组合数公式

组合数公式

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组合数公式是指从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。用符号c(m,n) 表示。

中文名

组合数公式

公式写法

c(m,n)=p(m,n)/n!

递推公式

c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)

应用领域

数学等

目录

1. 1 公式

2. 2 性质

3. 3 递推公式

4. 4 算法举例

组合数公式公式

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有时候也表示成：

（在旧版本里，排列数的字母写作P）

组合公式的推导是由排列公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一个模型，从n 个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数为

，而组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组（无序）,由于m个元素组成的一组可以有m!种不同的排列（全排列

）,组合的总数就是

组合数公式性质

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组合数公式递推公式

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c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)

等式左边表示从m个元素中选取n个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择m中的某个备选元素为特殊元素，从m中选n个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即n个被选择元素包含了特殊元素和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从m-1个元素中选出n-1个元素的组合，即c(m-1,n-1)；后者相当于从m-1个元素中选出n个元素的组合，即c(m-1,n)。

组合数公式算法举例

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1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？

2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。

这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。

先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。

公式1：

C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）

公式1 证明：

方法1、可直接利用组合数的公式证明。

方法2、（更重要的思路）。

从M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中，包含这一个元素的有C（M-1，N-1）种组合，不包含这一个元素的有C（M-1，N）种组合。

因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）

公式2：

S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）（M》=N）

证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。

从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N 个。

则选出N个的方法可分类为：

包含1号的有C（M-1，N-1）种；

不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；

。。。。。。

不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种

。。。。。。

不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C （N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）

由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此

S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）

公式3：

S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）（P，Q）=N）

证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。而公式里面的K表示选法中正品数量，

C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。

因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）

公式4（一种变换技巧）：

S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）

证明：

S（K=0，N）K*C（M，K）

=S（K=1，N）K*C（M，K）

=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！

=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！

=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）

=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）

公式5（公式4的同种）

S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）

=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）

证明：（类似上式）

S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）

=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！

=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！

=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）

=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）

公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。

例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？

解：（本题利用公式3、4、5）