第7章 相关与回归分析课后习题解答

所以，Yf的置信度为 95％的预测区间为
所以，区间预测为
3.讨论以下几种场合的回归方程：
中回归系数的经济意义和应取的
符号。
（1）Yt为商业利润率；X2t他为人均销售额；X3t为流通费用率； （2）Yt为粮食销售量；X2t为人口数；X3t为人均收入； （3）Yt为工业总产值；X2t为占用的固定资产；X3t为职工人数； （4）Yt为国内生产总值；X2t为工业总产值；X3t为农业总产值。 答：
人均销售额越大，企业利润越高，故此商业利润率越高，从而商业利润率与人均销售额呈正相关关系；
而流通费用率越高，反映商业企业的经营成本越高，其商业利润率就越低。
人口数量越多，对粮食的消费量就越大；人均收入越多，对粮食的购买力就越强，故此这两个变量皆 与粮食销售量呈正相关关系。
固定资产和职工人数是两大生产要素，数量越多，说明生产要素越密集，工业总产值就越高，所以它 们与工业总产值的关系为正相关。
所以，Yf的置信度为 95％的预测区间为：
所以，区间预测为： 2.设销售收入 X 为自变量，销售成本 Y 为因变量。现已根据某百货公司 12 个月的有关资料计算出以 下数据（单位：万元）：
利用以上数据，要求： （1）拟合简单线性回归方程，并对方程中回归系数的经济意义作出解释； （2）计算决定系数和回归估计的标准误差；
图 7—13
得到的回归方程为
图 7—14
（2）求平均成本函数： 因为平均成本 yt 与总成本 Yt 的关系为
所以， 将产量从 1 到 2000 取值，代入上式，获得 2000 个平均成本的数据点，描出平均成本函数的图形，见 图 7—15。 由图 7 一 15 可知，平均成本随着产量的增加显示下降，达到一最低值之后，又会随着产量的增加而 提高。
证明： （1）无偏性：
，证明略，参见教材 P173 页，公式 7.29 式的证明。 （2）线性：
令
，则
由此可见， βl 2 是Yt的一个线性函数。它是以kt为权的Yt的一个加权平均，从而 βl 2 是一个线性统计量。
（3）最小方差性：
设
为β2的任意线性无偏估计量。现讨论
的取值情况。
因为
也即作为β2的任意线性无偏估计量，必须满足下列约束条件：
二、选择题
1.变量之间的关系按相关程度分可分为（ BCD ）。
A.正相关 B.不相关 C.完全相关 D.不完全相关
2.复相关系数的取值区间为（ A ）。
A.0≤R≤1 B.－1≤R≤1 C.－∞≤R≤1 D.－1≤R≤∞
3.修正自由度的决定系数（ ABD ）。
A.
2
R
≤
R
2
2
B.有时小于 0 C.0≤ R ≤1
图 7—7
步骤二：为方便后续步骤书写公式，定义某些单元格区域的名称。 首先，定义 F6、F7、F8 的名称：选定 E6：F8 区域，然后执行菜单命令“插入”→“名称”→“指定”， 见图 7—8。
图 7—8 在调出的对话框中选中“最左列”，单击“确定”，见图 7—9。 其次，定义 B2：D23 的名称： 先选定该区域，然后执行菜单命令“插入”→“名称”→“定义”，见图 7 一 10。 调出“定义名称”对话框，输入名称“X”，单击“确定”，见图 7—11。
（注意：由于 t=1，…，n，未必代表总体中全部的随机误差项，故 u ≠0）
样本回归函数为 （7.4）
求平均数，有 （7.5）
（注意，根据假定条件： e =0）
（7.4）－（7.5）式，得 （7.6）
将（7.6）式代入（7.3）式，经整理后可得
平方后再求和：
取上式数学期望：
令
则（7.7）式等于： 教材 P173 页公式 7.30 为
2 由回归估计结果中，可以直接查出回归系数的t值检验值。这里，为帮助读者理解，列出计算步骤。
（3）对β2进行显著水平为 5％的显著性检验； （4）假定明年 1 月销售收入为 800 万元，利用拟合的回归方程预测相应的销售成本，并给出置信度 为 95％的预测区间。
解：
t值远大于临界值 2.228，故拒绝零假设，说明β2在 5％的显著性水平下通过了显著性检验。 （4）Yf=40.3720+0.7863×800=669.41（万元）
因为 代入（7.8）式，得 所以，有 又因为 所以，
又因为
将（7.9）式代入（7.10）式，得
将（7.11）式代人 B，得
（7.7） （7.8）
（7.9） （7.11）
