二项式定理--展开式
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式二项式定理是高中数学中的重要内容之一，它描述了任何一个二项式的展开形式。
在这篇文章中，我将介绍如何展开形如xyn的二项式，并提供具体的计算步骤和示例。
二项式定理是由数学家牛顿提出的，它的一般形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ...+ C(n,r)a^(n-r) b^r + ... + C(n,n)a^0 b^n其中，a和b是实数，n是非负整数，C(n,r)表示组合数，计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!).现在，我们的目标是展开形如xyn的二项式。
首先，我们可以把xyn表达为(x+y)^n的形式，其中a=x，b=y。
根据二项式定理，我们可以得到展开公式：(x+y)^n = C(n,0)x^n y^0 + C(n,1)x^(n-1) y^1 + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)x^0 y^n然而，这仍然不是我们想要的形式。
我们希望展开结果中只包含x和y的幂次，而不带组合数C(n,r)。
为了达到这个目的，我们需要引入组合恒等式：C(n,r) = C(n,r-1) * (n-r+1) / r利用这个恒等式，我们可以对展开公式中的组合数进行简化，得到：(x+y)^n = x^n + C(n,1)x^(n-1) y + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)y^n现在，我们已经成功地将xyn展开为了一系列含有x和y的幂次的项。
下面，我将以具体的示例来说明展开过程。
假设我们要展开的二项式是(x+y)^4，根据上面的公式，展开式为：(x+y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4展开过程中，我们通过计算并应用组合恒等式，逐项得到展开式中各项的系数。
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
二项展开公式
二项展开公式（原创实用版）目录1.二项式定理的概述2.二项式定理的公式表示3.二项式定理的证明4.二项式定理的应用正文1.二项式定理的概述二项式定理，又称二项式公式，是组合数学中的一个重要公式。
它可以用来展开一个二项式的乘积，从而求得展开式的各项系数。
这个公式在概率论、统计学、代数以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
2.二项式定理的公式表示二项式定理的公式表示如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n, n)b^n其中，a 和 b 是两个数，n 是自然数，C(n, k) 表示组合数，即从n 个元素中取 k 个元素的组合数。
3.二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
具体证明过程如下：当 n = 0 时，等式左边为 (a + b)^0 = 1，右边为 C(0, 0)a^0 = 1，等式成立。
假设当 n = k 时等式成立，即：(a + b)^k = C(k, 0)a^k + C(k, 1)a^(k-1)b + C(k, 2)a^(k-2)b^2 +...+ C(k, k)b^k当 n = k + 1 时，等式左边为：(a + b)^(k + 1) = (a + b)^k * (a + b)根据假设，可以将 (a + b)^k 展开，得到：(a + b)^(k + 1) = (C(k, 0)a^k + C(k, 1)a^(k-1)b + C(k,2)a^(k-2)b^2 +...+ C(k, k)b^k) * (a + b)将上式展开并合并同类项，可以得到：(a + b)^(k + 1) = C(k, 0)a^(k + 1) + C(k, 1)a^k b + C(k,2)a^(k-1)b^2 +...+ C(k, k)b^(k + 1)这正好是二项式定理的公式表示，因此，当 n = k + 1 时，等式也成立。
二项展开公式
二项展开公式（原创实用版）目录1.二项式定理的概述2.二项展开公式的推导3.二项展开公式的应用4.结论正文1.二项式定理的概述二项式定理，也叫做二项式公式，是组合数学中的一个重要定理。
它是一种用于展开二项式幂的数学方法，可以方便地计算二项式幂的特定项的值。
