有e 4-5e 2+4=0，解得e 2=4或1(舍去)，即为e=2，即c=2a ，b=，可得渐近线方程为y=±答案：y=三、解答题：(本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2ccosB=2a+b. (1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为S ，求ab 的最小值. 解析：(1)利用正弦定理即可求得cosC=-12，由C 的取值范围，即可求得C ； (2)根据三角形的面积公式，求得c=12ab ，利用余弦定理及基本不等式的性质即可求得ab 的最小值.答案：：(1)由正弦定理可知：2sin sin sin a b c RA B C===，a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，由2ccosB=2a+b ，则2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB ， ∴2sinBcosC+sinB=0， 由0＜B ＜π，sinB ≠0，cosC=-12， 0＜C ＜π，则23C π=；(2)由1sin 2S ab C ==，则c=12ab ， 由c 2=a 2+b 2-2abcosC=a 2+b 2+ab ，∴222234a b a b ab ab =++≥，当且仅当a=b 时取等号， ∴ab ≥12，故ab 的最小值为12. 18. 2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名(男生800名，女生200名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：(1)现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生(含病残免试)为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过附：(()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-++++＝，其中n=a+b+c+d)解析：(1)按分层抽样计算男生、女生应抽的人数，用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值；(2)填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.答案：(1)按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80-(5+10+15+47)=3，y=20-(2+3+10+2)=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P(A)=63 105=；(2)填写2×2列联表如下：则()2210050153059.09180205545K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；∵9.091＞6.635且P(K2≥6.635)=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”.19.如图，在三棱锥P-ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB=6，BC ＝AC ＝D ，E 为线段AB 上的点，且AD=2DB ，PD ⊥AC.(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若∠PAB ＝4π，求点B 到平面PAC 的距离.解析：(1)连接CD ，推导出CD ⊥AB ，CD ⊥PD ，由此能证明PD ⊥平面ABC.(2)设点B 到平面PAC 的距离为d ，由V E-PAC =VP-AEC ，能求出点B 到平面PAC 的距离. 答案：(1)连接CD ，据题知AD=4，BD=2，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB=90°，∴cos ∠ABC ，∴CD2＝4+12−2×2×∠ABC=8，∴CD= ∴CD 2+AD 2=AC 2，∴CD ⊥AB ，又∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，CD ∩AC=C ，∴PD ⊥平面ABC.(2)∵∠PAB ＝4π，∴PD=AD=4，∴PA=在Rt △PCD 中，PC ==∴△PAC 是等腰三角形，∴S △PAC ＝设点B 到平面PAC 的距离为d ，由V E-PAC =V P-AEC ，得1133ABC S PAC d S PD ⨯⨯＝，∴3ABC PAC S PDd S ⨯==，故点B 到平面PAC 的距离为3.20.已知圆C ：x 2+y 2+2x-2y+1=0和抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB.设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 方程.解析：(1)直接利用定义求出抛物线的方程.(2)利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程.答案：(1)圆C ：x 2+y 2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1，则圆心为(-1，1).抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)，焦点坐标F(2p ，0)，由于：圆心C 到抛物线焦点F 则：211172p ⎛⎫ ⎪⎝⎭++＝， 解得：p=6.故抛物线的方程为：y 2=12x(2)设直线的方程为x=my+t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则：212y x x my t⎧⎨+⎩＝＝，整理得：y 2-12my-12t=0，所以：y 1+y 2=12m ，y 1y 2=-12t.由于：OA ⊥OB.则：x 1x 2+y 1y 2=0.即：(m 2+1)y 1y 2+mt(y 1+y 2)+t 2=0.整理得：t 2-12t=0，由于t ≠0，解得t=12.故直线的方程为x=my+12，直线经过定点(12，0).当CN ⊥l 时，即动点M 经过圆心C(-1，1)时到直线的距离取最大值.当CP ⊥l 时，即动点M 经过圆心C(-1，1)时到动直线L 的距离取得最大值. 113MP CP k k ==-， 则：113m =.此时直线的方程为：11213x y =+， 即：13x-y-156=0.21.已知函数f(x)=lnx-a(x+1)，a ∈R 在(1，f(1))处的切线与x 轴平行.(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有()()212122x f x x k x -++-＞成立，求k 的取值范围.解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为可化为()21ln 122x x x k x -+--＞，令()()21ln 122x g x x x k x =-+---，(x ＞1)，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，从而确定k 的范围即可.答案：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，+∞)，∵f ′(x)=1x-a ，∴f ′(1)=1-a=0，解得：a=1， ∴f ′(x)=1x x -， 令f ′(x)＞0，解得：0＜x ＜1，令f ′(x)＜0，解得：x ＞1，故f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减；(1)不等式()()212122x f x x k x -++-＞可化为()21ln 122x x x k x -+--＞， 令()()21ln 122x g x x x k x =-+---，(x ＞1)， ()()211x k x g x x-+-+'=， ∵x ＞1，令h(x)=-x 2+(1-k)x+1，h(x)的对称轴是x=12k -， ①当12k -≤1时，即k ≥-1， 易知h(x)在(1，x 0)上递减，∴h(x)＜h(1)=1-k ，若k ≥1，则h(x)≤0，∴g ′(x)≤0，∴g(x)在(1，x 0)递减，∴g(x)＜g(1)=0，不适合题意.若-1≤k ＜1，则h(1)＞0，∴必存在x 0使得x ∈(1，x 0)时，g ′(x)＞0，∴g(x)在(1，x 0)递增，∴g(x)＞g(1)=0恒成立，适合题意. ②当12k -＞1时，即k ＜-1， 易知必存在x 0使得h(x)在(1，x 0)递增，∴h(x)＞h(1)=1-k ＞0，∴g ′(x)＞0，∴g(x)在(1，x 0)递增，∴g(x)＞g(1)=0恒成立，适合题意.综上，k 的取值范围是(-∞，1).22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝28cos 1cos θθ-. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若4πα＝，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积.解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化.(2)利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果.答案：(1)直线L 的参数方程为：1cos sin x t y t αα+⎧⎨⎩＝＝(t 为参数). 曲线C 的极坐标方程是ρ＝28cos 1cos θθ-， 转化为直角坐标方程为：y 2=8x(2)当4πα＝时，直线l 的参数方程为：1x y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝ (t 为参数)，代入y 2=8x得到：2160t --＝.(t1和t2为A 和B 的参数)，所以：t 1+t 2＝t 1t 2=-16.所以：|AB|＝|t 1−t 2|＝O 到AB的距离为：1sin 4d π=⋅则：12AOB S ⋅=＝23.设函数f(x)=|x+3|，g(x)=|2x-1|.(1)解不等式f(x)＜g(x)；(2)若2f(x)+g(x)＞ax+4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.解析：(1)两边平方求出不等式的解集即可；(2)设h(x)=2f(x)+g(x)，通过讨论x 的范围，分离a ，根据函数的单调性求出a 的范围即可. 答案：(1)由已知得|x+3|＜|2x-1|，即|x+3|2＜|2x-1|2，则有3x 2-10x-8＞0，∴x ＜-23或x ＞4， 故不等式的解集是(-∞，-23)∪(4，+∞)； (2)由已知，设h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1| =45317321452x x x x x ⎧--≤-⎪⎪-⎨⎪⎪+≥⎩，，＜＜，， 当x ≤-3时，只需-4x-5＞ax+4恒成立， 即ax ＜-4x-9，∵x ≤-3＜0， ∴4994x a x x--=--＞恒成立， ∴()94a max x --＞，∴a ＞-1， 当-3＜x ＜12时，只需7＞ax+4恒成立， 即ax-3＜0恒成立， 只需3301302a a --≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩， ∴16a a ≥-⎧⎨≤⎩， ∴-1≤a ≤6，当x ≥12时，只需4x+5＞ax+4恒成立， 即ax ＜4x+1，∵x ≥12＞0，∴4114x a x x+=+＜恒成立， ∵144x +＞，且无限趋近于4， ∴a ≤4，综上，a 的取值范围是(-1，4].。
【文科数学】2018年郑州高三一模文科数学
g( x)在（1，x0 )上单调递减,
若-1 k 1,则h(1) 0, 必存在x0使得x （1，x0)时g(x) 0,
g(x)在（1，x0)上单调递增, g(x) g(1) 0恒成立,适合题意.
2
当1 k 2
1时，即k
1,
易知必存在x0使得h( x)在（1，x0 )上单调递增,
x
x
x 1, 令h(x) x2 (1 k)x 1, h(x)的对称轴为x 1 k , 2
1
当1 k 2
1时，即k
1, 易知h(x)在（1，x0)上单调递减,
h(x) h(1) 1 k,
若k 1,则h(x) 0,
g(x) 0,
g(x) g(1) 0 ，不适合题意.
CD2 22 12 2 2 2 3 cosABC 8 CD 2 2.
CD2 AD2 AC 2 ,则 CD AB ,
..........4 分
又因为 平面PAB 平面ABC ，所以 CD 平面PAB,CD PD, ..........6 分
因为 PD AC ， AC,CD 都在平面 ABC 内，所以 PD 平面 ABC ；..........8 分
d
1 3
SABC
PD, d
SABC PD SPAC
=3.
故点B到平面PAC的距离为3...........12分
20．（1）C : x2 y2 2x 2 y 1 0 可化为 ( x 1)2 ( y 1)2 1 ，则圆心C为（-1,1）.
F
……12 分
18．（1）按分层抽样男生应抽取 80 名，女生应抽取 20 名.
2018年河南省高考数学一诊试卷(文科)
2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合A={x∈R|3≤32−x<27}，B={x∈Z|−3<x<1}，则A∩B中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.32. 已知a∈R，复数z=(a−i)(1+i)i，若z=z，则a=()A.1B.−1C.2D.−23. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D.最低气温低于0∘C的月份有4个4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=π3，3sin2CcosC=2sinAsinB，且b=6，则c=()A.2B.3C.4D.65. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A.128π平方尺B.138π平方尺C.140π平方尺D.142π平方尺6. 定义[x]表示不超过x的最大整数，(x)=x−[x]，例如[2.1]=2，(2.1)=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=()A.−1.4B.−2.6C.−4.6D.−2.87. 若对于任意x ∈R 都有f(x)+2f(−x)=3cosx −sinx ，则函数f(2x)图象的对称中心为（ ）A.(kπ−π4,0)(k ∈Z) B.(kπ−π8,0)(k ∈Z) C.(kπ2−π4,0)(k ∈Z)D.(kπ2−π8,0)(k ∈Z)8. 设x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +13y ≤1y ≥0，若z =−ax +y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A.2或−3B.3或−2C.−13或12D.−13或29. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图像大致是( )A.B.C.D.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.20+12√2+2√14B.20+6√2+2√14C.20+6√2+2√34D.20+12√2+2√3411. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若CB→=4BF→，则|AF||BF|=()A.5 3B.52C.3D.212. 已知函数f(x)=e x+x2+lnx与函数g(x)=e−x+2x2−ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A.(−∞, −e]B.(−∞,−1e brackC.(−∞, −1]D.(−∞,−12brack二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在△ABC中，|AB→+AC→|=|AB→−AC→|，|AB→|=2，则AB→⋅BC→=________一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．若α∈(−π2, 0)，sin(α+π4)=−13，则sin2αcos(π4−α)=________．设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A(m, 18)在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB＝2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB＝90∘．（1）求证：B1C // 平面A1DE；（2）若AC＝3BC＝6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1−B1C1ED的体积．如图，椭圆W:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:x24+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N 两点．（1）求W的标准方程：求|BC||MN|．已知函数f(x)=x −lnx ．（1）若曲线y =f(x)在x =x 0处的切线经过坐标原点，求x 0及该切线的方程；（2）设g(x)=(e −1)x ，若函数F(x)={f(x),x ≥ag(x),x <a 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k（m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x +a|(a ∈R)．（1）若f(x)≥|2x +3|的解集为[−3, −1]，求a 的值；（2）若∀x ∈R ，不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求解指数不等式化简集合A，用列举法表示集合B，再由交集运算性质得答案．【解答】∵A={x∈R|3≤32−x<27}={x∈R|−1<x≤1}，B={x∈Z|−3<x<1}={−2, −1, 0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】根据复数的基本运算进行化简，结合z=z，进行求解即可．【解答】解:z=(a−i)(1+i)i =a+1+(a−1)ii=a+1i+a−1=(a−1)−(a+1)i，则z=(a−1)+(a+1)i，∵z=z，∴a+1=0，得a=−1，故选B.3.【答案】D【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得最低气温低于0∘C的月份有3个．由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0∘C的月份有3个，故D错误．4.【答案】C【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理和余弦定理，列出方程组求出c的值．【解答】△ABC中，A=π3，b=6，∴a2=b2+c2−2bccosA，即a2=36+c2−6c①；又3sin2CcosC=2sinAsinB，∴3c2cosC=2ab，即cosC=3c22ab =a2+b2−c22ab，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=−6（不合题意，舍去）；∴c=4．5.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R=√72+52+822=√1382（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积21386.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x=5.8y=5−1.6=3.4x=5−1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1−1.4=−0.4，x=1−1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=−0.2，y=−1−1.6=−2.6，x=−1−1=−2不满足条件x≥0，退出循环，z=−2+(−2.6)=−4.6．输出z的值为−4.6．7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】根据题意求出函数f(x)的解析式，再化f(x)为正弦型函数，可得函数f(2x)的解析式，根据正弦函数的对称性，求出f(2x)图象的对称中心．【解答】∵对任意x∈R，都有f(x)+2f(−x)=3cosx−sinx①，用−x代替x，得f(−x)+2f(x)=3cos(−x)−sin(−x)②，即f(−x)+2f(−x)=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f(x)=sinx+cosx，∴f(x)=√2sin(x+π4)，∴f(2x)=√2sin(2x+π4)．令2x+π4=kπ，k∈Z，求得x=kπ2−π8，故函数f(2x)图象的对称中心为(kπ2−π8, 0)，k∈Z，8.【答案】A【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB），由z=y−ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a>0，目标函数y=ax+z的斜率k=a>0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x−y=0平行，此时a=2，若a<0，目标函数y=ax+z的斜率k=a<0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=−3，综上a=−3或a=2.故选A.9.【答案】B【考点】函数的图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)的定义域为{x|x≠±12}，关于原点对称，f(−x)=−x(e x−e−x) 4x2−1=x(e−x−e x)4x2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，故排除选项A.令f(x)=0，即x(e −x−e x)4x2−1=0，解得x=0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除选项D.当x=1时，f(1)=1e−e3<0，故排除选项C.故选B．10.【答案】D【考点】由三视图求体积由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，代入数据计算．【解答】由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×4√2=12√2，S△PBC=12×4×4=8，S△PCD=S△PBA=12×3×4=6，△PAD中AP=PD=5，AD=4√2，∴AD边上的高为√25−8=√17，∴S△PAD=12×4√2×√17=2√34，则该几何体的表面积为12√2+8+6+6+2√34=12√2+20+2√34，11.【答案】A【考点】抛物线的求解【解析】根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，由CB→=4BF→分析可得|CB|=4|BN|，又由平行线的性质分析可得|CA|=4|AM|，即可得4b+a+b=4a，变形可得ab =53，即可得答案．【解答】根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若CB→=4BF→，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN // AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得ab =53，即|AF||BF|=53，12.