高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和(理)

8a1+28=16a1+224,所以a1= ,则a10=a1+(10-1)d= 1
2 1 9 19 . 22
(2)选B.设等差数列{an}的公差为d,由题意可得
a5 a1 4d 8， 解得 =3Sa31+23a41d=34d8. 6，
a d
1
2
0， ，
则S10-S7=a8+a9+a10
【规律方法】等差数列运算的思想方法 (1)方程思想:设出首项a1和公差d,然后将通项公式或 前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求 结果都用a1,d表示,寻求两者联系,整体代换即可求解.
d)n是关于n的二次函数且常数项为0. 2
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列-8,-3,2,7,…, 则该数列的第100项为________.
【解析】依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以 a100=-8+99×5=487. 答案:487
2.(必修5P46习题2.3A组T5改编)在100以内的正整数中 有______个能被6整除的数.
(3)利用性质:运用等差数列性质,可以化繁为简、优化 解题过程. 易错提醒:要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),只有当序号之和相等、项 数相同时才成立.
【变式训练】(2016·成都模拟)等差数列{an}的前n项 和为Sn,若S15为一确定常数,下列各式也为确定常数的 是( )
A.5
B.7
C.9
D.11
【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3⇒a3=1,S5=
=5a3=5.
5a1 a5
2
4.(2015·广东高考)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5 +a6+a7=25,则a2+a8=____________. 【解析】因为{an}是等差数列, 所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25, 解得a5=5,所以a2+a8=2a5=10. 答案:10
C.60
D.72
【解题导引】(1)由S8=4S4求出首项,再由a10=a1+ (10-1)d求出a10的值. (2)列出关于a1,d的方程组求解.
【规范解答】(1)选B.设等差数列的首项为a1,则
S8=8a1+ 88 11 =8a1+28,
S4=4a1+
2
44 11
=4a1+6,因为S8=4S4,即
【典例1】(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}
是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,
若S8=4S4,则a10=( )
A.
B.
C.10
D.12
17
19
2
2
(2)(2016·沧州七校联考)等差数列{an}的前n项和为
Байду номын сангаас
Sn,已知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是 ( )
A.24
B.48
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则
__________. ak+al=am+an
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,… (k,m∈N*)是公差为___的等差数列.
md (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm, S3m-S2m,…也是等差数列.
5.(2015·安徽高考)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ 1
(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
2
【解析】当n≥2时,an=an-1+ 1 ,
所以{an}是首项为1,公差为 2 的等差数列,
所以S9=9×1+
答案:27
98 1 22
1
=9+18=27.
2
考向一 等差数列的性质及基本量的计算
【特别提醒】 等差数列与函数的关系
(1)通项公式:当公差d≠0时,等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公 差d.若公差d>0,则为递增数列,若公差d<0,则为递减数 列.
(2)前n项和:当公差d≠0时,Sn=
nn1
na1 2 d
dn2 2
(a1
A.a2+a13 C.a1+a8+a15
B.a2a13 D.a1a8a15
【解析】选C.等差数列中,S15=15，a8=15(a1+7d),
a2+a13=2a1+13d,a2a13=(a1+d)(a1+12d),a1+a8+a15=
3(a1+7d),a1a8a15=a1(a1+7d)(a1+14d),其中只有
其中__叫做a,b的等差中项. A
2.2等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=_________. a1+(n-1)d
(2)前n项和公式:Sn=__n_a_1 __n__n2 __1__d__n __a_12 __a_n__.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+_(_n_-_m_)_d_(n,m∈N*).
【解析】由题意知,能被6整除的数构成一个等差数
列{an}, 则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n≤100,即n≤ 则在100以内有16个能1被6 646整16除32 ,的数. 答案:16
感悟考题 试一试
3.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,
若a1+a3+a5=3,则S5= ( )
a1+a8+a15= 为定值.
S 15 5
【加固训练】
1.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,
且所有项的和为390,则这个数列的项数为 ( )
A.13
B.12
C.11
D.10
【解析】选A.因为a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146,
a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180,
第二节 等差数列及其前n项和
【知识梳理】
1.等差数列的有关概念
(1)定义:
①文字语言:从______起,每一项与它的前一项的___
第2项
差
都等于___一个常数.
②符号语同言:________(n∈N*,d为常数).
an+1-an=d
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=
a
b，
又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2,
所以3(a1+an)=180,从而a1+an=60.
Sn=