（7.10）
又因为 所以， 将所求得的 A、B、c 数值一起代人（7.7）式，得
所以，
Fra Baidu bibliotek
证毕。
2.试证明最小二乘估计量 βl 2 是标准一元线性回归模型中总体回归系数 βl 2 的最优线性无偏估计量。
图 7—1
1 如果“数据分析命令”没有出现在“工具”菜单，则需要先运行“加载宏”命令，加载“分析工具库”。
图 7—2 在“回归”窗口中确定因变量 Y 值和自变量 X 值的区域后，点击“确定”。见图 7—3。回归结果见图 7—4。
图 7—3
图 7—4
从计算结果可知，拟合的样本回归方程为 （2）由图 7—4 可知，回归估计的标准误差为 638.7076；决定系数为 0.9987。 （3）回归系数的 5％显著性检验。 首先对β1的显著性进行检验2：
图 7—5 的消费” 步骤二：进行回归分析。 选择“工具”→“数据分析”→“回归”，在该窗口中选定自变量和因变量的数据区域，最后点击“确 定”完成操作。 得到回归分析的输出结果见图 7—6。
图 7—6 因此，回归方程为Ct=466.7965+0.4471Yt+0.2640Ct-1 （2）随机误差项的标准差估计值为 S=442.2165 （3）修正自由度的决定系数：Adjusted R Squares=0.9994 （4）各回归系数的 t 统计量为 （5）整个方程的显著性检验： F 统计量为 16484.6，远远大于临界值 3.52，说明整个方程非常显著。 （6）预测： 点估计值为 使用 Excel 进行区问估计步骤如下： 步骤一：构造工作表，见图 7—7。
在 F5 中输入公式“=MMULT（MMULT（Xf，MINVERSE（MMULT（TRANsPC）SE（X），X）））， TRANSPOSE（Xf））”
然后按“Ctr1+Shift 十 Enter”组合键即可。 再计算Sef在F8 中输入公式“=442.22*SQRT（1+F5）”。442.22 为回归估计标准差。 步骤六：计算置信区间上下限。 在 F9、F10 中分别输入公式“=Cf—t 临界值*Sef”和“=Cf+t 临界值*Sef”。结果见图 7—12。
四、证明题
1.试证明教材P171 的（7.21）式给出的S2是标准一元线性回归模型中随机误差项的方差σ2的无偏估计 量。
证明：总体回归函数为
Yt = β1 + β2 X t + ut （7.1）
求样本平均数，有
Y = β1 + β2 X + u （7.2）
（7.1）－（7.2）式，得
( ) ( ) Yt − Y = β2 Xt − X + ut − u （7.3）
因为国内生产总值包括三次产业，所以工业总产值、农业总产值和全部的国内生产总值为正相关关系， 同时即便某些特殊地区没有工业和农业，仍然有国内生产总值，所以β1＞0。
4.利用本章计算题 1 图 7—1 中给出的我国 GDP 和消费的资料，要求： （1）拟合以下形式的消费函数：
式中，Ct是t期消费；Ct-1是t－1 期的消费，Yt是t期的GDP； （2）计算随机误差项的方差估计值； （3）计算修正自由度的 t 统计量； （4）计算各回归系数的 t 统计量； （5）对整个回归方程进行显著性检验； （6）假设 2001 年的国内生产总值为 95350 亿元，试利用拟合的消费函数预测当年的消费总额，并给 出置信度为 95％的预测区间。 解：（1）回归分析的 Excel 操作步骤如下： 步骤一：首先对原 Excel 数据表作适当修改，添加“滞后一期的消费”数据见图 7—5。
又因为
，所以
分析此式：由于第二项 的处理使之最小化。
很明显，若令
是常数，所以
只能通过第一项
可以取最小值，即
所以， βl 2 是标准一元线性回归模型中总体回归系数β2的最优线性无偏估计量。
五、计算题
1.试根据教材 P205 页表 7—8 的资料，要求：
（1）以消费为因变量，国内生产总值为自变量，拟合线性回归方程； （2）计算回归估计的标准误差和决定系数； （3）对回归系数进行显著水平为 5％的显著性检验； （4）假定 2001 年我国的国内生产总值为 104880 亿元，利用拟合的回归方程预测该年可能达到的消 费额，给出置信度为 95％的预测区间。 解：（1）设消费为Y，国内生产总值为X，则线性回归方程为：Y=β1+β2X。 步骤一：构造 Excel 工作表，见图 7—1。 步骤二：回归分析1。 选择“工具”→“数据分析”，再在“数据分析”菜单中选中“回归”，见图 7—2。