【答案】C【考点】函数的图象变化【解析】由题意可化为g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解即x+a−lnxx=0在(0, +∞)上有解，即函数y=x+a与y=lnxx 在(0, +∞)上有交点，画出函数y=x+a与y=lnxx在(0, +∞)上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．由题意知，方程g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解， 即e x +2x 2+ax −lnx −e x −x 2=0，即x +a −lnx x=0在(0, +∞)上有解，即函数y =x +a 与y =lnx x在(0, +∞)上有交点，y =lnx x的导数为y′=1−lnx x 2，当x >e 时，y′<0，函数y =lnx x递减；当0<x <e 时，y′>0，函数y =lnx x 递增．可得x =e 处函数y =lnx x 取得极大值1e ，函数y =x +a 与y =lnx x在(0, +∞)上的图象如右： 当直线y =x +a 与y =lnx x相切时，切点为(1, 0)，可得a =0−1=−1， 由图象可得a 的取值范围是(−∞, −1]．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −4【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】运用向量的平方即为模的平方，对等式两边平方，可得A 为直角，再由向量数量积的定义和解直角三角形，即可得到所求值． 【解答】在△ABC 中，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|， 可得|AB →+AC →|2=|AB →−AC →|2，即有AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →=AB →2+AC →2−2AB →⋅AC →， 即为AB →⋅AC →=0，则△ABC 为直角三角形，A 为直角， 则AB →⋅BC →=−BA →⋅BC →=−|BA →|⋅|BC →|⋅cosB =−|BA →|2=−4． 【答案】 π6 【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】由题意画出图形，设出正方体的棱长，分别求出正方体的体积及其内切球的体积，由测度比为体积比得答案． 【解答】 如图，设正方体的棱长为2a ，则其内切球的半径为a ，则V 正方体=8a 3，V 球=4π3a 3，∴ 蜜蜂“安全飞行”的概率为P =V 球V 正方体=4π3a 38a 3=π6．【答案】 73【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cos(α+π4)的值，再利用二倍角公式、诱导公式求得要求式子的值． 【解答】α∈(−π2, 0)，sin(α+π4)=−13，∴ cos(α+π4)=√1−sin 2(α+π4)=2√23， 则sin2αcos(π4−α)=−cos(2α+π2)sin(α+π4)=1−2cos 2(α+π4)sin(α+π4)=1−2×89−13=73，【答案】 2√21 【考点】双曲线的离心率 【解析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF 1|=2a ，|AF 2|=4a ，由△ABF 2是等边三角形得∠F 1AF 2=120∘，利用余弦定理算出c 2=7a 2，b 2=6a 2，结合双曲线的第二定义，可得m ，A 在双曲线上，代入双曲线的方程，即可得出a ，即有实轴长． 【解答】根据双曲线的定义，可得|AF 1|−|AF 2|=2a ， ∵ △ABF 2是等边三角形，即|AF 2|=|AB|， ∴ |BF 1|=2a ，又∵|BF2|−|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120∘，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120∘，即4c2=4a2+16a2−2×2a×4a×(−12)=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得ca =|AF2|m−a2c=4am−a√7=√7，则m=√7，由A在双曲线上，可得257−1826a2=1，解得a=√21，则2a=2√21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】设公差为d，由a52=a2a14，得(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n−3．因为b n=(−1)n−1(6n−3)(6n+3)=(−1)n−1(36n2−9)，所以S2n=(36×12−9)−(36×22−9)+(36×32−9)−(36×42−9)+⋯+(36×(2n−1)2−9)−(36×(2n)2−9)，所以S2n=36(12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2)，即S2n=−36(1+2+3+4+...+(2n−1)+2n)=−36×2n(1+2n)2=−36(2n2+n)．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）利用等差数列通项公式、等比数列性质求出a1=3，d=6，由此能求出a n=6n−3．（2）推导出b n=(−1)n−1(6n−3)(6n+3)=(−1)n−1(36n2−9)，从而S2n=36(12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2)，由此能求出数列{b n}的前2n项和．【解答】设公差为d，由a52=a2a14，得(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n−3．因为b n=(−1)n−1(6n−3)(6n+3)=(−1)n−1(36n2−9)，所以S2n=(36×12−9)−(36×22−9)+(36×32−9)−(36×42−9)+⋯+(36×(2n−1)2−9)−(36×(2n)2−9)，所以S2n=36(12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2)，即S2n=−36(1+2+3+4+...+(2n−1)+2n)=−36×2n(1+2n)2=−36(2n2+n)．【答案】由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：x=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+ 85×0.010×10=64.5．要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60, 70)内的男生中选：6×0.0300.030+0.020+0.010=3人，体重在[70, 80)内的男生中选：6×0.0200.030+0.020+0.010=2人，体重在[80, 90]内的男生中选：6×0.010.03+0.02+0.01=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n=C62=15，∴这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率p=1−C42C62=35．【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）由频率分布直方图能估计该校的100名同学的平均体重．（2）要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60, 70)内的男生中选3人，体重在[70, 80)内的男生中选2人，体重在[80, 90]内的男生中选1人，再从这6人中选2人当正副队长，利用对立事件概率计算公式能求出这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率．【解答】由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：x=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60, 70)内的男生中选：6×0.0300.030+0.020+0.010=3人，体重在[70, 80)内的男生中选：6×0.0200.030+0.020+0.010=2人，体重在[80, 90]内的男生中选：6×0.010.03+0.02+0.01=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n=C62=15，∴这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率p=1−C42C62=35．【答案】∵在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB＝2A1B1，∴DE // BC，DB∥=A1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D // BB1，∵A1D∩DE＝D，BB1∩BC＝B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE // 平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C // 平面A1DE．∵AC＝3BC＝6，△AB1C为等边三角形，AB＝2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB＝90∘．∴AE＝3，DE＝1，B1E=√62−32=3√3，∠AED＝90∘，∴四棱锥A1−B1C1ED的体积：V A1−B1C1ED =V ADE−A1B1C1−V A1−ADE＝S△ADE⋅B1E−13×S△ADE×B1E=23S△ADE×B1E=23×12×AE×DE×B1E=23×12×3×1×3√3＝3√3．【考点】直线与平面平行【解析】（1）推导出DE // BC，DB∥=A1B1，从而四边形DBB1A1是平行四边形，进而A1D // BB1，由此能证明平面A1DE // 平面B1BC，从而B1C // 平面A1DE．（2）四棱锥A1−B1C1ED的体积V A1−B1C1ED =V ADE−A1B1C1−V A1−ADE=S△ADE⋅B1E−1 3×S△ADE×B1E=23S△ADE×B1E，由此能求出结果．【解答】∵在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB＝2A1B1，∴DE // BC，DB∥=A1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D // BB1，∵A1D∩DE＝D，BB1∩BC＝B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE // 平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C // 平面A1DE．∵AC＝3BC＝6，△AB1C为等边三角形，AB＝2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB＝90∘．∴AE＝3，DE＝1，B1E=√62−32=3√3，∠AED＝90∘，∴四棱锥A1−B1C1ED的体积：V A 1−B 1C 1ED =V ADE−A 1B 1C 1−V A 1−ADE ＝S △ADE ⋅B 1E −13×S △ADE ×B 1E =23S △ADE ×B 1E =23×12×AE ×DE ×B 1E =23×12×3×1×3√3 ＝3√3．【答案】（1）由题意可得{a 2=4a 2−b 2=1 ， ∴ {a 2=4b 2=3故W 的标准方程为y 24+x 23=1．（2）联立{y 24+x 23=1x 24+y 2=1得{x 2=3613y 2=413 ∴y 2x 2=19，∴ k OA =13，易知B(0, 1)，∴ l 的方程为y =−3x +1． 联立{y =−3x +1x 24+y 2=1，得37x 2−24x =0，∴ x =0或2437，∴ |BC|=√1+(−3)2×|2437−0|=24√1037，联立{y =−3x +1y 24+x 23=1，得31x 2−18x −9=0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=1831，x 1x 2=−931，∴ |MN|=√1+(−3)2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12031，故|BC||MN|=31√10185． 【考点】椭圆的定义 【解析】（1）由题意可得{a 2=4a 2−b 2=1，求出a 2，b 2，即可得到W 的标准方程， （2）先求出直线l 的方程为y =−3x +1，分别与椭圆W 和椭圆Ω，联立方程组，求出BC 和MN ，比较即可 【解答】（1）由题意可得{a 2=4a 2−b 2=1 ， ∴ {a 2=4b 2=3故W 的标准方程为y 24+x 23=1．（2）联立{y 24+x 23=1x 24+y 2=1 得{x 2=3613y 2=413 ∴y 2x =19，∴ k OA =13，易知B(0, 1)，∴ l 的方程为y =−3x +1． 联立{y =−3x +1x 24+y 2=1，得37x 2−24x =0，∴ x =0或2437，∴ |BC|=√1+(−3)2×|2437−0|=24√1037，联立{y =−3x +1y 24+x 23=1，得31x 2−18x −9=0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=1831，x 1x 2=−931，∴ |MN|=√1+(−3)2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12031，故|BC||MN|=31√10185． 【答案】由已知得f ′(x)=1−1x (x >0)， 则x 0−lnx 0x 0=1−1x 0，所以x 0=e ，所以所求切线方程为y =(1−1e )x ． 令f ′(x)=1−1x =x−1x>0，得x >1；令f ′(x)<0，得0<x <1．所以f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=1，所以f(x)∈[1, +∞)．而g(x)=(e −1)x 在(−∞, a)上单调递增，所以g(x)∈(−∞,(e −1)a)． 欲使函数F(x)={f(x),x ≥ag(x),x <a的值域为R ，须a >0．①当0<a ≤1时，只须(e −1)a ≥1，即a ≥1e−1，所以1e−1≤a ≤1．②当a >1时，f(x)∈[a −lna, +∞)，g(x)∈(−∞,(e −1)a)，只须a −lna ≤(e −1)a 对一切a >1恒成立，即lna +(e −2)a ≥0对一切a >1恒成立， 令φ(x)=lnx +(e −2)x(x >1)，得φ′(x)=1x +(e −2)=(e−2)x+1x>0，所以φ(x)在(1, +∞)上为增函数，所以φ(x)>φ(1)=e −2>0，所以a −lna ≤(e −1)a 对一切a >1恒成立． 综上所述：a ≥1e−1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出切线方程，（2）根据导数先求出函数f(x)的值域，再求出g(x)的值域，根据函数F(x)={f(x),x ≥a g(x),x <a 的值域为R ，需要分类讨论，根据导数和函数的最值即可求出a 的范围． 【解答】由已知得f ′(x)=1−1x (x >0)， 则x 0−lnx 0x 0=1−1x 0，所以x 0=e ，所以所求切线方程为y =(1−1e )x ． 令f ′(x)=1−1x =x−1x>0，得x >1；令f ′(x)<0，得0<x <1．所以f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=1，所以f(x)∈[1, +∞)．而g(x)=(e −1)x 在(−∞, a)上单调递增，所以g(x)∈(−∞,(e −1)a)． 欲使函数F(x)={f(x),x ≥ag(x),x <a的值域为R ，须a >0．①当0<a ≤1时，只须(e −1)a ≥1，即a ≥1e−1，所以1e−1≤a ≤1．②当a >1时，f(x)∈[a −lna, +∞)，g(x)∈(−∞,(e −1)a)，只须a −lna ≤(e −1)a 对一切a >1恒成立，即lna +(e −2)a ≥0对一切a >1恒成立， 令φ(x)=lnx +(e −2)x(x >1)，得φ′(x)=1x +(e −2)=(e−2)x+1x>0，所以φ(x)在(1, +∞)上为增函数，所以φ(x)>φ(1)=e−2>0，所以a−lna≤(e−1)a对一切a>1恒成立．综上所述：a≥1e−1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt（t为参数），∴直线l1的普通方程为y=k(x+√3)，①∵直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k（m为参数），∴直线l2的普通方程为y=13k(√3−x)，②①×②，消k，得：x23+y2=1．∵k≠0，∴y≠0，∴曲线C1的普通方程为x23+y2=1(y≠0)．∵直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，∴直线C2的直角坐标方程为x+y−8=0，由（1）知曲线C1与直线C2无公共点，∵曲线C1的参数方程为{x=√3cosαy=sinα，(α为参数，α≠kπ，k∈Z)，∴曲线C1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为：d=√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin(α+π3)=1时，d取最小值3√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）求出直线l1的普通方程为y=k(x+√3)，①，直线l2的普通方程为y=13k(√3−x)，②，①×②，消k，能求出曲线C1的普通方程．（2）直线C2的直角坐标方程为x+y−8=0，曲线C1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为：d=√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，当sin(α+π3)=1时，d取最小值3√2．【解答】∵直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt（t为参数），∴直线l1的普通方程为y=k(x+√3)，①∵直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k（m为参数），∴直线l2的普通方程为y=13k(√3−x)，②①×②，消k，得：x23+y2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)．∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2， ∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0， 由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα ，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)，∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a−3=−49−a 23=3...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）根据二次函数的性质得到关于a 的方程组，解出即可；（2）问题转化为2|a|≥a 2−2a ，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a−3=−49−a 23=3...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分。
2018年河南省高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x<0, 或x>2}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52. 若复数(a+3i)(1−2i)（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A.−6B.13C.32D.√133. 已知f(x)=sinx−tanx，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则（）A.p是假命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0B.p是假命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)≥0C.p是真命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0D.p是真命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)≥04. 已知程序框图如图，则输出i的值为（）A.7B.9C.11D.135. 设不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，表示的平面区域为D，则z=y+1x的取值范围为（）A.[32, 4] B.(32, 4) C.[2, 4] D.[32, 2]6. 已知a=0.63.1，b=4.10.6，c=log0.64.1，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b7. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A.1+√2B.1+2√2C.2+√2D.2+2√28. 已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2018项a 2018等于（ ） A.131 B.163C.64D.6329. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM →−3CA →=2CB →，则AM →⋅BM →的值为( ) A.−152B.−2C.2D.15210. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是（ ） A.由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍 B.y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C.y =f(x)的图象关于点(3π4, 1)对称 D.y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称11. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1, 3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.(−∞, 0]B.[0,57) C.(−∞,0)∪(0,57) D.(−∞,57)12. 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，若双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于（ ） A.35B.√73C.53D.√7二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知圆的方程为x 2+y 2−6x −8y =0，则该圆过点(3, 5)的最短弦长为________．