参数法

参数法

参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现．参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法．解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点．

(一)参数法解题的基本步骤

参数法解题的步骤是：

(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；

(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；

(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决．

例1 已知抛物线y2=2px(p＞0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1⊥OP2．

【解】如图2－5，设M(m，0)(m＞0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)．

∵ OP1⊥OP2，

即y1y2=-x1x2．

∴ (y1y2)2＝4p2x1x2．

从而(-x1x2)2=4p2x1x2．

∵ x1≠0，x2≠0，

∴ x1x2=4p2 ①

设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得

k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0．

由韦达定理，得x1x2=m2 ②

把②代入①中，得m2=(2p)2．

∵ m＞0，p＞0，∴m=2p．

于是所求的点M的坐标为(2p，0)．

【解说】本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p的关系式，消去参数，求得m的值．

OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考理科压轴题)

【解】如图2－6，设动点Q(x，y)(x，y不同时为零)．又设|OR|=λ|OQ|，|OP|=u|OQ|，(λ，u＞0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(λx，λy)、点P(ux，uy)．

∵ |OQ|·|OP|=|OR|2，

∴ u|OQ|2=λ2|OQ|2．又

|OQ|≠0，

同理，由P在l上，可得

于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为

且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点．

利用已知条件|OQ|·|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用．这种解法比高考命题者提供的答案简明．

(二)解题技巧的一个源泉

参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数．其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个．

1．设而不求

例3 如图2－7，过圆外一点P(a，b)作圆x2＋y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程．

【解】设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1y＝R2，x2x+y2y＝R2．

∵这两条切线都过点P(a，b)，

∴ ax1＋by1=R2，

ax2＋by2=R2．

由以上二式可以看出，点A、B在直线ax＋by=R2上，又过A、B只有一条直线，

∴直线AB的方程为ax＋by=R2．

【解说】本例中把A、B的坐标作为参数．虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”．

2．代点法

例4 求抛物线y2=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程．

【解法1】设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得

y1＋y2＝4 ①

即(y1＋y2)(y1-y2)=12(x1-x2)．②

即直线AB的斜率k=3．

故直线AB的方程为y-2=3(x-1)．

即 3x-y-1=0．

【解法2】∵弦的中点为M(1，2)，

∴可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y)．

∵ A、B在抛物线上，

∴ y2=12x，(4-y)2=12(2-x)．

以上两式相减，得

y2-(4-y)2=12(x-2+x)，

即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程．

【解说】以上两种解法都叫做代点法．它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果．