构造 t 统计量： 查t分布表可知：显著性水平为 5％，自由度为 21 的双测t检验的临界值为 2.080，t值小于临界值，故 无法拒绝零假设，说明β1在 5％的显著性水平下没有通过检验。 同理，可对β2进行显著性检验： t值远大于临界值 2.080，故拒绝零假设，说明β2在 5％的显著性水平下通过了显著性检验。 （4）预测： 点估计：Xf=104880 亿元，代入回归方程，Yf=62024.16 亿元。 置信度 95％的预测区间为： 计算Sef：
第七章 相关与回归分析
一、判断题
1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。（ × ） 答：错。应是相关关系。单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。 2.相关系数为 0 表明两个变量之间不存在任何关系。（ × ） 答：错。相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的 关系。 3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。（ √ ） 答：对。因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。 4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。（ × ） 答：错。两者是精确的函数关系。 5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。（ √ ） 答：对。 6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。（ √ ） 答：对。因为估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同， 估计的结果仍然不一样。
图 7—10
图 7—11
图 7—12 最终得出Cf的区间预测结果为 5.见教材 P207 页表 7—9 的资料。要求： （1）试拟合以下总成本函数： （2）根据总成本函数推导出平均成本函数，并描出平均成本函数的图形； （3）试根据以上结果推算总产量为 1550 时的单位产品平均成本。 解：（1）构造 Excel 数据表（见图 7 一 13），并以前面所述的同样步骤进行回归分析，得到相应的回 归分析结果，见图 7—14。
D.比R2更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标
4.下列各项中，与回归预测误差的大小有关的是（ ABCD ）。
A.样本容量 B.自变量预测值与自变量样本平均数的离差
C.自变量预测误差 D.随机误差项的方差项的方差
三、问答题
请举一实例说明什么是单相关和偏相关，以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相 关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。然而，如果我们仔细观察， 可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之问事实上应该是负相关。两者之间的 单相关关系出现正相关是因为背后还有天气等因素的影响，天气越热，两种冷饮的消费量都越多。如果设 法将天气等因素固定不变，单纯考察冰激凌与汽水的消费量，则可能出现负相关关系。像这种假定其他影 响因素不变专门考察其中两个因素之间的关系就成为偏相关。
图 7—9 最后，采用同样方法，将 B26：D26 定义为“Xf”，将 F2：F4 定义为“B”。 步骤三：计算点预测值Cf。 在 F6 中输入公式“=MMULT（Xf，B）”，按回车键即可。 步骤四：计算 t 临界值。 在 F7 中输入公式“=TINV（1－0.95，22－3）”，按回车键即可。 步骤五：计算预测估计误差的估计值Sef。