若函数f(x)={x(x −b),x ≥0,ax(x +2),x <0(a, b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为________．a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S15=________．在等差数列{a n}中，a6=12已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为________．三、解答题（共70分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B+sin2C−sin2A= sinBsinC．求A；（2）已知D为BC中点，AD=√19，BC=√7，求△ABC的面积．2如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB // CD，∠BAD=90∘，DC=DA=2AB=2√5，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH= 4．（1）求证：PC⊥BD（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P−BFD的体积为5√2？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，统计他们的数学成绩（均为整数），得到频率分布直方图如图所示．(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设成绩在[90,100]的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取2人，求这两人成绩相同的概率．x2y222px(p >0)的焦点，点(2, 4)在抛物线C 2上． （1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆C 1交于A ，B 两点，记△ABP 三条边所在直线斜率乘积为t ，求t 的最大值．已知a ≠0，函数f(x)={−x 3+x 2,x <ealnx,x ≤e．（1）讨论函数f(x)的零点的个数；（2）若函数的图象上存在两点M ，N ，使得△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边MN 的中点恰好在y 轴上，求实数a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1:{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），l 2:{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)（t 为参数），其中α∈(0, 3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0．（1）写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B （非坐标原点），求|AB|的值． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x −a|(a >0)．（1）当a =2时，解不等式f(x)≥1−2x ；（2）已知f(x)+|x −1|的最小值为3，且m 2n =a(m >0, n >0)，求m +n 的最小值．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可先求出∁R A={x|0≤x≤2}，然后进行交集的运算即可．【解答】∁R A={x|0≤x≤2}；∴(∁R A)∩B={0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0联立求得a值．【解答】∵(a+3i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i是纯虚数，∴{a+6=03−2a≠0，解得a=−6．3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定【解析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．【解答】f(x)=sinx−tanx，x∈(0, π2)，当x=π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，是真命题，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0．4.【答案】D【考点】【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件，故S=105，i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件，故S=945，i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395，i=13；当S=10395时，满足退出循环的条件，故输出的i=13，5.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，表示的平面区域为D，如图：则z=y+1x的几何意义是可行域内的点与(0, −1)连线的斜率，由图象可知QB的斜率最小，QA的斜率最大，B(2, 2)，A(1, 3)，则z=y+1x 的最大值为：4，最小值为：32．6.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵0<a=0.63.1<0.60=1，b=4.10.6>4.10=1，c=log0.64.1<log0.61=0，∴a，b，c的大小关系为b>a>c．7.【答案】C【考点】由三视图求表面积由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积． 【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴ 四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱PD =1，∴ 四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴ 四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △PAD +2S △PAB=1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选C . 8.【答案】 D【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】观察数列的特征，得出它的项数是1+2+3+...+k =k(k+1)2(k ∈N ∗)，在每一个k 段内是k 个分数(k ∈N ∗, k ≥3)，且它们的分子分母和为k +1；进而求出第2018项即可． 【解答】观察数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…， 得出：它的项数是1+2+3+...+k =k(k+1)2(k ∈N ∗)，并且在每一个k 段内，是k 个分数(k ∈N ∗, k ≥3)，且它们的分子分母和为k +1(k ∈N ∗, k ≥3)； 由k =63时，k(k+1)2=2016<2018(k ∈N ∗)，故a 2018在64段中，∴ 该数列的第2018项a 2018为第64组的第2项， 故a 2018=632，【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据条件可先求出CA →∗CB →=92，而由6CM →−3CA →=2CB →即可得出CM →=12CA →+13CB →，这样即可用CA →,CB →分别表示出AM →,BM →，然后进行数量积的运算即可． 【解答】解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴ CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cos60∘=92；6CM →−3CA →=2CB →； ∴ CM →=12CA →+13CB →；∴ AM →=AC →+CM →=−CA →+12CA →+13CB →=−12CA →+13CB →，BM →=BC →+CM →=−CB →+12CA →+13CB →=12CA →−23CB →； ∴ AM →⋅BM →=(−1CA →+1CB →)⋅(1CA →−2CB →)=−14CA →2+12CA →⋅CB →−29CB →2=−94+94−2=−2． 故选B . 10.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】得x =kπ2+π6(k ∈Z)，所以x 1=k 1π2+π6(k 1∈Z ),x 2=k 2π2+π6(k 2∈Z )，所以x 1−x 2=π2(k 1−k 2)(k 1,k 2∈Z )，是π2的整数倍，故A 错误；由f(x)=3sin (2x −π3)+1，得f(x)=−3cos (2x −π3+π2)+1=−3cos (2x +π6)+1，故B 错误；由2x −π3=kπ(k ∈Z)，得x =kπ2+π6(k ∈Z)．令kπ2+π6=3π4(k ∈Z)，解得k =76，不符合题意，故C 错误；由2x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，得x =kπ2+5π12(k ∈Z)．令k =−1，则x =−π12，即y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称，故D 正确． 故选D ． 11.【答案】 D【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1, 3]上的最大值，即可求m 的取值范围． 【解答】由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵ 当x ∈[1, 3]时，x 2−x +1∈[1, 7]， ∴ 不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵ 当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴ 若要不等式m <5x 2−x+1恒成立，则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞, 57)，12.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d =4，再根据点到直线的距离公式可得3|sinP|2c 2R2c 2a =53【解答】双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M:x2+y2−10x=0，即(x−5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=√25−9=4，∴√a2+b2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】4√6【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析可得其圆心与半径，设P为(3, 5)，圆心为M，分析可得当过点P(3, 5)的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦最短，结合点到直线的距离公式分析可得答案．【解答】根据题意，圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，其标准方程为(x−3)2+(y−4)2=25，其圆心为(3, 4)，半径为5，设P为(3, 5)，圆心为M，分析可得当过点P(3, 5)的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦最短，则弦长l=2×√r2−|MP|2=4√6；【答案】−1【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a，b的值，进而可得f(a+【解答】解：∵ 函数为奇函数， 故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{a =−1,−b =2a,即{a =−1,b =2, ∴ f(x)={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0,∴ f(a +b)=f(1)=1−2=−1. 故答案为−1． 【答案】 120【考点】等差数列的前n 项和 【解析】等差数列{a n }中，a 6=12a 4+4，可得2a 6−a 4=8=a 8．代入S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8，即可得出． 【解答】等差数列{a n }中，a 6=12a 4+4，∴ 2a 6−a 4=8=a 8． S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8=15×8=120．【答案】 2√3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度． 【解答】由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、D 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1， 在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴ EF =√3， ∴ DE =2√3， ∴ AA 1=2√3．三、解答题（共70分）【答案】（1）由正弦定理：sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ． 转换为：b 2+c 2−a 2=bc ， 即：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于：0<A <π，则：A =π3．（2）由于：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7， 所以：b 2+c 2−bc =7①． 由于：D 为BC 中点， 则：AD →2=12(AB →+AC →)，所以：4AD →2=(AB →+AC →)2， 即：b 2+c 2+bc =19② 由①②得：bc =6， 所以：S △ABC =12bcsinA =3√32【考点】 三角形求面积 【解析】（1）直接利用余弦定理求出A 的值．（2）利用余弦定理和向量的线性运算及三角形的面积公式求出结果． 【解答】（1）由正弦定理：sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ． 转换为：b 2+c 2−a 2=bc ， 即：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于：0<A <π， 则：A =π3．（2）由于：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7， 所以：b 2+c 2−bc =7①． 由于：D 为BC 中点， 则：AD →2=12(AB →+AC →)，所以：4AD →2=(AB →+AC →)2， 即：b 2+c 2+bc =19② 由①②得：bc =6， 所以：S △ABC =12bcsinA =3√32【答案】证明：∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，∴ ∠EDC =∠BAD =90∘，∵ DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴ AB =ED ，则△BAD ≅△EDC ， ∴ ∠DBA =∠DEH ．∵ ∠DBA +∠ADB =90∘，∴ ∠DEH +∠ADB =90∘，则BD ⊥EC ． 又∵ PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥PH ． 又∵ PH ∩EC =H ，且PH 、EC ⊂平面PEC ， ∴ BD ⊥平面PEC ，∵ PC ⊂平面PEC ，∴ PC ⊥BD ；假设线段PC 上存在一点F ，使三棱锥P −BFD 的体积为5√2，由（1）可知，△DHE∽△DAB，且求得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3．∵PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，∴∠HPC=45∘，∵BD⊥平面PEC，∴V P−BFD=V B−PHF+V D−PHF=13S△PHF×BD=13×12×PH×PF×sin45∘×5=5√23PF=5√2．∴PF=3，∵PC=4√2>3，∴线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】（1）由已知证明△BAD≅△EDC，得到∠DBA=∠DEH，再由∠DBA+∠ADB=90∘，可得∠DEH+∠ADB=90∘，即BD⊥EC．又PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PEC，进一步得到PC⊥BD；（2）由（1）可知，△DHE∽△DAB，解三角形可得EH，HC，DH，HB的值，结合PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，求得∠HPC=45∘，则BD⊥平面PEC，再由等积法求得PF=3，可得线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【解答】证明：∵AB // CD，∠BAD=90∘，∴∠EDC=∠BAD=90∘，∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，则△BAD≅△EDC，∴∠DBA=∠DEH．∵∠DBA+∠ADB=90∘，∴∠DEH+∠ADB=90∘，则BD⊥EC．又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH．又∵PH∩EC=H，且PH、EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD；假设线段PC上存在一点F，使三棱锥P−BFD的体积为5√2，由（1）可知，△DHE∽△DAB，且求得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3．∵PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，∴∠HPC=45∘，∵BD⊥平面PEC，∴V P−BFD=V B−PHF+V D−PHF=13S△PHF×BD=13×12×PH×PF×sin45∘×5=5√23PF=5√2．∴PF=3，∵PC=4√2>3，∴线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【答案】解：（1）利用区间中点值估算这160名学生的平均分为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72（分），众数的估计值为75分．（2）由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0.005×10=8(人)．设“从8人中任取2人，这两人成绩相同”为事件A，记这8人编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，其中4号、5号成绩为99分，6号、7号、8号的成绩为100分．由题意，从8人中任取2人，基本事件有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(1, 7)，(1, 8)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(2, 7)，(2, 8)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(3, 7)，(3, 8)，(4, 5)，(4, 6)，(4, 7)，(4, 8)，(5, 6)，(5, 7)，(5, 8)，(6, 7)，(6, 8)，(7, 8)，共28个．其中事件A所包含的基本事件为(4, 5)，(6, 7)，(6,8)，(7, 8)，共4个．由古典概型概率计算公式得P(A)=428=17．【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）利用区间中点值估算这160名学生的平均分为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72（分），众数的估计值为75分．（2）由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0.005×10=8(人)．设“从8人中任取2人，这两人成绩相同”为事件A，记这8人编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，其中4号、5号成绩为99分，6号、7号、8号的成绩为100分．由题意，从8人中任取2人，基本事件有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(1, 7)，(1, 8)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(2, 7)，(2, 8)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(3, 7)，(3, 8)，(4, 5)，(4, 6)，(4, 7)，(4, 8)，(5, 6)，(5, 7)，(5, 8)，(6, 7)，(6, 8)，(7, 8)，共28个．其中事件A所包含的基本事件的个数为(4, 5)，(6, 7)，(6,8)，(7, 8)，共4个．由古典概型概率计算公式得P(A)=428=17．【答案】点(2，在抛物线C 2上，∴ p =4，即c =2，即a 2+b 2=c 2=4，① ∵ 点P(2,（1）在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，∴ 4a 2+9b 2=1，②，由①②解得a 2=16，b 2=12， ∴ 椭圆方程为x 216+y 212=1；(Ⅱ)椭圆的右焦点为F(2, 0)，由题意可得直线k 的斜率存在， 设直线l 的方程为y =k(x −(2)，(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，当k ≠0时，y k =x −2，得t =k ⋅y 1−3x 1−2⋅y 2−3x 2−3=k 3⋅y 1−3y 1⋅y 2−3y 2=k 3[1−3(1y 1+1y 2)+9y 1y 2]联立直线方程和椭圆方程，消去x ，得(4+3k 2)y 2+12ky −36=0，显然可知△>0，则y 1+y 2=−12k4k 2+3，y 1y 2=−−36k 24k 2+3，∴ t =k 3(1−3y 1+y 2y 1y 2+9y1y 2)=−k 2−34k =−(k +38)2+964则当k =0时，t =0也满足上式，即t =−k 2−34k =0， ∴ 当k =−38时，t max =964． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）先求出c ，再根据点P(2, 3)在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，即可求出a 2=16，b 2=12，问题得以解决．（2）右焦点F(2, 0)，直线l:y =k(x −2)，（与椭圆的交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA ，k PB ，从而化简t =k PA ⋅k PB ⋅k ．从而求最大值即可． 