二项式定理可以描述为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n,n)b^n，其中，a 和 b 是任意实数或复数，n 是任意非负整数，C(n,k) 表示组合数，即从 n 个元素中取 k 个元素的组合数。
2.二项展开公式的推导二项式定理的推导过程比较简单。
我们假设有一个二项式 (a+b)^n，我们要展开这个二项式。
首先，我们可以将这个二项式看作是 a 的 n 次方与 b 的 0 次方的和，即 a^n + 0*b^0。
然后，我们可以将这个和式中的每一项都乘以 b，得到 a^n*b + 0*b^1。
接着，我们再将这个和式中的每一项都乘以 b 的平方，得到 a^n*b^2 + 0*b^2。
我们依次类推，直到将这个和式中的每一项都乘以 b 的 n 次方，得到的和式就是二项式定理的展开式。
3.二项展开公式的应用二项式定理在实际应用中有广泛的应用，例如在概率论、统计学、组合数学等领域都有重要的应用。
其中，二项式定理的一个最常见的应用就是计算二项式幂的特定项的值。
例如，如果我们要计算 (3+2)^5 的第四项，我们可以直接套用二项式定理的公式，得到第四项的值为C(5,3)*3^2*2^3 = 10*9*8 = 720。
4.结论二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它可以方便地用于展开二项式幂，计算二项式幂的特定项的值。
二项式的展开式公式
二项式的展开式公式二项式的展开式公式是数学中的重要概念之一，它在代数运算、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
二项式展开式公式可以用来求解多项式的幂次展开，通过展开可以将复杂的多项式化简为简单的多项式，便于计算和分析。
我们来了解一下什么是二项式。
二项式由两个项组成，每个项都是由一个系数和一个变量的幂次组成。
例如，(a+b)就是一个二项式，其中a和b是变量，可以是任意实数，而且a和b之间可以通过加法或减法运算进行组合。
二项式的展开式公式是指将一个二项式的幂次展开为多个单项式的和的公式。
根据二项式定理，一个二项式的幂次展开可以通过以下公式计算：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,r)*a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)*a^0*b^n其中，a和b是变量，n是幂次，C(n,r)表示从n个元素中取r个元素的组合数，也称为二项系数。
二项系数可以通过组合数公式计算得到：C(n,r) = n! / (r!*(n-r)!)在展开式中，每一项的系数都是二项系数，而变量的幂次则是根据幂次n递减的。
展开式中的每一项可以看作是从n个元素中取r个元素的组合，其中a的幂次是n-r，b的幂次是r。
展开式中的项数与幂次n有关，共有n+1项。
以展开(a+b)^3为例，根据展开式公式，我们可以得到：(a+b)^3 = C(3,0)*a^3*b^0 + C(3,1)*a^2*b^1 + C(3,2)*a^1*b^2 + C(3,3)*a^0*b^3展开后，可以简化为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3通过展开，我们可以将复杂的幂次多项式化简为简单的多项式，便于计算和分析。
展开式公式在代数运算中有广泛的应用，可以用来求解幂次多项式的值、多项式的乘法和除法运算等，并且可以推广到更高次数的多项式展开。
超详细的二项式展开式性质
Cnranrbr
Cnnbn(n N )
与首末两端“等距离”旳两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大旳，
由对称性可知它旳后半部分是逐渐减小旳， 且中间项取得最大值。
所以，当n为偶数时，中间一项旳二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项旳取二得项最式大系值数；
二项式定理
对于（a+b）n = (a b)(a b) (a b)
旳展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=Cn0an+Cn1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C
nran-rbr+…+C
n n
bn
右边旳多项式叫做 (a+b)n 旳二项展开式, 它一共有 n+1 项.
