第一节 数学期望(概率论与数理统计)

E(max{X ,Y})
E(min{X ,Y})
四、数学期望的性质
E (C ) = C
常数
E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E

n i1
ai X i
C

n i1
0
r
1
2
r2
e2
rdr
d

2
例12 五个独立元件,寿命分别为 X1, X 2,, X5,
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值.
解 (1) 设整机寿命为 N ,
N

k
min {
1, 2 ,, 5
X
k
}
5
FN (x) 1 (1 Fk (x)),
第四章
随机变量的数字特征
分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.
例如：
判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度
又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;
考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.



4
e(x2 y2 )dxdy
00

4
e(x2 y2 )dxdy
00
4

2 d
er2 rdr
4 1
0
0
22
所以 ex2 dx
一般地，若X ~ N (, 2 ),Y ~ N (, 2 ), X ,Y 相互独立，则
解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为
X0 1
2
3
P
4! C41C31P42 C42 (C42 C21C43 ) C41
44
44
44
44
E(X ) 81 64
解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4
1, 第i盒空， X i 0, 其它， X X1 X2 X3 X4
证 性质5 设 X 连续，d.f. 为 f (x), 分布函数为 F(x), 则
P(X a) 1 P(X a)
1 F(a) 1
F(a) 0
F(x) 0, x a
f (x) 0, x a
故
E(X
)


a
xf
(x)dx


a af
(x)dx

a
例14 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子 中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的数学期 望.
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离均值的情况
内
Z = g(X ,Y ),
若广义积分

g(x, y) f (x, y)dxdy
绝对收敛, 则

E(Z ) g(x, y) f (x, y)dxdy
例9 设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。
例10 将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随 即匹配，记X表示匹配成对数，求E(X)。
P(X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
Z = g(X ,Y ),
若级数

g(xi , y j ) pij
i, j1
绝对收敛 , 则

E(Z ) g(xi , y j ) pij
i, j1
设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x ,y) ，
其它
求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)
解
E(X )
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xf (x, y)dxdy


2
0 x
ai E( X i ) C
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ;
若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b.
注 性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立
f
(
x)


(1
1
x2
)
,
x
但

|

x|
f
(x)dx



| (1
x
| x
2
)
dx
发散
它的数学期望不存在!
三、 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为
P(X xi ) pi , i 1,2,
例11 设 (X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0), 求
Z X 2 Y 2 的数学期望.
解 E(Z ) x2 y2 f (x, y)dxdy


x2 y2
1
x2 y2
e 2 dxdy

2

2
0

P( X xk ) pk , k 1,2,
若无穷级数

xk pk
绝对收敛,
则称
k 1
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即

E( X ) xk pk
k 1
例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件 产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出 及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品 的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可 期望获利多少？
分布
概率分布
期望
参数为p 的 0-1分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
p
B(n,p)
P()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
np
P( X k) ke

k!
k 0,1,2,
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
X
0
1
P
q
p
0<p<1,q=1-p
则E（X） 0 q 1 p p
例3： 设X~b(n，p)，求E(X)。
解 ： X的分布律为
则：

n k 1
k
k！（nn！ k）！pk qnk
例5 几何分布
pk P{X k} qk1 p, k 1, 2, ,
0 p 1, p q 1.
max{x, y} f (x, y)dxdy
D1
max{x, y} f (x, y)dxdy
D2
D1 D2

y
1
x2 y2
e 2 dxdy
x
1
x2 y2
e 2 dxdy
D1 2
D2 2
1
x2
y2
1
e 2 dx ye 2 dy
—— 方差
容 描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
§4.1数学期望
问题：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表给
出： 甲射手
乙射手
击中环数 8
9
10
击中环数 8
9
10
概率
0.3
0.1
0.6
概率
0.2
0.5
0.3
试问哪一个射手本领较好？
要解决这个问题，可采用如下方法：使两个射手各射
k 1

0,
其它，
5ex (1 ex )4 , x 0,
fM (x)
0,
其它，

E(M ) xfM (x)dx
5xex (1 ex )4 dx 0
137
60
E(M )

137
60
11
E(N)
1
5
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长11倍之多.
例13 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y )) .
解
f
(x, y)
fX (x) fY ( y)

1
2
x2 y2
e2

E(max{X ,Y}) max{x, y} f (x, y)dxdy
y2
x2
e 2 dy xe 2 dx
2
x
2
y
1

x2
e 2 dx


ye
y2
2 dy

1

x

ex2 dx

1

其中 ex2 dx 称为 概率积分
(


e

x
2
dx
)
2


e(x2 y2 )dxdy
密度函数 ：
p(x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2
, 0.
解 E(X )

x
1 e dx (
x )2 2 2
2
令 x u
（ u ）
1
u2
e 2 du


2
常见 r.v. 的数学期望
f
(
x)

b
1
a
,
0,
a x b, 其它
ab 2
E()
ex , x 0,
f (x) 0,
其它
1

N(, 2)
f (x)
1
e
(
x )2 2 2

2
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布 率为
X 5 2 -4
P 0.6 0.2 0.2
X的数 学期望: E(X ) 5 0.6 2 0.2 （ 4） 0.2 2.（6 元）
虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每 件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。
例2： 设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。 解： X的分布律为
Xi 1
0
P

3 4
4
1


3 4
4
E(X
)

4


3 4

4

81 64
E
(
X
i
)


3 4
4
例15 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为
f
(x,
y)

1 4
x(1

3
y2
),
0 x 2,0 y 1,
0,
N枪，则他们打中的环数大约是： 甲：8 0.3N 9 0.1N 10 0.6N 9.3N; 乙：8 0.2N 9 0.5N 10 0.3N 9.1N;
平均来看，甲每枪击中9.3环，乙每枪击中9.1环.
数学期望的定义
一、离散型随机变量的数学期望
设 X 为离散 r.v. 其分布为
若无穷级数 绝对收敛，则

g(xi ) pi
i1

E(Y ) g(xi ) pi
i1
设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x)
若广义积分

g(x) f (x)dx
绝对收敛, 则

E(Y ) g(x) f (x)dx
设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为

xf (x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望，记作 E( X ),
即

E( X ) xf (x)dx
数学期望的本质 —— 加权平均， 它是一个数不 再是 r.v.
例6 设X~U(a，b)，求E(X)。
例7 指数分布的数学期望
密度函数 ：
ex , x 0,


EX kpk kqk1 p p(1 2q 3q2 )
k 1
k 1
p(q q2 q3
)

p

q 1 q


p
1 (1 q)2

1. p
二、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x)
若广义积分
p(x)
0,
x 0.
EX

xp(x)dx
xexdx

0
xdex xex exdx
0
0
0
1 ex 1 .
0
例8 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
k 1
1 e5x , x 0,

0,
其它，
5e5x , x 0,
fN (x)
0,
其它，
即 N ~ E( 5), E(N ) 1
5
(2) 设整机寿命为
M

max {X
k 1,2,,5
k
}
5
(1 ex )5, x 0,
FM (x) Fk (x)