专题一：求曲线的轨迹方程 学案

专题一：求曲线的轨迹方程

课前自主练习：

1．如图1，A B C ∆中，已知(2,0)B -，(2,0)C ，点A 在x 轴上方运动，且tan tan 2B C +=，则顶点A

的轨迹方程是 ．

2．如图2，若圆C ：22(1)36x y ++=上的动点M 与点(1,0)B 连线BM 的垂直平分线交C M 于点G ， 则G 的轨迹方程是 ．

3．如图3，已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=上运动，A O P ∠的平分线交A P 于Q ，则Q 的轨迹方 程是 ．

4．与双曲线2222x y -=有共同的渐近线，且经过点(2,2)-的双曲线方程为 ． 5．如图4，垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线22(1)y x =-分别交于点A 、P ，点B 在y 轴上，且点A

满足||AB 2||OA =，则线段P B 的中点Q 的轨迹方程是 ．

几种常见求轨迹方程的方法：

1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用

坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤： 建系——设点——列式——代换——化简——检验；

【例1】（1）求和定圆222x y R +=的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程；

（2）过点(,0)A a 作圆O ：222x y R +=(0)a R >>的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹．

解：（1）设动点(,)P x y ，则有||OP 2R =或||OP 0=．即2224x y R +=或220x y +=．

故所求动点P 的轨迹方程为2224x y R +=或220x y +=．

（2）设弦的中点为(,)M x y ，连结O M ，则O M A M ⊥．∵1O M AM k k ⋅=-，

∴

1y y

x x a ⋅=--，化简得：22

2()()22

a

a x y -

+=． 其轨迹是以O A 为直径的圆在圆O 内的一段弧（不含端点）．

【例2】已知直角坐标平面上一点(2,0)Q 和圆C ：2

2

1x y +=，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半

径与||M Q 的和．求动点M

解：如图，设M N 切圆C 于N ，又圆的半径||ON 1=，

∴2||O M =22||||N M O N +=2

||1N M +，

∴||M N =||M N =||1MQ +． 设(,)M x y 1=

，

∴23x -=

2

2

3850x y x --+=3()2

x ≥

．可化为22

49()313x y -

-=　3()2

x ≥

　．

故所求的轨迹是以点4(,0)3

为中心，实轴在x 轴上的双曲线的右支，顶点为5

(,0)3

，如图．

2．定义法：如果动点的轨迹是确定的某种曲线或间接（通过转化）确定的某种曲线，则可根据曲线的定

义建立轨迹方程，一般是利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定

义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．在运用椭圆的定义、双曲线的定 义、抛物线的定义要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用

图1 图2 图3 图4

平面几何知识分析得出这些条件．用定义法求轨迹方程的基本思路是：①用曲线的定义判 断轨迹的形状（定型）；②判断轨迹的位置（定位）；③求曲线的基本量（定量）；④写出轨 迹方程．

【例3】如图，设Q 是224x y +=

上的动点，另有点0)A ，线段AQ 的垂直平分线l 交半径O Q 于点

P ，当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程． 解：连接P A ，∵l AQ ⊥，∴||PQ =||PA ．又P 在半径O Q 上．

∴||||PO PQ +2=．||||PA PO +2=

，且2>

=|OA ． 由椭圆定义可知：P 点轨迹是以O 、A 为焦点的椭圆．

22a =

，2c =

得：1a =

，2

c =

2

14

b =

．

故所求椭圆方程为2

2

(412

x y -+=．

【例4】已知定圆A 的半径为r ，定点B 与圆A 的圆心A 的距离为 (2)m m r >．又一动圆P 过定点B ，

且与定圆A 相切．求动圆圆心P 的轨迹方程．

解：以A B 所在的直线为x 轴，以A B 的中点为原点建立坐标系，如图．

当动圆P 与定圆A 外切时，||||PA PB -r =；当动圆P 与定圆A 外切时，||||PB PA -r =． 由双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹应是以A 、B 为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左

支）．显然，2m

c =，又2r a =，

故22222

4m r b c a -=-=．

所以所求的点P 轨迹方程是：22222

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x y r m r -=-． 3．动点转移法：若动点(,)P x y 随已知曲线上的点00(,)Q x y 的变动而变动，且0x 、0y 可用x 、y 表示，

则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为动点转

移法（或代换法或相关点法）．

【例5】已知定点(3,1)A 、B 为抛物线2

1y x =+，上任意一点，点P 在线段A B 的中点，当B 点在抛物

线上变动时，求点P 的轨迹方程．

解：设点(,)P x y ，且设点00(,)B x y ，则有2

001y x =+．∵点P 是线段A B 的中点．由中点坐标公式得：

003212

x x y y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩，∴002321x x y y =-⎧⎨=-⎩．将此式代入200

1y x =+中，并整理得：2(21)22y x -=-， 即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．

【例6】求以y 轴为准线，离心率为1

2

，且过定点(1,2)M 的椭圆左顶点的轨迹方程．

解：左顶点为(,)(0)P x y x >　，左焦点为00(,)F x y ，则0y y =，0

12x x x -=，即03

2

x x =； 又||112M F =，∴22

001(1)(2)4x y -+-=．把0y y =，032x x =代入得： 2231(1)(2)24x y -+-=，即22

29()4(2)1 (0)3

x y x -+-=>　． 说明：注意确定圆锥曲线的条件“两点一参数”（焦点与长轴长）确定椭圆与“一点一线一数”（焦点、准

线、离心率）确定椭圆．