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中旳项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式旳通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n旳C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42旳x 32二项式
系数与第３项旳二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中旳第４项
二项式系数旳性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
、
n1
n1
Cn2 Cn2 相等，且同步取得最大值。
（3）各二项式系数旳和 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
二项式定理
二项式定理【考点1：二项展开式与通项】[方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2；(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．求形如(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的步骤1．（2024·辽宁·一模）4()x y z ++的展开式共（ ） A ．10项B ．15项C ．20项D ．21项 2．（2024·广东·模拟预测）若()()()2660126666x a a x a x a x =+−+−++−，则5a =（ ） A ．6 B ．16 C ．26D ．363．（2023高二下·江苏宿迁·期中）化简：021*******C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n −−−⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= ． 4．（2023高二·全国·竞赛）若43(1)1n n x x ax bx +=+++++，且502a b =，则n = ．5．（2024高二下·全国·课时练习）化简：5432(21)5(21)10(21)10(21)5(21)1x x x x x +−+++−+++−得到 .6．（2024高二下·江苏·课前预习）（1）求4⎛ ⎝的展开式.（2）化简：()()()()()()1122111C 1C C C C 11rnnn n r n rnn n n n nx x x x −−−+−+++−+−+++−.【考点2：二项式系数与项的系数】1．（2024·北京怀柔·模拟预测）在32132x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ）A ．94B ．94−C ．92D ．92−2．（2024·陕西宝鸡·一模）622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式中的第四项为（ ） A ．3160x B ．3160x −C ．240D ．240−3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知()5322ax x x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为0，则=a （ ）A ．3B ．3−C ．2D ．2−4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）6(1)x −的展开式中3x 的系数为 ．5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在73x⎛ ⎝的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）6．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知1(1)2nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为280，则n = .7．（2024·江西·模拟预测）若()*1nn x ⎫−∈⎪⎭N 的二项展开式的第7项为常数项，则n = .8．（2024高二下·广东梅州·阶段练习）设n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1:6，求展开式中的第7项．【考点3：二项展开式中的系数和】【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．1．（23-24高二上·黑龙江·期末）在43nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为A ，各项系数之和为B ，若240B A −=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期末）61()x x−的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．展开式共6项B ．常数项为20−C ．所有项的二项式系数之和为64D ．所有项的系数之和为03．（23-24高三下·陕西安康·开学考试）()3nx −展开式的二项式系数之和是256，则n = .4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若3nx⎛⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为 .5．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知()232nx x −−展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中6x −的系数为 （用数字作答）6．（23-24高二上·江苏常州·期末）26()x y −的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．7．（2024高二下·江苏·专题练习）若na x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为 .8．（23-24高三下·河北·开学考试）已知二项式()0.01nx +的二项式系数的和为1024，则n = .试估算1x =时，()0.01n x +的值为 .（精确到0.001）【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎨⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．1．（23-24高三下·山东·开学考试）若22nx ⎫+⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（ ） A ．9B ．10C ．11D ．122．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知nx ⎛⎝的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．12358xB ．727xC ．2358x D ．27x3．（多选）（2024高三下·江苏·专题练习）关于6212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ）A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第4项D ．展开式中系数最大的项为第4项4．（多选）（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于二项式10m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（m 为常数且0m ≠），以下正确的是（ ）A ．展开式有常数项B ．展开式第六项的二项式系数最大C ．若2m =，则展开式的二项式系数和为103D ．101m x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立，则0m ≥5．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设n 为正整数， ()2n a b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n = .6．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）设0a >，已知2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则22212ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中2x 的系数为7．