【解答】 点(2，在抛物线C 2上，∴ p =4，即c =2，即a 2+b 2=c 2=4，① ∵ 点P(2,（1）在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上， ∴ 4a 2+9b 2=1，②，由①②解得a 2=16，b 2=12， ∴ 椭圆方程为x 216+y 212=1；(Ⅱ)椭圆的右焦点为F(2, 0)，由题意可得直线k 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x −(2)，(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，当k ≠0时，y k =x −2，得t =k ⋅y 1−3x 1−2⋅y 2−3x 2−3=k 3⋅y 1−3y 1⋅y 2−3y 2=k 3[1−3(1y 1+1y 2)+9y 1y 2]联立直线方程和椭圆方程，消去x ，得(4+3k 2)y 2+12ky −36=0，显然可知△>0，则y 1+y 2=−12k4k 2+3，y 1y 2=−−36k 24k 2+3，∴ t =k 3(1−3y 1+y 2y 1y 2+9y 1y 2)=−k 2−34k =−(k +38)2+964则当k =0时，t =0也满足上式，即t =−k 2−34k =0， ∴ 当k =−38时，t max =964．【答案】若−x 3+x 2=0，解得x =0或x =1，此时有两个零点，x =0或x =1， 若a >0时，f(x)=alnx ≥alne =a >0此时无零点， 当a <0时，f(x)=alnx ≤alne =a <0此时无零点， 综上所述，函数f(x)有两个零点0或1，假设曲线y =f(x)上存在两点M 、N 满足题设要求，则点M 、N 只能在y 轴两侧．不妨设M （t, f(t)）(t >0)，则N(−t, t 3+t 2)，∵ △MON 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴ OM →⋅ON →=0，即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M 、N ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M 、N ．若0<t <e ，则f(t)=−t 3+t 2代入①式得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0， 即t 4−t 2+1=0，而此方程无解，因此t ≥e ，此时f(t)=alnt ， 代入①式得：−t 2+(alnt)(t 3+t 2)=0，即1a =(t +1)lnt ②，令ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥e)， 则ℎ′(x)=lnx +1+1x >0，∴ ℎ(x)在[e, +∞)上单调递增，∵ t ≥e ，∴ ℎ(t)≥ℎ(e)=e +1，∴ ℎ(t)的取值范围是[e +1, +∞)． ∴ 对于0<a ≤1e+1，方程②总有解，即方程①总有解， 故a 的取值范围为(0, 1e+1]．【考点】分段函数的应用 【解析】（1）根据函数零点和方程根的关系即可判断，（2）假设曲线y =f(x)上存在两点M 、N 满足题设要求，则点M 、N 只能在y 轴两侧．不妨设M （t, f(t)）(t >0)，则N(−t, t 3+t 2)，运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥e)，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a 的范围． 【解答】若−x3+x2=0，解得x=0或x=1，此时有两个零点，x=0或x=1，若a>0时，f(x)=alnx≥alne=a>0此时无零点，当a<0时，f(x)=alnx≤alne=a<0此时无零点，综上所述，函数f(x)有两个零点0或1，假设曲线y=f(x)上存在两点M、N满足题设要求，则点M、N只能在y轴两侧．不妨设M（t, f(t)）(t>0)，则N(−t, t3+t2)，∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴OM→⋅ON→=0，即−t2+f(t)(t3+t2)=0①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M、N；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M、N．若0<t<e，则f(t)=−t3+t2代入①式得：−t2+(−t3+t2)(t3+t2)=0，即t4−t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f(t)=alnt，代入①式得：−t2+(alnt)(t3+t2)=0，即1a=(t+1)lnt②，令ℎ(x)=(x+1)lnx(x≥e)，则ℎ′(x)=lnx+1+1x>0，∴ℎ(x)在[e, +∞)上单调递增，∵t≥e，∴ℎ(t)≥ℎ(e)=e+1，∴ℎ(t)的取值范围是[e+1, +∞)．∴对于0<a≤1e+1，方程②总有解，即方程①总有解，故a的取值范围为(0, 1e+1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化．重点都是消去参数t．（2）利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．【解答】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【解答】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．。
2018届(文数)河南省郑州市高三第一次质量检测(模拟)Word版 含答案
2018高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数3i i-（i 为虚数单位）等于（ ） A.13i --B.13i -+C.13i +D.13i - 2.设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A B A ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A.{}2a a ≤ B.{}1a a ≤ C.{}1a a ≥ D.{}2a a ≥ 3.设向量(1,)a m =，(1,2)b m =-，且a b ≠，若()a b a -⊥，则实数m =（ ） A.12 B .13 C.1 D.24. 下列说法正确的是（ ）A .“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C.0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D .“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A.5B.4C.3D.26.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A.103cmB.203cmC.303cmD. 403cm 7.若将函数1()sin(2)23f x x π=+图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ） A.3[,]()44k k k Z ππππ++∈ B.[,]()44k k k Z ππππ-+∈ C.2[,]()36k k k Z ππππ--∈ D.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且*2120()n n n a a a n N ++-+=∈，记*12111...()n nT n N S S S =+++∈，则2018T =（ ）A.40342018B.20172018C.40362019D.201820199.已知函数,0()()2,0x e a x f x a R x a x ⎧-≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.01]（，B.[1,)+∞C.(0,1)D.(,1]-∞10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）A.2B.32-C.12-+D.1211.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数,a b 满足,,a G b 成等差数列且,,x G y 成等比数列，则14a b+的最小值为（ ）A.49 B .2 C.94 D.912.若对于任意的正实数,x y 都有(2)ln y y x x e x me -≤ 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A.1(,1)e B.21(,1]e C.21(,]e e D.1(0,]e第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13. 设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数4z x y =-的最小值为 .。
河南省郑州市2018届高三第一次模拟考试数学(文)附答案
河南省郑州市2018届高三第一次模拟考试数学（文）附答案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数3ii-（i 为虚数单位）等于（ ） A ．13i --B ．13i -+C ．13i +D ．13i -2．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A B A =，则a 的取值范围是（ ）A ．{}2a a ≤B ．{}1a a ≤C ．{}1a a ≥D ．{}2a a ≥3．设向量(1,)m =a ，(1,2)m =-b ，且≠a b ，若()-⊥a b a ，则实数m =（ ） A ．12B ．13C ．1D ．24．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034xx>成立 D ．“若1sin 2α≠，则π6α≠”是真命题 5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cm B ．320cmC ．330cmD ．340cm7．若将函数1π()sin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ）A ．π3ππ,π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．πππ,π()44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．2πππ,π()36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z D ．π5ππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且()2120n n n a a a n ++-+=∈*N ，记()12111...n nT n S S S =+++∈*N ，则2018T =（ ）A ．40342018B ．20172018C ．40362019D ．201820199．已知函数e ,0()()2,0x a x f x a x a x ⎧-≤=∈⎨->⎩R ，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01]（，B ．[1,)+∞C ．(0,1)D ．(,1]-∞10． 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）ABCD11．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数,a b 满足,,a G b 成等差数列且,,x G y 成等比数列，则14a b+的最小值为（ ） A ．49B ．2C ．94D ．912．若对于任意的正实数,x y 都有2ln ey y xx e x m ⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．21,1e ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．21,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数4z x y =-的最小值为 ．14．如果直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-平行，则a = ．15．已知数列{}n a 满足()212l o g1l o g n n a a n +=+∈*N ，且12310...1a a a a ++++=，则2101102110log (...)a a a +++= ．16．已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+． （1）求角C ；（2）若ABC △的面积为S =，求ab 的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表： 男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0．010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =AC =D 为线段AB 上的点，且2AD DB =，PD AC ⊥．（1）求证：PD ⊥平面ABC ； （2）若π4PAB ∠=，求点B 到平面PAC 的距离．20．（12分）已知圆22:2210C x y x y ++-+=和抛物线2:2(0)E y px p =>，圆心C 到抛物线焦点F 的．（1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的动直线l 交抛物线于,A B 两点，且满足OA OB ⊥．设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 方程．21．（12分）已知函数()ln (1)f x x a x =-+，a R ∈在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21()2(1)22x f x x k x -++>-成立，求k 的取值范围．选考题：共10分，请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。
郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测文科数学试题含答案
2018高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数3i i-（i 为虚数单位）等于（ ）A.13i --B.13i -+C.13i +D.13i -2.设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A B A ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A.{}2a a ≤B.{}1a a ≤C.{}1a a ≥D.{}2a a ≥3.设向量(1,)a m =，(1,2)b m =-，且a b ≠，若()a b a -⊥，则实数m =（ ） A.12B.13C.1D.24. 下列说法正确的是（ ）A .“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C.0(0,)x ∃∈+∞，使0034xx >成立D .“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A.5B.4C.3D.26.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A.103cmB.203cmC.303cmD. 403cm7.若将函数1()sin(2)23f x x π=+图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ） A.3[,]()44k k k Z ππππ++∈ B.[,]()44k k k Z ππππ-+∈ C.2[,]()36k k k Z ππππ--∈ D.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且*2120()n n n a a a n N ++-+=∈，记*12111...()n nT n N S S S =+++∈，则2018T =（ ）A.40342018B.20172018C.40362019D.201820199.已知函数,0()()2,0x e a x f x a R x a x ⎧-≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.01]（， B.[1,)+∞C.(0,1)D.(,1]-∞10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）A.B.C.D.11.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数,a b 满足,,a G b 成等差数列且,,x G y 成等比数列，则14a b+的最小值为（ ）A.49B.2C.94D.912.若对于任意的正实数,x y 都有(2)ln y y xx ex me-≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A.1(,1)eB.21(,1]eC.21(,]e eD.1(0,]e第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13.设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数4z x y=-的最小值为 .14.如果直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-平行，则a = .15.已知数列{}n a 满足*212log 1log ()n n a a n N +=+∈，且12310...1a a a a ++++=，则2101102110log (...)a a a +++= .16.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2FM FN =，则双曲线的渐近线方程为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若ABC的面积为2S c =，求ab 的最小值. 18.2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =AC =,D E 为线段AB 上的点，且2AD DB =，PD AC ⊥. （1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若4PAB π∠=，求点B 到平面PAC 的距离.20.已知圆22:2210C x y x y ++-+=和抛物线2:2(0)E y px p =>，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为.（1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的动直线l 交抛物线于,A B 两点，且满足OA OB ⊥.设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 方程. 21.已知函数()ln (1)f x x a x =-+，a R ∈在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21()2(1)22x f x x k x -++>-成立，求k 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是28cos =1cos θρθ-.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若4πα=，设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求A O B 的面积.23.设函数()3f x x =+，()21g x x =-.（1）解不等式()()f x g x <；（2）若2()()4f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.2018年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、 选择题二、填空题13.6;14.3;15.100;16..3y x =±三、解答题： 17．(1).sin sin sin a b cA B C==2sin cos 2sin sin ,C B A B =+由已知可得，2sin cos 2sin )sin .C B B C B =++则有（2sin cos sin 0,B C B ∴+=sin 0.B B ∴≠ 为三角形的内角1cos .2C ∴=- 2.3C C π∴=又为三角形的内角,（2）11sin ,.222S ab C c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又22223.4a b a b ab ab ∴=++≥12.ab ∴≥故ab 的最小值为12.18．（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名.80(5101547)3x ∴=-+++=，20(23102) 3.y ==+++=抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A ，B ，C ；两位女生设为a ，b .从5名任意选2名，总的基本事件有(A,B)，(A,)C ，(A,a)，(A,b)(,)B C ，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，(a,b)，共10个.设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A ”.则事件包含的基本事件有(A,a)，(A,b)，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)共6个.63(A)105P ∴== （2）22⨯列联表如下表：则222(ad bc)100(5015305)9.091.(a b)(c d)(a c)(b d)80205545n k -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯9.091 6.635> 且2(k 6.635)0.010P ≥=.所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘体育达人’与性别无关”.19．（1）证明：连接CD ，据题知.2,4==BD AD222,90,AC BC AB ACB +=∴∠=cos ABC ∠== 8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABC CD .22=∴CD 222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内，所以⊥PD 平面ABC ； （2）,4PAB π∠=4,PD AD ∴==PA ∴=Rt PCD PC ∴∆==在中， PAC ∴∆是等腰三角形，PAC S ∆∴可求得,B PAC d 设点到平面的距离为B PAC P ABC V V --=由，11,33PAC ABC S d S PD ∆∆∴⨯=⨯=3.ABC PAC S PD d S ∆∆⨯∴=B PAC 故点到平面的距离为320．（1）222:210C y x x y +-+=+可化为22(1)(1)1x y ++-=，则-1,1C 圆心为（）.∴抛物线的方程为212.y x =（2）1122(0),(,),(,).l x my t t A x y B x y =+≠设直线为：212120.y my t --=联立可得121212,12,y y m y y t ∴+==-1212,0,OA OB x x y y ⊥∴+=2212121)()0.m y y mt y y t ++++=即（2120t t -=整理可得，0,12.t t ≠∴= 12,l x my ∴=+直线的方程为：(12,0).l P 故直线过定(1,1)CN l M C l ∴⊥-当时，即动点经过圆心时到动直线的距离取得最大值.