（23-24高二下·江苏·课前预习）在822)x 的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项.8．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知m ，n 是正整数，(1)(1)m n x x +++的展开式中x 的系数为15.(1)求展开式中2x 的系数的最小值； (2)已知12(23)m n x +−+展开式中的二项式系数的最大值为a ，项的系数的最大值为b ，求a b +.【考点5：二项式定理的应用】 【知识点：二项式定理的应用】 1．（2022·全国·高二单元测试）0.997的计算结果精确到0.001的近似值是（ ） A ．0.930 B ．0.931 C ．0.932 D ．0.933 2．（2022·全国·高二单元测试）关于(√x −1)2021及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）A ．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021B ．该二项展开式中第8项为−C 20217x 1007 C ．当x =100时，(√x −1)2021除以100的余数是9D ．该二项展开式中不含有理项 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(1−2x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋅⋅⋅+a 6x 6(a i ∈R,i =0,1,2,3,⋅⋅⋅,6)的定义域为R ．（ ） A ．a 0+a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 6=−1 B ．a 1+a 3+a 5=−364C ．a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+6a 6=12D ．f(5)被8整除余数为74．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（ ）A ．若(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=310−1B ．1.0510精确到0.1的近似值为1.6C ．5555被8除的余数为1D ．若1+2C n 1+22C n 2+⋯+2n C n n =2187，则C n 1+C n 2+⋯+C n n=1275．（2007·全国·高考真题）9192除以100的余数是______．6．（2022·全国·高二课时练习）若512020+a能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）①0；②11；③12；④25．7．（2007·湖南·高考真题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14644第5行15101051⋯⋯⋯⋯8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n 行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13x=7y，则n的值为______．9．（2022·全国·高二课时练习）已知f(x)=(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9．(1)求a1+a2+a3+⋯+a9的值；(2)求f(20)−20被6整除的余数。
分数二项式定理展开式公式
分数二项式定理展开式公式分数二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它是二项式定理在分数指数上的推广。
所谓二项式定理，即将两个数相加或相减的n 次幂展开为一系列项的和。
而分数二项式定理则是将分数指数的二项式展开为一系列项的和。
分数二项式定理的展开式公式如下：$$(a+b)^{\frac{m}{n}} = C_{\frac{m}{n}}^0 \cdot a^{\frac{m}{n}} \cdot b^0 + C_{\frac{m}{n}}^1 \cdot a^{\frac{m}{n}-1} \cdot b^1 + C_{\frac{m}{n}}^2 \cdot a^{\frac{m}{n}-2} \cdot b^2 + \cdots + C_{\frac{m}{n}}^{\frac{m}{n}} \cdot a^0 \cdot b^{\frac{m}{n}}$$其中，$C_{\frac{m}{n}}^k$表示从$\frac{m}{n}$个不同元素中选取$k$个元素的组合数，可以通过以下公式计算：$$C_{\frac{m}{n}}^k = \frac{(\frac{m}{n})(\frac{m}{n}-1)(\frac{m}{n}-2)\cdots(\frac{m}{n}-k+1)}{k!}$$这个展开式公式看起来可能有些复杂，但我们可以通过一个具体的例子来理解它。
假设我们要展开$(2+x)^{\frac{3}{2}}$，那么根据分数二项式定理，展开式为：$$(2+x)^{\frac{3}{2}} = C_{\frac{3}{2}}^0 \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot x^0 + C_{\frac{3}{2}}^1 \cdot2^{\frac{3}{2}-1} \cdot x^1 + C_{\frac{3}{2}}^2 \cdot 2^{\frac{3}{2}-2} \cdot x^2$$接下来，我们来计算展开式中的各个项。
二项式定理展开式
二项式定理展开式篇一：二项式定理知识点总结二项式定理知识点总结1．二项式定理公式：0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。
r(r?0,1,2,???,n). ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式rn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cnaab叫做二项式展开式的通项。
rn?rrb表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a?b)n与(b?a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于n.012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：0122rrnn令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0nkk?1Cn?Cn,·Cn?Cn012rn②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn ?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：0123nn在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn????(1)C(11)?n0n??0242r132r?1?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????从而得到：Cn，1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0n01n?12n?22n0n(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cn ax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0?x?1, ?a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n???????????x??1,?a0?a1?a2?a3???an?( a?1)n?????????(a?1)n?(a?1)n????,a0?a2?a4??an?(???????)2(a?1)n?(a?1)n????,a1?a3?a5??an?(???????)2⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C?Tn取得最大值。
二项式定理
高中数学知识点：二项式定理
一、二项式定理
二项式定理是指这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它与各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn－1，同时e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定。
二、掌握二项展开式的特点
1.项数：共n+1项.
2.系数：组合数Crm叫做二项式系数.要注意"二项式系数"是严格定义的概念，仅指展开式中的组合数，它与"项的系数"是不同的概念.
3.指数：按通项公式记准升幂与降幂的规律.
4.因为二项式系数就是组合数，所以应将上一节学过的组合数的两个性质与本节学习的性质综合起来概括出组合数的所有有用的性质.。
二项式定理公式展开式
二项式定理公式展开式二项式定理，这可是高中数学里的一个重要知识点呢！就像一把神奇的钥匙，能帮咱们解开好多数学谜题。
咱先来说说二项式定理的公式展开式到底是啥。
它呀，形如$(a+b)^n$的式子，展开后就是一系列项的和。
具体的公式是：$(a+b)^n = C_{n}^0 a^n b^0 + C_{n}^1 a^{n-1}b^1 + C_{n}^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_{n}^n a^0 b^n$ 。
这里的$C_{n}^r$叫做二项式系数，计算公式是$C_{n}^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这一堆符号和公式，感觉像天书一样，到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“别着急，咱们来玩个小游戏。
”我拿出了一袋子的糖果，说：“假设这里面有两种口味的糖果，草莓味和柠檬味。
咱们现在要从袋子里拿 n 颗糖，那有多少种拿法呢？”学生们开始七嘴八舌地讨论起来。
有的说一个一个数，有的说先分类再计算。
我引导他们：“其实呀，这就可以用二项式定理来解决。
把草莓味的糖果看成 a ，柠檬味的看成 b ，那拿糖的不同组合方式，不就是$(a+b)^n$的展开式嘛！”经过这么一解释，学生们好像有点开窍了。
咱们再深入讲讲二项式定理的应用。
比如说在概率统计中，它能帮我们计算某些随机事件的概率。
还有在数列求和中，也能发挥大作用。
而且，二项式定理还和我们的生活有点关系呢。
就像我们做选择的时候，比如你今天要决定穿什么衣服，有几件上衣和几条裤子可以选，那么总的搭配方式就可以用类似二项式定理的思路来计算。
在解题的时候，咱们得注意一些细节。
比如说计算二项式系数的时候，可别粗心大意算错了阶乘。
还有，展开式中各项的指数也要看清楚，别弄混了。
总之，二项式定理公式展开式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的规律，多做几道题练练手，就能把它变成我们解题的得力工具。
减法二项式定理展开式公式
减法二项式定理展开式公式二项式展开公式二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。
二项展开式是高考的一个重要考点。
在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。
二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。
二项展开式的性质1、项数：n+1项；2、第k+1项的二项式系数是Cₙᵏ；3、在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等；4、如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。
用数学归纳法证明二项式定理证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立；则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b 十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan ＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnnabn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)] ＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)∴当n=k+1时，等式也成立；所以对于任意正整数，等式都成立。
二项式定理
我们知道，
2
(a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 3 (a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
现在，让我们来看一下 先，来看一下
4
(a + b ) 的展开式。 (a + b )4 = (a + b )3 (a + b )
(a + b )
(1+2i)5 =C50+C512i+C52(2i)2+C53(2i)3+C54(2i)4+C55(2i)5 =1+10i－40－ =1+10i－40－80i+80+32i =41－ =41－38i
例1. 求(1+2i)5的展开式 评析：由这个恒等式a 评析：由这个恒等式a，b取值的任意性， 取值的任意性， 我们可以令a 我们可以令a，b分别取一些不同 的值来解决某些问题，这就是我 的值来解决某些问题， 们所说的“赋值法” 们所说的“赋值法”。