当l CP ⊥时，即动点M 经过圆心C(-1,1)时到动直线l 的距离取得最大值.,131,13112101=∴-=--==m k k CP MP21．（1）由已知可得()f x 的定义域为(0,).+∞ 1(),f x a x '=- (1)10,f a '∴=-= 1.a ∴=11()1,x f x x x-'∴=-= ()001,f x x '><<令得()01,f x x '<>令得()01+f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（1，）.（1） 不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为21l n (1)22x x x k x -+->-， 21()ln (1),(1),22x g x x x k x x =-+--->令 21(1)1()1,x k x g x x k x x-+-+'=-+-=令 1,x > 2()(1)1,h x x k x =-+-+令1(),2k h x x -=的对称轴为① 111,2k k -≤≥-当时，即0()1),h x x 易知在（，上单调递减 ()(1)1,h x h k ∴<=-1,()0,k h x ≥≤若则()0,g x '∴≤0()1),g x x ∴在（，上单调递减()(1)0g x g ∴<=，不适合题意.-1,(1)0,k h ≤<>若1则001)()0,x x x g x '∴∈>必存在使得（，时 0()1),g x x ∴在（，上单调递增()(1)0g x g ∴>=恒成立,适合题意.② 111,2k k -><-当时，即00()1),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()(1)10,h x h k ∴>=->()0,g x '∴>0()1),g x x ∴在（，上单调递增 ()(1)0g x g ∴>=恒成立,适合题意.综上，k 的取值范围是(,1).-∞22.(1)直线l 的参数方程为：1cos ,(sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）. 28cos sin θρθ= ，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=28.y x =即（2）当4πα=时，直线l的参数方程为：1,(2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）, 代入28y x =可得2160,t --=12,,A B t t 设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216t t =-12AB t t ∴=-=1sin 42O AB d π=⨯=又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=23.（本小题满分10分）(1)321,x x +<-由已知，可得22321.x x +<-即 21080,x x -->则有：32 4.3x x ∴<->或 2(,)(4,).3-∞-+∞ 故所求不等式的解集为： 45,3,1(2)()2()()23217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+=++-=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由已知，设 3454,49,x x ax ax x ≤--->+<--当时，只需恒成立即 499304x x a x x --≤-<∴>=-- 恒成立. ,1,)94(max ->∴-->∴a x a 1374,302x ax ax -<<>+-<当时，只需恒成立即恒成立. .61,61,0321033≤≤-∴⎩⎨⎧≤-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--a a a a a 只需 1454,4 1.2x x ax ax x ≥+>+<+当时，只需恒成立即 14110,42x x a x x+≥>∴<=+ 恒成立. 414>+x,且无限趋近于4， .4≤∴a综上，a 的取值范围是(1,4].-。
河南省郑州市2017-2018学年高三数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是渡河题目要求的.1．设全集U={x∈N*|x≤4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{1，3，4} D．{2，3，4}2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．i B．2﹣i C．1﹣i D．03．cos160°sin10°﹣sin20°cos10°（）A．﹣B．C．﹣D．4．函数f（x）=xcosx在点（0，f（0））处的切线斜率是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．5．已知函数f（x）=（）x﹣cosx，则f（x）在上的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内？处应补充的条件为（）A．i＞7 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥97．设双曲线+=1的一条渐近线为y=﹣2x，且一个焦点与抛物线x2=4y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．x2﹣5y2=1 B．5y2﹣x2=1 C．y2﹣5x2=1 D．5x2﹣y2=18．正项等比数列{a n}中的a1，a4031是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，则=（）A．1 B．2 C．D．﹣19．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．210．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥011．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2 D．﹣12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式2+af （x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的定义域是．14．若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为．15．△ABC的三个内角A，B，C，若=tan（﹣π），则tanA= ．16．已知向量，是平面内两个互相垂直垂直的单位向量，若（5﹣2）•（12﹣2）=0，则||的最大值是．三、解答题（满分60分）17．已知等差数列{a n}的首项a2=5，前4项和S4=28．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．18．为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率．（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民，现对A类和B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？19．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，BE⊥DF．（1）若M位EA的中点，求证：AC∥平面MDF；（2）若AB=2，求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y ﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．21．设函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲.22．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC 交过D，E，C三点的圆于点F．（1）求证：EC=EF；（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）=（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．2016年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是渡河题目要求的.1．设全集U={x∈N*|x≤4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{1，3，4} D．{2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由已知中全集U={x∈N*|x≤4}，A={1，4}，B={2，4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出A∩B，再求出其补集，即可求出答案．【解答】解：∵全集U={x∈N*|x≤4}={1，2，3，4}，A={1，4}，B={2，4}∴A∩B={4}，∴∁U（A∩B）={1，2，3}故选：A．2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．i B．2﹣i C．1﹣i D．0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：====1﹣i．故选：C．3．cos160°sin10°﹣sin20°cos10°（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出．【解答】解：cos160°sin10°﹣sin20°cos10°，=﹣cos20°sin10°﹣sin20°cos10°，=﹣（cos20°sin10°+sin20°cos10°），=﹣sin30°，=﹣，故选：C．4．函数f（x）=xcosx在点（0，f（0））处的切线斜率是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，即可求得切线的斜率．【解答】解：f（x）=xcosx的导数为f′（x）=cosx﹣xsinx，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=cos0﹣0=1．故选C．5．已知函数f（x）=（）x﹣cosx，则f（x）在上的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别作出y=（）x和y=cosx在上的函数图象，根据函数图象的交点个数来判断．【解答】解：令f（x）=0得（）x=cosx，分别作出y=（）x和y=cosx的函数图象，由图象可知y=（）x和y=cosx在上有3个交点，∴f（x）在上有3个零点．故选：C．6．按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内？处应补充的条件为（）A．i＞7 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥9【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前三次循环的结果，直到第三次按照已知条件需要输出，根据循环的i的值得到判断框中的条件．【解答】解：经过第一次循环得到S=3，i=3经过第二次循环得到S=3+33=30，i=5经过第三次循环得到S=30+35=273，i=7此时，需要输出结果，此时的i满足判断框中的条件故选：B．7．设双曲线+=1的一条渐近线为y=﹣2x，且一个焦点与抛物线x2=4y 的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．x2﹣5y2=1 B．5y2﹣x2=1 C．y2﹣5x2=1 D．5x2﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程﹣=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得b=﹣4a，又c2=1，即b﹣a=1，解得a，b，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点为（0，1），可得双曲线+=1（b＞0，a＜0），即为﹣=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即b=﹣4a，又c2=1，即b﹣a=1，解得a=﹣，b=．即有双曲线的方程为﹣5x2=1．故选：C．8．正项等比数列{a n}中的a1，a4031是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，则=（）A．1 B．2 C．D．﹣1【考点】等比数列的通项公式；利用导数研究函数的极值．【分析】f′（x）=x2﹣8x+6=0，由于a1，a4031是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，可得a1•a4031=6，a2016=．即可得出．【解答】解：f（x）=x3﹣4x2+6x﹣3，∴f′（x）=x2﹣8x+6=0，∵a1，a4031是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，∴a1•a4031=6，又a n＞0，∴a2016==．∴=1．故选：A．9．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积．【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，△BDE面积，三棱锥C1﹣BDE的高h=CC1=2，∴该四面体的体积：V==．故选：A．10．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥0【考点】全称．【分析】由∀x1∈[，3]，都∃x2∈，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈的最小值，构造关于a的不等式，可得结论．【解答】解：当x1∈[，3]时，由f（x）=x+得，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴f（x）在[，2]单调递减，在（2，3]递增，∴f（2）=4是函数的最小值，当x2∈时，g（x）=2x+a为增函数，∴g（2）=a+4是函数的最小值，又∵∀x1∈[，3]，都∃x2∈，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈的最小值，即4≥a+4，解得：a≤0，故选：C．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2 D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故选：D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式2+af （x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x），如图所示，2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得函数的定义域．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得x≥0所以函数的定义域是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）14．若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】由题意，所求概率满足几何概型的概率，只要分别求出S阴影，S N，求面积比即可．【解答】解：由题，图中△OCD表示N区域，其中C（6，6），D（2，﹣2）所以S N=×=12，S阴影==，所以豆子落在区域M内的概率为．故答案为：．15．△ABC的三个内角A，B，C，若=tan（﹣π），则tanA= 1 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由同角三角函数基本关系的运用可得=tan，利用两角和的正切函数公式可得tan（A+）=tan，结合角A的范围可求A，即可得解tanA的值．【解答】解：∵=tan（﹣π），⇒=tan，⇒tan（A+）=tan，∵＜A+＜，∴可得：A+=，解得A=，∴tanA=1．故答案为：1．16．已知向量，是平面内两个互相垂直垂直的单位向量，若（5﹣2）•（12﹣2）=0，则||的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量的坐标的运算得到x2﹣x+y2﹣6y=0，由它的几何意义求最值．【解答】解：设=（1，0），=（0，1），=（x，y），∴5﹣2=5（1，0）﹣2（x，y）=（5﹣2x，﹣2y），12﹣2=12（0，1）﹣2（x，y）=（﹣2x，12﹣2y），∵（5﹣2）•（12﹣2）=0，∴﹣2x（5﹣2x）﹣2y（12﹣2y）=0，∴x2﹣x+y2﹣6y=0，即（x﹣）2+（y﹣3）2=（）2，∴的在以（，3）为圆心，为半径的圆上，所以||的最大值是=+=，故答案为：．三、解答题（满分60分）17．已知等差数列{a n}的首项a2=5，前4项和S4=28．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）分组求和即可得出．【解答】解：（1）由已知条件：，∴，∴a n=a1+（n﹣1）×d=4n﹣3．（2）由（1）可得，T2n=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+（8n﹣3）=4×n=4n．18．为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率．（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民，现对A类和B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低．（2）由题可知A类市民和B类市民各有40人，分别从A类市民和B类市民各抽出两人，由此利用列举法能求出抽取4人中前两位均为B类市民的概率．【解答】解：（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，…则．…∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低．…（2）由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民各抽出两人，设从A类市民抽出的两人分别为A1、A2，设从B类市民抽出的两人分别为B1、B2．设从“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，…则事件M中首先抽出A1的事件有：（A1，A2，B1，B2），（A1，A2，B2，B1），（A1，B1，A2，B2），（A1，B1，B2，A2），（A1，B2，A2，B1），（A1，B2，B1，A2）共6种．同理首先抽出A2、B1、B2的事件也各有6种．故事件M共有4×6=24种．…设从“抽取4人中前两位均为B类市民”为事件N，则事件N有（B1，B2，A1，A2），（B1，B2，A2，A1），（B2，B1，A1，A2），（B2，B1，A2，A1）．∴．∴抽取4人中前两位均为B类市民的概率是．…19．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，BE⊥DF．（1）若M位EA的中点，求证：AC∥平面MDF；（2）若AB=2，求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；（2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积．【解答】（1）证明：设EC与DF交于点N，连结MN，∵矩形CDEF，∴点N为EC中点，∵M为EA中点，∴MN∥AC，又∵AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，∴AC∥平面MDF．（2）解：取CD中点为G，连结BG，EG，∵，∠BAD=90°，∴四边形ABGD是矩形，∴BG⊥CD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，BG⊂平面ABCD，BG⊥CD，∴BG⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD，又∵DF⊂平面CDEF，∴BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG=B，∴DF⊥平面BEG，D F⊥EG．∴Rt△DEG～Rt△EFD，∴DE2=DG•EF=8，，∴．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y ﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，，由此能求出曲线E的方程．（2）由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，由此利用圆的几何性质，能求出线CD的方程．【解答】（1）解：设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，，…整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，∴曲线E的方程为（x﹣2）2+y2=3．…（2）解：由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），…设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，由，解得点，…由圆的几何性质，，…而，|ED|2=3，，解之得t=0，或t=3，…∴直线CD的方程为y=﹣x，或y=﹣x+3．…21．设函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题等价于求F（x）的零点个数，结合函数的单调性以及m的范围，求出即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，…当时，f'（x）＜0，函数f（x）的单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增．综上：函数f（x）的单调增区间是，减区间是．…（2）令，问题等价于求函数F（x）的零点个数，…，当m=1时，F'（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到，F（4）=﹣ln4＜0，所以F（x）有唯一零点；…当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时F'（x）＜0，1＜x＜m时F'（x）＞0，所以函数F（x）在（0，1）和（m，+∞）单调递减，在（1，m）单调递增，注意到，F（2m+2）=﹣mln（2m+2）＜0，所以F（x）有唯一零点；…综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲.22．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC 交过D，E，C三点的圆于点F．（1）求证：EC=EF；（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）证明∠ECF=∠EFC，即可证明EC=EF；（2）证明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割线定理，即可求AC•AF的值．【解答】（1）证明：因为∠ECF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA，∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，AE平分∠BAC，所以∠ECF=∠EFC，所以EC=EF．﹣﹣﹣（2）解：因为∠ECD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC，所以△CEA∽△DEC，即，﹣﹣﹣由（1）知，EC=EF=3，所以，﹣﹣﹣所以．﹣﹣﹣选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ，能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1消去参数，得C1的直角坐标方程为，求出圆心到直线C1的距离，由此能求出动点M到曲线C1的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ），…即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，故C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．…（Ⅱ）∵曲线C1的参数方程为，∴C1的直角坐标方程为，由（Ⅰ）知曲线C2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线C1的距离，…∴动点M到曲线C1的距离的最大值为．…选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）=（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；分段函数的应用．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集．（2）由条件利用基本不等式求得，f（x）∈[﹣3，1），再由，求得a的范围．【解答】（1）解：当x＞2时，原不等式可化为x﹣2﹣x﹣1＞1，此时不成立；当﹣1≤x≤2时，原不等式可化为2﹣x﹣x﹣1＞1，即﹣1≤x＜0，当x＜﹣1时，原不等式可化为2﹣x+x+1＞1，即x＜﹣1，综上，原不等式的解集是{x|x＜0}．（2）解：因为当x＞0时，，当且仅当时“=”成立，所以，，所以f（x）∈[﹣3，1），∴，即a≥1为所求．2016年7月5日。