等式左边 = 等式右边 因此，当n=1时，等式成立。
2.假设当 n=k 时等式成立，即
( a + b)
k
0 = ck a k + c1 a k −1b + ⋯ + ckk b k k
现在，证明当n=k+1时等式也成立。
(a + b )k +1 = (ck0 a k + c1 a k −1b + ⋯ + ckk b k )(a + b ) k
(
)
(
)
则可以得到(a + b )
二项式定理的展开式 -回复
二项式定理的展开式-回复二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它是代数学中的一个基本公式，用来展开一个二项式的幂。
它被广泛应用于数学和物理领域，尤其是在组合数学、概率论和多项式拟合中。
二项式定理的展开式可以看作是用幂函数展开二项式的乘积，由这个展开式可以看出二项式的系数与两个数字的关系，它的形式如下：\[ (a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 +\binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n \]其中，\( \binom{n}{k} \)表示组合数，在排列组合中用来表示从n个元素中取k个元素的方式的数量。
组合数的计算公式为：\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]现在，让我们一步一步来解释二项式定理的展开式吧。
首先，二项式定理的基础是利用组合数来展开一个二项式。
组合数表示从n个元素中取k个元素的方式的数量，它的计算方法是利用阶乘的概念。
阶乘表示从1到n的所有整数的乘积。
例如，5的阶乘表示为5!，计算方法为5×4×3×2×1=120。
在展开式中，我们从顶部的第一项开始，使用组合数来计算系数。
第一项的指数是n，指数为0的项表示的是b的幂，因此它的系数是\( \binom{n}{0} \)。
其中，n表示二项式的指数。
接下来，我们继续向下展开，每次把n减1，并在指数上给a加1，同时在指数上给b减1。
每一项的系数都是利用组合数来计算的。
例如，第二项的指数是n-1，指数为1的项表示的是a的幂和b的幂，因此它的系数是\( \binom{n}{1} \)。
我们一直重复这个过程，直到展开到最后一项。
最后一项的指数是0，指数为n的项表示的是a的幂，因此它的系数是\( \binom{n}{n} \)。
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两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法 若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同 的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类 方式中有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
(a+b)4= a4 + 4a4b+6a2b2 +4ab3 + b4
14641
(a+b)5= a5 +5a4b + 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 1 5 10 10 5 1
十三世纪的阿拉伯人就已经发现了： 从第二行起，每行除两端的1以外的 每一个数都等于它肩上的两个数的和
我国南宋数学家杨辉在十三世纪中叶也发现了此三角形
②递推法： ①〇 an (n 1)(an1 an2 )
②〇 Ann Cn0a1 Cn1a1 Cn2a2 Cnnan
7.定序：
①倍缩法(等概率法)：N n! m!
8.分组：
②插空法：N
Anm n
(1)相同元素的分组：参分配 (2)不同元素的非均匀分组：常规法处理
(3)不同元素的均匀分组：
§247 二项式定理——展开式
一、杨辉三角形： 二、二项式定理：
1.展开式： 2.通项公式： 3.系数与二项式系数：
三、二项式的展开式：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
注1：(前项)后n 项C“n0+n”相Cn1连n1 展开共 C有nrn n+rr Cnnn
①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法 (4)不同元素的混合分组：先均匀后非均匀 3!
9.分配：
(1)不同元素的分配： 先分组后分配
(2)相同元素的分配(分组)：0—1法
10.染色问题：
(1)条型域：
(1)（3 x 1 ）4 的展开式为______
x
原式=方C法403二( ：x(3)4
xC413(
1 x)43 x
1x3xxC2 142 34(
x)2 (
1 x
)2
C43
(3x)
(
1 x
)3
C44
(
1 )4 x
原式=Cx410 2(3(81x x)44C1410(83x 3x
)3
54x12 x
1C242x(3 1x)) 2
x112
(811x24x10584x3x2 54x12081x23x x2
18) 1x
4
81x 2
108x
54
12 x
1 x2
.