数学文卷·2018届河南省六市高三第一次联考
河南省六市2018届高三第一次联考（一模）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}4,3,2,1{=A ，}03|{2≤-=x x x B ，则=B A （ ） A ．}3,2,1{ B ．]3,1[ C ．}3,2,1,0{ D ．]3,0[ 2．已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．113．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则y x +2的最大值为（ ）A ．4B ．7C ．10D ．124．在等差数列}{n a 中，105531=++a a a ，99642=++a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．18 5．已知函数)0)(6sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象与函数)2|)(|2cos()(πϕϕ<+=x x g 的图象的对称中心完全相同，则ϕ为（ ） A ．6π B ．6π- C ．3πD ．3π-6．在空间中，b a ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若αα//,//b a ，则b a //B ．若βαβα⊥⊂⊂,,b a ，则b a ⊥C ．若b a a //,//α，则α//bD ．若αβα⊂a ,//，则β//a7．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在]50,10[，其中支出金额在]50,30[的学生有17人，频率分布直方图如图所示，则=n （ ）A ．180B ．160C ．150D ．2008．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A ．152B ．15C ．2D ．4 9．若函数|1|||)(2xx x f -=在},4||1|{R x x x ∈≤≤上的最大值为M ，最小值为m ，则=-m M （ ）A ．1631 B ．2 C ．49 D ．411 10．若正项递增等比数列}{n a 满足0)()(15342=-+-+a a a a λ（R ∈λ），则76a a λ+的最小值为（ ） A. 2-B. 4-C. 2D. 411．如图是计算函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤-=2,21,01,2x x x x x y 的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（ ）A ．2,0,x y y x y ==-=B ．0,,2==-=y x y x yC ．x y x y y -===,,02D ．2,,0x y x y y =-==12．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：)()2(x f e x f -=+（其中 71828.2=e ），且在区间]2,[e e 上是减函数，令22ln =a ，33ln =b ，55ln =c ，则)(a f ，)(b f ，)(c f 的大小关系（用不等号连接）为（ ）A ．)()()(c f a f b f >>B ．)()()(a f c f b f >>C ．)()()(c f b f a f >>D ．)()()(b f c f a f >>二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设)1,1(=a ，)2,1(=b ，b a k c +=，若c a ⊥，则=k . 14．已知函数)0()(≠++=x b xax x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为52+=x y ，则=-b a .15．抛物线)0(22>=a ax y 的焦点为F ，其准线与双曲线19422=-x y 相交于N M ,两点，若0120=∠MEN ，则=a .16．已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，若}{n a 和}{n S 都是等差数列，且公差相等，则=2a .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别是c b a ,,，满足B c C b B a cos cos cos 4=-. （1）求B cos 的值；（2）若3=⋅BC BA ，23=b ，求a 和c 的值.18．高三一班、二班各有6名学生参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示.（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x 值；（2）若将竞赛成绩在]100,85[),85,75[),75,60[内的学生在学校推优时，分别赋1分，2分，3分，现在一班的6名参赛学生中取两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率.19．如图已知四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠BAD ，5==SD SA ，7=SB ，点E 是棱AD 的中点，点F 在SC 棱上，且λ=SCSF，//SA 平面BEF .（1）求实数λ的值；（2）求三棱锥EBC F -的体积.20．已知椭圆)0(02222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，上顶点为M ，若直线1MF 的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N ，MN F 2∆的周长为24. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于Q P ,两点，点P 在点Q 的上方，若MP F NQ F S S 1132∆∆=，求直线l 的斜率. 21．已知函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f .（1）当4=a 时，求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （2）若当),1(+∞∈x 时，0)(>x f ，求a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .数学答案一、选择题1-5：ACCBD 6-10：DABAD 11-12：BA二、填空题13．23-14．8- 15．13263 16．43三、解答题17．解：（1）由题意得，B C C B B A cos sin cos sin cos sin 4=-所以A C B B C C B B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 4=+=+= 因为0sin ≠A 所以41cos =B （2）由3=⋅得12,3cos ==ac B ac由B ac c a b cos 2222-+=，23=b 可得2422=+c a ， 所以可得32==c a .18．解：（1）由93+90+x +81+73+77+61=90+94+84+72+76+63 得4=x .（2）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名没赋3分的学生为21,A A ，赋2分的学生为21,B B ，赋1分的学生为21,C C ， 则从6人抽取两人的基本事件为212212211121221222122111211121,,,,,,,,,,,,,,C C C B C B C B C B B B C A C A B A B A C A C A B A B A A A 共15种其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为31155==P . 19.解：（1）连接AC ，设G BE AC = ，则平面 SAC 平面FG EFB =，∵GEA ∆∽GBC ∆，∴21==BC AE GC AG ， ∴SC SF GC AG FC SF 3121=⇒==，∴31=λ （2）∵5==SD SA ，∴AD SE ⊥，2=SE ， 又∵2==AD AB ，060=∠BAD ，∴3=BE ， ∴222SB BE SE =+，∴BE SE ⊥， ∴⊥SE 平面ABCD 所以934260sin 22313131320=⨯⨯⨯⨯===---ABCD S EBC S BCE F V V V . 20.（1）因为MN F 1∆的周长为24，所以244=a ，即2=a ，由直线1MF 的斜率1，得1=cb因为222c b a +=，所以1,1==c b所以椭圆的标准方程为1222=+y x （2）由题意可得直线1MF 方程为1+=x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x x y , 解得)31,34(--N ，所以31||||11=MF NF ，因为MP F NQ F S S 1132∆∆=，即)sin ||||21(32sin ||||21111111M PF PF MF N QF QF NF ∠⋅=∠， 所以||2||11PF QF =，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为1-=my x ，),(),,(2211y x Q y x P ，由点P 在点Q 的上方，则122y y -=联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x m y x ，所以012)2(22=--+my y m ， 所以21,22221221+-=+=+m y y m m y y ，消去2y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2122222121m y m m y ，所以21)2(82222+=+m m m 得722=m ，714±=m ， 又由画图可知714=m 不符合题意，所以714-=m ， 故直线l 的斜率为2141-=m . 21．（1）)(x f 的定义域为),0(+∞当4=a 时，)1(4ln )1()(--+=x x x x f ，31ln )('-+=xx x f ， 0)1(,2)1('=-=f f所以曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为022=-+y x . （2）当),1(+∞∈x 时，0)(>x f 等价于01)1(ln >+--x x a x令1)1(ln )(+--=x x a x x g ， 则222)1(1)1(2)1(21)('++-+=+-=x x x a x x a x x g ，0)1(=g ， ①当2≤a ，),1(+∞∈x 时，0121)1(222>+-≥+-+x x x a x ，故)(,0)('x g x g >在),1(+∞∈x 上单调递增，因此0)(>x g ；②当2>a 时，令0)('=x g 得1)1(121----=a a x ，1)1(122--+-=a a x ，由12>x 和121=x x 得11<x ，故当),1(2x x ∈时，0)('<x g ，)(x g 在),1(2x x ∈上单调递减，因此0)(<x g . 综上，a 的取值范围是]2,(-∞.22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=，所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 221222（t 为参数）代入04422=--+y x y x ，得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a b a b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。
河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟)文科数学试题
2018高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数3i i-（i 为虚数单位）等于（ ）A.13i --B.13i -+C.13i +D.13i -2.设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A B A ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A.{}2a a ≤B.{}1a a ≤C.{}1a a ≥D.{}2a a ≥3.设向量(1,)a m =，(1,2)b m =-，且a b ≠，若()a b a -⊥，则实数m =（ ） A.12B.13C.1D.24. 下列说法正确的是（ ）A .“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C.0(0,)x ∃∈+∞，使0034xx>成立 D .“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ） A.5 B.4 C.3 D.26.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A.103cm B.203cmC.303cmD.403cm7.若将函数1()sin(2)23f x x π=+图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ）A.3[,]()44k k k Z ππππ++∈ B.[,]()44k k k Z ππππ-+∈ C.2[,]()36k k k Z ππππ--∈ D.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且*2120()n n n a a a n N ++-+=∈，记*12111...()n nT n N S S S =+++∈，则2018T =（ ） A.40342018 B.20172018C.40362019D.201820199.已知函数,0()()2,0x e a x f x a R x a x ⎧-≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.01]（，B.[1,)+∞C.(0,1)D.(,1]-∞10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）11.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数,a b 满足,,a G b 成等差数列且,,x G y 成等比数列，则14ab+的最小值为（ ）A.49B.2C.94D.9 12.若对于任意的正实数,x y 都有(2)ln y y x x e x me-≤ 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A.1(,1)e B.21(,1]e C.21(,]e e D.1(0,]e第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13. 设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数4z x y =-的最小值为.14.如果直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-平行，则a = . 15.已知数列{}n a 满足*212log 1log ()n n a a n N +=+∈，且12310...1a a a a ++++=，则2101102110log (...)a a a +++= .16.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若ABC 的面积为2S c =，求ab 的最小值. 18.2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过附：（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =AC =,D E 为线段AB 上的点，且2AD DB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若4PAB π∠=，求点B 到平面PAC 的距离.20.已知圆22:2210C x y x y ++-+=和抛物线2:2(0)E y px p =>，圆心C 到抛物线焦点F （1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的动直线l 交抛物线于,A B 两点，且满足OA OB ⊥.设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 方程.21.已知函数()ln (1)f x x a x =-+，a R ∈在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21()2(1)22x f x x k x -++>-成立，求k 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是28cos =1cos θρθ-. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若4πα=，设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.设函数()3f x x =+，()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若2()()4f x g x ax +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.2018年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案二、填空题13.6;14.3;15.100;16..y x = 三、解答题： 17．(1).sin sin sin a b cA B C==2sin cos 2sin sin ,C B A B =+由已知可得，2sin cos 2sin )sin .C B B C B =++则有（2sin cos sin 0,B C B ∴+=sin 0.B B ∴≠ 为三角形的内角1cos .2C ∴=-2.3C C π∴=又为三角形的内角,（2）11sin ,.22S ab C c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又22223.4a b a b ab ab ∴=++≥12.ab ∴≥ 故ab 的最小值为12.18．（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名.80(5101547)3x ∴=-+++=，20(23102) 3.y ==+++=抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A ，B ，C ；两位女生设为a ，b .从5名任意选2名，总的基本事件有(A,B)，(A,)C ，(A,a)，(A,b)(,)B C ，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，(a,b)，共10个.设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A ”.则事件包含的基本事件有(A,a)，(A,b)，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)共6个.63(A)105P ∴==则222(ad bc)100(5015305)9.091.(a b)(c d)(a c)(b d)80205545n k -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯9.091 6.635> 且2(k 6.635)0.010P ≥=.所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘体育达人’与性别无关”.19．（1）证明：连接CD ，据题知.2,4==BD AD222,90,AC BC AB ACB +=∴∠= cos ABC ∠== 8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABCCD .22=∴CD 222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面 因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内，所以⊥PD 平面ABC ；（2）,4PAB π∠=4,PD AD ∴==PA ∴=Rt PCD PC ∴∆==在中， PAC ∴∆是等腰三角形，PAC S ∆∴可求得,B PAC d 设点到平面的距离为B PAC P ABC V V --=由，11,33PAC ABC S d S PD ∆∆∴⨯=⨯=3.ABC PAC S PD d S ∆∆⨯∴=B PAC 故点到平面的距离为320．（1）222:210C y x x y +-+=+可化为22(1)(1)1x y ++-=，则-1,C 圆心为（）.∴抛物线的方程为212.y x =（2）1122(0),(,),(,).l x my t t A x y B x y =+≠设直线为：212120.y my t --=联立可得121212,12,y y m y y t ∴+==- 1212,0,OA OB x x y y ⊥∴+=2212121)()0.m y y mt y y t ++++=即（2120t t -=整理可得，0,12.t t ≠∴=12,l x my ∴=+直线的方程为：(12,0).l P 故直线过定(1,1)CN l M C l ∴⊥-当时，即动点经过圆心时到动直线的距离取得最大值.当l CP ⊥时，即动点M 经过圆心C(-1,1)时到动直线l 的距离取得最大值.,131,13112101=∴-=--==m k k CP MP21．（1）由已知可得()f x 的定义域为(0,).+∞1(),f x a x '=- (1)10,f a '∴=-= 1.a ∴=11()1,x f x x x-'∴=-= ()001,f x x '><<令得()01,f x x '<>令得()01+f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（1，）.（1） 不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为21ln (1)22x x x k x -+->-， 21()ln (1),(1),22x g x x x k x x =-+--->令21(1)1()1,x k x g x x k x x-+-+'=-+-=令1,x > 2()(1)1,h x x k x =-+-+令1(),2kh x x -=的对称轴为 ① 111,2kk -≤≥-当时，即0()1),h x x 易知在（，上单调递减 ()(1)1,h x h k ∴<=-1,()0,k h x ≥≤若则()0,g x '∴≤0()1),g x x ∴在（，上单调递减()(1)0g x g ∴<=，不适合题意.-1,(1)0,k h ≤<>若1则001)()0,x x x g x '∴∈>必存在使得（，时 0()1),g x x ∴在（，上单调递增()(1)0g x g ∴>=恒成立,适合题意.② 111,2kk -><-当时，即00()1),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()(1)10,h x h k ∴>=->()0,g x '∴>0()1),g x x ∴在（，上单调递增 ()(1)0g x g ∴>=恒成立,适合题意.综上，k 的取值范围是(,1).-∞22.(1)直线l 的参数方程为：1cos ,(sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）. 28cos sin θρθ=，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=28.y x =即 （2）当4πα=时，直线l的参数方程为：1,2(2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,代入28y x =可得2160,t --=12,,A B t t 设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216t t =-12AB t t ∴=-==1sin,42O AB d π=⨯=又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=23.（本小题满分10分）(1)321,x x +<-由已知，可得22321.x x +<-即21080,x x -->则有：3 24.3x x ∴<->或 2(,)(4,).3-∞-+∞ 故所求不等式的解集为： 45,3,1(2)()2()()23217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+=++-=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由已知，设3454,49,x x ax ax x ≤--->+<--当时，只需恒成立即499304x x a x x --≤-<∴>=-- 恒成立.,1,)94(max ->∴-->∴a x a 1374,302x ax ax -<<>+-<当时，只需恒成立即恒成立..61,61,0321033≤≤-∴⎩⎨⎧≤-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--a a a a a 只需1454,4 1.2x x ax ax x ≥+>+<+当时，只需恒成立即14110,42x x a x x +≥>∴<=+ 恒成立.414>+x ,且无限趋近于4，.4≤∴a综上，a 的取值范围是(1,4].-。
河南省郑州市新郑三中2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
河南省郑州市新郑三中2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是( )A．（1，3）B．[1，3]C．（1，3]D．[1，3）2．设z=，则|z|=( )A．B．1 C．2 D．3．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为( )A．B．C．D．5．已知函数y=f（x），将其图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后再将它所得的图形沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，则y=f（x）的解析式是( )A．B．C．D．6．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．7．下列函数中，既是奇函数，又是增函数是( )A．f（x）=x|x| B．f（x）=﹣x3C．f（x）=D．f（x）=8．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=( ) A．1 B．2 C．3 D．49．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i≤2011 B．i＞2011 C．i≤1005 D．i＞100510．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为( )A．B．4 C．D．11．已知函数f（x）=x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为( )A．B．C．D．12．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )A．f（a）＜f（1）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．13．已知函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且当x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是__________．14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是__________．15．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．16．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是__________．三、解答题：本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．数列{a n}的前n项和为Pn，若（n∈N*），数列{b n}满足2b n+1=b n+b n+2（n∈N*），且b3=7，b8=22．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）设数列c n=a n b n，求{c n}的前n项和S n．18．中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对2014-2015学年高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10[80，90）[90，100]14 0.28合计 1.00（1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）请你估算该年级的平均数及中位数．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．在平面直角坐标系内已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．（I）求动点P所在曲线C的方程；（II）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．21．设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．选修4﹣1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC（1）求证：MN=MB；（2）求证：OC⊥MN．23．已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．河南省郑州市新郑三中2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是( )A．（1，3）B．[1，3]C．（1，3]D．[1，3）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据根式函数和对数函数的性质即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，解得1＜x≤3，∴函数的定义域为（1，3]．故选：C．点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．2．设z=，则|z|=( )A．B．1 C．2 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：z==+2i=1﹣i+2i=1+i，则|z|=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案．解答：解：当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题．4．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为( )A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．解答：解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．点评：本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．5．已知函数y=f（x），将其图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后再将它所得的图形沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，则y=f（x）的解析式是( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：规律型．分析：此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿x轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到y=f（x）的解析式，选出正确选项解答：解：由题意曲线与的图象沿x轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到y=f（x）的图形，故的图形沿x轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选D点评：本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量x的系数不是1的情况，平移时要注意平移的大小是针对于x系数是1来说的．6．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，求出a，c，即可求出该双曲线的离心率．解答：解：由题意，∵双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，∴a=1，∵b=1，∴c=，∴e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．7．下列函数中，既是奇函数，又是增函数是( )A．f（x）=x|x| B．f（x）=﹣x3C．f（x）=D．f（x）=考点：奇函数；偶函数．专题：函数的性质及应用．分析：四个选项中都给出了具体的函数解析式，其中选项A是分段函数，可由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）知函数为奇函数，在分析x＞0时函数的增减性，根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性；选项B举一反例即可；C、D中的两个函数，定义域均不关于原点对称，都不是奇函数．解答：解：由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|=当x＞0时，f（x）=x2在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f（x）=﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．∵2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）=x3在定义域内不是增函数，故B不正确．∵不关于原点对称，∴f（x）=sinx在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．∵f（x）=的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）=在定义域内不是奇函数，故D不正确．故选A．点评：怕断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，若对称，由f（﹣x）=﹣f（x）知函数为定义域上的奇函数，由f（﹣X）=f（x）知函数为定义域上的偶函数；若定义域不关于原点对称，在定义域内函数是非奇非偶的．有时也可以根据函数图象的特点分析，函数图象关于原点中心对称是函数为奇函数的充要条件，关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件．8．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=( ) A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据A、M、B三点共线，可得存在实数μ使=μ成立，化简整理得=，结合已知等式建立关于λ、μ的方程组，解之即可得到实数λ的值．解答：解：∵△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得=μ，即化简得=，∵=﹣2+λ，∴结合平面向量基本定理，得，解之得λ=3，μ=﹣故选：C点评：本题给出A、M、B三点共线，求用向量、表示的表达式，着重考查了平面向量的线性运算和平面向量基本定理等知识，属于基础题．9．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i≤2011 B．i＞2011 C．i≤1005 D．i＞1005考点：循环结构；数列的求和．专题：常规题型．分析：由已知中该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为2011，即小于等于2011的数满足循环条件，大于2011的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为2011，即小于等于2011的数满足循环条件，大于2011的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：I≤2011故选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．10．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为( )A．B．4 C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，不难得到侧视图，然后求出面积．解答：解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：2故选：D．点评：本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．11．已知函数f（x）=x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为( )A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的综合应用．分析：因为的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，所以利用导函数的几何含义可以求出b=1，然后利用裂项法进行求和即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，由f（x）=x2﹣bx求导得：f′（x）=2x﹣b，由导函数得几何含义得：f′（1）=2﹣b=3⇒b=﹣1，∴f（x）=x2+x则f （n ）=n （n+1），∴数列{}的通项为 ，则数列的前n 项的和即为S n ， 则利用裂项相消法可以得到：S 2014=1=1=，故选：A 点评：此题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用利用裂项相消法求数列的前n 项和的方法12．已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x+x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A ．f （a ）＜f （1）＜f （b ） B ．f （a ）＜f （b ）＜f （1） C ．f （1）＜f （a ）＜f （b ） D ．f （b ）＜f （1）＜f （a ）考点：对数函数图象与性质的综合应用． 专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的判定定理，可得0＜a ＜1＜b ＜2，再由函数f （x ）=e x+x ﹣2在（0，+∞）上是增函数， 可得结论．解答： 解：∵函数f （x ）=e x+x ﹣2的零点为a ，f （0）=﹣1＜0，f （1）=e ﹣1＞0，∴0＜a ＜1．∵函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，g （1）=﹣1＜0，g （2）=ln2＞0，∴1＜b ＜2． 综上可得，0＜a ＜1＜b ＜2．再由函数f （x ）=e x+x ﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得 f （a ）＜f （1）＜f （b ）， 故选A ．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理，函数的单调性的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．13．已知函数y=f （x ）是偶函数，当x ＞0时，f （x ）=x+，且当x ∈[﹣3，﹣1]时，f （x ）的值域是[n ，m ]，则m ﹣n 的值是1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：应用偶函数的性质化f （x ）在[﹣3，﹣1]上的值域为f （x ）在[1，3]上的值域；从而求解．解答： 解：∵函数y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在[﹣3，﹣1]上的值域与f （x ）在[1，3]上的值域相同；而当x ＞0时，f （x ）=x+， 故f （x ）在[1，3]上的值域为[4，5]； 故m ﹣n=1． 故答案为：1．点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：利用反证法，即可得出结论．解答：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．解答：解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．16．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题属于几何概型的概率求法，求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域对应区域为正方形，边长为2，对应的面积S=2×2=4，不等式x+y≤对应的区域如图：对应三角形OAB，当x=0时，y=，当y=0时，x=，即A（0，），B（，0），则△AOB的面积为=1，则所取的点恰好满足x+y≤的概率P=；故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应的图形的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．数列{a n}的前n项和为Pn，若（n∈N*），数列{b n}满足2b n+1=b n+b n+2（n∈N*），且b3=7，b8=22．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）设数列c n=a n b n，求{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数列的递推关系进行化简即可求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）求出{c n}的通项公式，利用错位相减法进行求和．解答：解：（1）数列{b n}是等差数列，公差，b n=b3+（n﹣3）d=3n﹣2∵当n=1时，得，当n≥2时，得当n=1时，也满足上式．∴a n=（）n，n∈N•（2）由（1）知，∴c n=（3n﹣2）•（）n，n∈N•．∴S n=1•（）+4×（）2+7×（）3+…（3n﹣5）×（）n﹣1+（3n﹣2）×（）n，于是S n=1•（）2+4×（）3+7×（）4+…（3n﹣5）×（）n+（3n﹣2）×（）n+1，②两式①﹣②相减得S n=+3[（）2+（）3+（）4+…+（）n]﹣（3n﹣2）×（）n+1═+3[]﹣（3n﹣2）×（）n+1=﹣（3n+2）×（）n+1，∴S n=﹣（3n+2）×（）n点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和，要求熟练掌握错位相减法法在数列求和过程中的应用．18．中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对2014-2015学年高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10[80，90）[90，100]14 0.28合计 1.00（1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）请你估算该年级的平均数及中位数．考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布直方图直接填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，即可标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）利用频率分布直方图以及分布表，即可估算该年级的平均数及中位数．解答：解：（1）分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10 0.2[80，90）16 0.32[90，100]14 0.28合计50 1.00（2）设所求平均数为，由频率分布直方图可得：所以该年级段的平均分数约为81．设中位数为X，依题意得0.04+0.16+0.2+0.032×（x﹣80）=0.5解得x=83.125点评：本题考查频率分布直方图以及分布表的应用，考查平均数以及中位数的计算，考查计算能力．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C 中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．