(2)课本P：30 例1 法1：直接展开……
求 (2 x 1 )6 的展开式
x
法2：先变形，后展开. 原式= (2x 1)6 =……参课本
x3
法3：原式= (1 2x)6
§247 二项式定理——展开式
一、杨辉三角形： 二、二项式定理：
1.展开式： 2.通项公式： 3.系数与二项式系数：
三、二项式的展开式：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
注1：(前项)后n 项C“n0+n”相Cn1连n1 展开共 C有nrn n+rr Cnnn
x3
1
C61 2x
C62
2x2
C63
2x3 x3
C64
2x4
C65
2x5
C66
2x6
1 C61(2x) C62 (2x)2 C63(2x)3 C64 (2x)4 C65 (2x)5 C66 (2x)6 x3
1
C61 (2 x)
C62
(2x)2
C63
(2x)3 x3
C64
(2x)4
C65
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C
0 6
C16
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
右面的三角形是帕斯卡发现的，并提出了通项公式
Fnk
n! k!(n k)!
瑞士数学家伯努利在十八究的是递推公式
一、杨辉三角形： 二、二项式定理：
1.展开式： 2.通项公式： 3.系数与二项式系数：
三、二项式的展开式：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
注1：( )n Cn0n Cn1n1 Cnrnrr Cnnn
前项后项“+”相连 展开共有n + 1 三块组成每一项 前降后升和为n
注2：(1 )n Cn0 Cn1 Cn22 Cnnn
当 当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑨ (a b)n an bn
m
⑥ a n n am
同底幂
⑩
( a )n b
an bn
异底幂
一、杨辉三角形：——二项式系数表
(a+b)1=a+b
11
(a+b)2= a2 +2ab + b2
121
(a+b)3=a3 +3a2b+ 3ab2 + b3
1331
（22））CC0n0n22n nC1nC21nn21n1 （－（1）－kC1kn）2knCkkn2nk（－1）（nC－nn 1）nCnn
原式 CC0n0n22nn 110 0 C1nC21nn21 n1 1 111 Ckn 2nCk kn 2n1kk1kCnn20 1Cnnn 20 2211nn1.1.
(7)化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 _____
原式 [(x 1) 1]4 x4
作业：
1.《导学案》P：41 2.《导学案》P：41 3.《导学案》P：41
自我检测 4 例1 针对训练 1
预习： 二项式定理及通项公式
注3.常用的组合数： Cn0 1 Cn1 n Cnn 1
两理两数四原则 十大题型递推法
排列与组合的关联：
① 排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序
② 先组后排：排列可以看作是先取组合，再做全排列
Anm Cnm m!
两理两数四原则 十大题型递推法
①先理后数 ②先组后排 ③特殊优先 ④正难则反
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
注④：①○相邻(捆绑法)
②○不邻(插空法)
③○在与不在 ④○含与不含 ⑤○至多与至少
直接法 间接法
⑦○分配 均匀分配 非均匀分配
⑨○定序
⑥○分组
相同元素 不同元素
二元1种 ⑧○错排 三元2种
⑩○染色 四元9种
两理两数四原则 十大题型递推法
①相邻——捆绑法
②不邻(相离) ——插空法
③在与不在
④含与不含 ⑤至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
⑥分组
相同元素——0-1法 不同元素——公式法
⑦分配
均匀分配 非均匀分配
先分组后分配
⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，
则不同的染色方法有多少种？
法3：环型域递推法：
h1 k h2 k(k 1)
A1 An
A2
An1
A3
A4
h3 k(k 1)(k 2)
hn (k 2)hn1 (k 1)hn2 (n 4)
注：二三环型点算法 四块以上递推法
异色插入第一类 同色剪开第二类
“分类”是指完成事件共有n类办法 每类办法都能独立地完成这件事
类似于物理中的并联电路
不同点
“分步”是指完成事件共有n个步骤 每一步都不能独立完成这件事
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
(2x)5
C66
(2x)6
64x3 192x2
60 12 240x 160 x x2
1 x3
(3)课本P：31 练习1 (4)课本P：36 A组 Ex1 (5)课本P：37 A组 Ex2 (6)课本P：37 B组 Ex2