解答：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面AB1C，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴V C﹣BC1D=V C1﹣BCD=••6=9．点评：本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．20．在平面直角坐标系内已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．（I）求动点P所在曲线C的方程；（II）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：向量与圆锥曲线．分析：（I）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程．（II）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．解答：解：：（I）依据题意，有=（x+1，y），=（x﹣1，y），∵，∴x2﹣1+2y2=1，∴动点P所在曲线C的轨迹方程是+y2=1．（II）因直线l过点B，且斜率为k=﹣，故有l：y=﹣（x﹣1）．联立方程组，得2x2﹣2x﹣1=0．设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=．又++=，点G与点H关于原点对称，于是，可得点H（﹣1，﹣）、G（1，）．若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y﹣=（x﹣），l2：y=﹣x．联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（，﹣）．因此，可算得|O1H|==，|O1M|==．所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（，﹣），半径为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键，属于难题．21．设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）由题意h（x）=xlnx﹣x2+1，二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的单调区间；（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），对其二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的最值，将恒成立问题化为最值问题，从而求解．解答：解：（1）h（x）=xlnx﹣x2+1h′（x）=lnx+1﹣2x令t（x）=lnx+1﹣2x t′（x）=﹣2=∴t（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴t（x）≤t（）=﹣ln2＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），则F′（x）=lnx+1﹣2mx，令G（x）=lnx+1﹣2mx，则G′（x）=﹣2m，①当m≥时，∵x≥1，∴≤1，∴﹣2m≤0，即G′（x）≤0；∴G（x）在[1，+∞）上单调递减，∴G（x）≤G（1）=1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴f（x）﹣mg（x）≤0，∴m≥符合题意；②当m≤0时，显然有F′（x）=lnx+1﹣2mx≥0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；③当0＜m＜时，令G′（x）=﹣2m＞0解得：1＜x＜，G′（x）=﹣2m＜0解得：x＞；∴G（x）在[1，]上单调递增，∴G（x）≥G（1）=1﹣2m＞0，即F′（x）＞0；∴F（x）在[1，]上单调递增；∴当x∈（0，）时，F（x）＞F（0）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；综合①②③可知，m≥符合题意，∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用，难在二阶求导以判断函数的单调性与最值，同时考查了恒成立问题化成最值问题的处理方法，属于难题．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．选修4﹣1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC（1）求证：MN=MB；（2）求证：OC⊥MN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）连结AE，BC，根据直径所对的圆周角是直角，得∠AEB=90°，根据等量代换得∠MBC=∠MCB，最后利用三角形的性质即可得出MB=MC，从而得到MN=MB；（2）设OC∩BE=F，根据OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由（1）知，∠MBC=∠MCB，等量代换得∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°即可证出结论．解答：证明：（Ⅰ）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC，∴MN=MB．…（Ⅱ）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．…点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、圆的性质的应用等基础知识，考查化归与转化思想．属于基础题．23．已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．考点：参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线AB的方程，代入，可得3x2﹣4x=0，即可求出|AB|的长度；（Ⅱ）直线参数方程代入，A，B对应的参数为t1，t2，则|PA|•|PB|=﹣t1t2，即可求出|PA|•|PB|的范围．解答：解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C的普通方程为．当θ=时，直线AB的方程为，y=x﹣1，代入，可得3x2﹣4x=0，∴x=0或x=∴|AB|=•=；（Ⅱ）直线参数方程代入，得（cos2θ+2sin2θ）t2+2tcosθ﹣1=0．设A，B对应的参数为t1，t2，∴|PA|•|PB|=﹣t1t2==∈[，1]．点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围．解答：解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3，∴a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，利用分段函数化简函数表达式是解题的关键．。
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2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5分）复数竿（i为虚数单位）等于（）1A.- 1 - 3iB.- 1+3iC. 1 - 3iD. 1+3i2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是（）A. {a| a<2}B. {a|a< 1}C. {a| a> 1}D. {a| a>2}3. （5 分）设向量a= （1，m），b= （m - 1，2），且a M b，若（3 - b）丄3，贝U实数m=（）A. 2B. 1C. — D•丄4. （5分）下列说法正确的是（）A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< TB. 若am2v bm2，则a v b”的逆命题为真命题C. ? X o €（ 0， +x），使3K°>4S°成立D. 若二，7-，则—”是真命题5. （5分）我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）(5 分)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a i =1, a 2=2，且 a n +2 — 2a n +什a n =O (n € I 「丨"，则 T 2018=()9. （5分）已知函数，若函数f （x ）在R 上有两个零（Sa-ajA . （5分）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，贝U 该几何体的体积等于单位，得到g （x ）的图象, K T十in （ 则函数g （x ）的单调递增区间为（ 图象上的每一个点都向左平移 A . [k n —C. [k n —2^ ,k n —芈](k € Z )D . [k n6，k12](k € Z )](k € Z )8.4 B.5 C. 2 D . 36. 7. （5分）若将函数f （x ）(k € Z ) B. [k,kA .N *)点，则实数a的取值范围是（）A.（0，1]B. [1，+x）C. （0, 1）D. （-X, 1]2 210. （5分）已知椭圆U 的左顶点和上顶点分别为A，B,左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1丄PF2,则椭圆的离心率的平方为（）A. B.3占 C. ■' D. ：1222211. （5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b 满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列，贝匚―的最小值为（）a b甲1乙8868 x0迖02>6g t36A峙B.2 C.97D.12. （5分）若对于任意的正实数x, y都有成立，则实数m& x me的取值范围为（）A.（丄.1）B. 1]C. e]D. （O s—]e c e e二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）x>l13. （5分）设变量x, y满足约束条件' s1-y-4C0则目标函数z=4x- y的最小值b 0为_______ .14. （5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+ （a - 1）y=a- 7平行，则a __15・（5 分）已知数列｛刘满足Logj 1+1 o 营护n 8€ N*） ，且 a i +a 2+a 3+-+a io =1,贝U log 2 （a ioi +a io2+・・+a iio ） = ___ .2 2i6. （5分）已知双曲线C ： 二1的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近a 2b z 线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ,若:I 1，则双曲线的渐近线方 程为 _______ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 •i7. （i2分）在厶ABC 中，角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,且2ccosB=2e+b . (i )求角C ;i8. （i2分）20i7年i0月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了 考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校iOOO 名（男生800名，女生200下统计图表：男生测试情况:抽样情况 病残免试不合格 合格 良好 优秀 人数5i0i547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数 2 3 i0 y 2 （i ）现从抽取的i000名且测试等级为 优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率;（2）若测试等级为 良好”或优秀”的学生为 体育达人”其它等级的学生（含病 残免试）为 非体育达人”根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯 错误的概率不超过0.0i0的前提下认为 是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取 i00名进行分析，得到如（2）若厶ABC 的面积为求ab 的最小值.非体育达人总计临界值表:2(at祁)(c+d) (a+c) (b+d)19. (12分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC, AB=6,\ : -., D, E为线段AB上的点，且AD=2DB PD丄AC.(1)求证：PD丄平面ABC求点B到平面PAC的距离.20. (12 分)已知圆C: x2+y2+2x- 2y+1=0 和抛物线E:y2=2px (p >0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.二(1) 求抛物线E的方程；(2) 不过原点的动直线I交抛物线于A, B两点，且满足OA丄OB.设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线I的距离最大时的直线I方程.21. (12分)已知函数f (x) =lnx-a (x+1), a€ R在(1, f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求f (x)的单调区间；(2)若存在X0> 1,当x€( 1, X0)时，恒有F(瓦汁2爺+亍>比〔&-1)成立，求k的取值范围.22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1, 0),倾斜角为a,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是亠Seos 9P (K2> k o) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879n=a+b+c+d)，其中(2)若ZPAB=^-,Q ------- •l~cos 9(1)写出直线I的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若，设直线I与曲线C交于A，B两点，求△ AOB的面积.423. 设函数f (x) =|x+3|，g (x) =|2x- 1| .(1)解不等式 f (x)v g (x)；(2)若2f (x) +g (x)> ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5分）复数空丄（i为虚数单位）等于（）1A.- 1 - 3iB.- 1+3iC. 1 - 3iD. 1+3i【解答】解：耳二-1 - 3i故选A2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是（）A. {a| a<2}B. {a|a< 1}C. {a| a> 1}D. {a| a>2}【解答】解：：A H B=A,••• A? B.•••集合A={x| 1v x v 2}，B={x| x v a}，••• a> 2故选：D.3. （5 分）设向量a= （1，m），b= （m- 1，2），且3M b，若（n - b）丄自，贝U实数m=（）A. 2B. 1C - D•丄【解答】解：•••需-E）丄；，• （：a- b）?目=0，即a2- b 需=0，即1+m2-（m - 1+2m）=0,即m2- 3m+2=0,得m=1 或m=2,当m=1 时，量护(1, 1), b = (0, 2),满足3 f,当m=2 时，量.-1= (1, 2 ),1 ■= (1, 2),不满足.1 工，,综上m=1,故选：B.4. （5分）下列说法正确的是（）A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< TB. 若am2v bm2，则a v b”的逆命题为真命题C. ? x o €（0, +x）, 使广成立D. 若-厂，则|：.：—”是真命题2 6【解答】解：若a> 1,则a2> 1”的否命题是若a< 1,则a2^ 1”故A错；若am2v bm2,则a v b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a v b，则am2=bm2, 故B 错；对任意x>0,均有3x v4x成立，故C错；对若詛辺严寺，则口工牛”的逆否命题是若a =，则sin 口0=”为真命题，则D正确.故选D.5. （5分）我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）【解答】解：模拟执行程序，可得S=2故选：A.a=1, A=1, S=0, n=1不满足条件 S > 10, 执行循环体, n=2, 不满足条件 S > 10, 执行循环体, n=3, a 丄 2a — A=2,不满足条件 S > 10, 执行循环体, n=4, 4a~ A=4,A=8,满足条件S > 10,退出循环，输出n 的值为4.6. （5分）若某几何体的三视图（单位: cm ）如图所示，贝U 该几何体的体积等于 A . 4 B. 5C. 2 D . 3傭观图A . 10cm3 B. 20cm3 C. 30cm3 D. 40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:【解答】解：将函数f (x )二sin (2x—)图象上的每一个点都向左平移单位，得到g (x ) —sin[2 (x+一)3故选：B.8. (5 分)已知数列｛a n｝的前n 项和为S n, a1=1, a2=2，且a n+2- 2a n+什a n=0(n€，则12018=(顶32019【解答】解：数列｛a n｝的前n项和为S n, a i=1, a2=2,且a n+2- 2a n+i+a n=0 (n€棱柱的高为5;底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为•••几何体的体积V丄X 3X 4X 5—丄X丄X 3X 4 X 5=20(cm3).2 3 23、4,7. (5分)若将函数f (x) psin (单位，得到g (x)的图象，则函数兀k—，k空A. [ k n—C. [k n~，k dh (k€ Z)图象上的每一个点都向左平移g (x)的单调递增区间为(D. [k n-7T]=-丄sin2x的图象,故本题即求y=sin2x的减区间，令2k故函数g (x)的单调递增区间为[k E 13K儿1440342018C(k€ Z) B.[k,k(k€Z)](k€ Z)< 2x< 2k,求得k< x< k,k],k€ 乙N*),则：数列为等差数列.设公差为d,贝U: d=a?- a i=2 - 1=1,贝U: a n=1+ n- 1=n.故:所以：2-2018 4036^2018 ^20191-1故选：C9. (5分)已知函数，若函数f (x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )A. (0, 1]B. [1, +x)C. (0, 1)D. (-X, 1]【解答】解：当x< 0时，f (x)单调递增，••• f (x)< f (0) =1 - a, 当x>0时，f (x)单调递增，且f (x)>- a.••• f (x)在R上有两个零点，•屮一刊，解得0< a< 1.[-a<0故选A.2 210. (5分)已知椭圆Ci昱尹一的左顶点和上顶点分别为A, B,左、右焦点分别是F1, F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1丄PF2,则椭圆的离心率的平方为( )第11页(共24页)A. —B.C.1D.： 12 2 2 2【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A (- a, 0), B (0, b ), F i ( - c, 0), F 2 (c, 0),丄一上..-，整理得：bx- ay+ab=0,设直线AB 上的点P -a b y ), 贝U bx=ay- ab , x 〒y - a ,由 e 2=" e 4- 3e 2+1=0,e 2=：； 又椭圆的离心率 e €( 0, 1),,2=；2 •椭圆的离心率的平方 ,故选B .方法二：由直线 AB 的方程为,整理得：bx - ay+ab=0,-a b 由题意可知：直线AB 与圆O : x 2+y 2=c 2相切， 可得d==c ,两边平方，整理得：c 4+3c 2c 2- a 4=0,两边同时除以a 4,由Va•••直线AB 的方程为(x, ••• PF 丄PF 2贝U 丽;?亟： =(-c- x , -y ) ?( c - x ,- y ) =X 2+y 2 - &=2+y 2-c 2,令 f (y )=(半)2+y 2- c 2,则 f'(y )•••由 f' (y ) =0得：y=,于是 • - P ?■「=(-ab 2=c ?,又b^a 2-c 2,整理得：c 4+3c ?c 2- a 4=0,两边同时除以a 4,=2 (十y -a )xx=-)2- $=0,( a 2ba 2+V2整理得: 扣...e2二哇后，又椭圆的离心率e€（0, 1）,二e2上怎.2 2椭圆的离心率的平方二,211. （5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b 满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列，贝戶丄的最小值为（）甲乙8868 x002y65g L36D.B.2C.97【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1;由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80X 3+90X 3+ （0+2+y+1+3+6）=598+y,乙班学生的平均分是86,且总分为86X 7=602，所以y=4,若正实数a、b满足：a, G, b成等差数列且x, G, y成等比数列，则xy=G2, 2G=a^b，即有a+b=4, a>0, b>0,12. （5分）若对于任意的正实数x , y 都有成立，则实数 & x me故选：D .二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） x>l13. （5分）设变量x , y 满足约束条件，计旷4忑0则目标函数z=4x- y 的最小值 0 为 1 .【解答】解：设变量x , y 满足约束条件丿曲在坐标系中画出可行域二角「和十4丢0的取值范围为（ ）,1） B.- $ 1 ] cA .C .(寺*已］eD. ©【解答】解：根据题意，对于（2x -工）？1直w 厶,变形可得(2x -Y) Ie即(2e 」)I ,设 t==，贝U( 2e - t ) Int,t >0,设 f (t ) = (2e -1) Int , (t > 0) 则其导数f'(t ) =- Int+竺-1,t又由t >0,贝U f '(t )为减函数，且f '(e ) =-Ine=-仁0, e则当t €( 0, e )时，f (t )> 0, f (t )为增函数, 当 t €( e , +x )时，f (t )v 0, f (t )为减函数, 则f (t )的最大值为f (e ),且f (e ) =e , 若f (t ) =( 2e -t ) Int z 恒成立，必有 即m 的取值范围为（0,右];当且仅当b=2岭时‘―的最小值为丁解可得0v m形，平移直线4x- y=0经过点A (1, 3)时，4x- y最小，最小值为：1 ,则目标函数z=4x- y的最小值：1.故答案为：1.14. (5分)如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+ (a- 1) y=a- 7平行，则a= 3【解答】解：•••直线ax+2y+3a=0与直线3x+ (a- 1) y=a- 7平行， 2 / ~3a …产訐，解得a=3.故答案为：3.15. （5分）已知数列｛a n｝满足log2a It1_]=l+log2a n Cn€『），且a1+a2+a3+-+a10=1，贝U log2 （a1O1+a1O2+・・+an o）= 100 .【解答】解：T 1口衍a血二1+1。