固体力学 第六章 固体电子理论

6.2 Sommerfeld 的自由电子模型（1928 年） 基本假设(ASSUMPTIONS)：(Arnold Sommerfeld 是 Debye, Heisenburg, Pauli 的老师) 1. Independent electron approximation. 2. Free electron approximation. 3. No collision. 4. Quantum statistics: Fermi-Dirac Distribution. (1926 年，Enrico Fermi 和 Paul Adrein Maurice Dirac 在 Pauli’s Repulsive Principle 的基础上提出的统计规律) 电子在温度 T 的统计分布 从量子力学的观点看， 电子是费米子(fermion)应服从 Fermi-Dirac 统计而不是经 典的 Maxwell 统计。Fermi-Dirac 统计指出，在量子态上的平均占据数 f ( ) 为：
实验没有证明这个关系。同时，我们可以构造以下的常数(Lorentz number):
2 3k B 0124 . 10 12 (erg / esu K ) 2 111 . 10 8 W / K 2 T 2e 2
Wm 1 K 1 W erg 1 s 1 erg 10 7 10 11 / K 2 10 4 1 1 2 s 9 cm 9 K cm K 2 T m K






N / V n 2 dk 0 k f FD ( (k )) dk
k2
2
f FD ( (k )) 。
其中，单位体积的电子的态密度(DOS)是声子态密度的两倍，因为电子在一个能量态中 可以有自旋向上，向下两个量子态。 类似于声子的频率分布(FD),单位体积的电子的能量态密度(EDOS)也可以得到:
FHale Waihona Puke Baidu
以下的所有能
量态均被占据，而高于此能量的量子态均无粒子。由于在零温时，波矢 k 小于费米波矢
k F ，在倒易空间电子的波矢的分布状态可以形象地看成一个费米球(Fermi Surface,
Fermi Sphere)。这个能量 零温下的总粒子密度是：
n d g ( ) f FD ( ) d
0 0


dk k 2 f FD ( ) d 2
利用能量和波数的关系 (k )
(2m) 3 / 2 2k 2 ，电子的能量态密度为 g ( ) 2m 2 2 3
。
零温时的电子状态，费米面(Fermi Surface) 当 T 0 时，Fermi-Dirac 分布为一阶梯分布，即在某一能量
q 度梯度： j x
MKS unit J m s -19 1.6*10 C
dT ，比例系数 称为热导率。假设在 x0 v x 处有高温热源，在 dx
x0 v x 处有低温热源，电子速度为 v x ，则能流密度为：
q jx j q ( x0 x0 ) j q ( x0 x0 )
个重要的比(Wiedemann-Franz law)：
1 1 3 3 v 2 cV 2 mv 2 cv 2( k B T )( nk B ) 2 3k B 3 2 2 2 T ne 2 / m 3ne 2 3ne 2 2e 2 3 其中我们利用的关系 cV nk B 是由统计物理的能均分定理得出(假设 3)，电子气的 2
en v tA 电流密度 j 正比于电子的平均速度 v ：j / A en v ， t eE 电 子 的 平 均 速 度 v v0 at a t (其中第一个等号用了假设 m
1,2,5,第二个等号用了假设 3,第三个等号用了假设 4,5)。 这样电流密度 j 可以表达为：
1
9.1 10 28 g
所以金属导体中驰预时间的量级为 10 14 ~ 10 15 s 。根据 Drude 模型，电子速度大小的 平均值为： v0
2 E / m 3k B T / m ，在室温下 v0 107 cm / s 。相应的电
~ 10 A ，也是自洽的。 子平均自由程为： l0 v0 1A
第六章 固体电子理论 金属 (Metal)在固体研究中有特殊的地位。金属是极好的导电体和导热体 (Electrical and heat conductors)，有延展性(Ductile)并有光亮的表面。这些金属性质的解释极大地 推动了现代固体物理的发展。实际上，从十九世纪末到现在，金属研究一直处在固体研究的 中心。对金属的研究导致了能带论的提出,最后在能带论的基础上,建立了对包括金属,半导 体,绝缘体的固体电性质的统一的理论.并由此发展出整个电子工业的理论基础. 6.1 传统电子导电理论(Electron Theory of Metals) 1897 年， 英国的 Cavendish Laboratory 教授 Joseph John Thompson 决定做一个实验。 当时人们发现，在低压气体玻璃管中，阴极会发出一种射线，在玻璃管壁上产生荧光， 被称为阴极射线。这种阴极射线对金属薄片有一定的穿透能力，所以有人认为不是粒子 流。Joseph John Thompson 将阴极射线在均匀磁场中偏转，测量曲率半径；另外将静电 力和静磁力抵消，测定粒子的速度。最后他认为这个阴极射线是粒子流，粒子的荷质比 e/m 是氢离子的荷质比的 2000 倍(测量得到的 e/m 非常稳定，跟阴极材料无关)，而电荷 和氢离子相同，可见质量微小。对固体有一定的穿透力，是因为这种粒子非常微小。后 来，这种粒子被命名为电子。电子是人类认识的第一种基本粒子。由此开始，人类才认 识到古希腊人认为“不可分割”的原子是有内部结构的。 三年以后 Paul Karl Ludwig Drud 和 Hendrik Antoon Lorentz 分别在气体动力学的基础 上构筑了电子的导电理论。 1900 年左右建 立的 Drude Model 解释了欧姆定律 和 Wiedemann-Franz law, 但是不能回答为什么实验上看不出电子对比热有任何贡献。直到 今天 Drude Model 依然是唯象理解并估算金属导电性质的有益手段。在 Drude Model 失 败的地方，通过量子力学研究手段的引进，现代固体物理开始发展并得到确立。 Drude 模型的建立(VIEW): Drude 对金属内部的微观结构首先作了分析。金属中的每个原子分为核，满壳电子 层和价电子。核电荷为 eZ a ，满壳电子层电荷为 e( Za Z ) ，而价电子电荷为 eZ 。 核与满壳电子层组成离子，固定不动。价电子游离于固定的离子周围，弥散于金属内部 的全空间，构成电子气。 金属中电子的基本常数(CONSTANTS): 假设电子总数为 N，每个电子占有的平均半径为 rs ，那么 rs 与电子密度 n 的关系为：

eE ne 2 j ne( ) E. m m
其中 E 是电场强度矢量。 上式证明了电流和电场成正比的欧姆定律。 金属电导率 的定义为 j E ，其中 j 是电流密度矢量。于是得到著名的 Drude Model 的直流 电导率:




ne 2 (n, e, m, 分别是电子浓度、电荷、质量和 Relaxation time)。 m
1
金属的电阻率
的数量级在 cm 。对金属中的驰预时间可作以下估算：
4 rs 3 ( ) (0.53 10 8 ) 3 cm 3 mn 3 aB e2 1 s e (4.8 10 10 ) 2 erg cm( / cm) 10 6 10 11 cm 9 cm r 2.2 ( s ) 3 10 15 s ( / cm) a B
V 4 3 3 rs , rs N 3 4n
1/ 3
3 4n Z a
1/ 3
a, n
N N L na Z na Z 3 V N La3 a
其中 N 是总电子数,在元素晶体中总电子数为 N N L na Z .在一般金属中，电子平 均半径 rs 是 Bohr 半径 a B 的 2-3 倍。 碱金属中的电子平均半径较大， 是 3-5 a B 。 例如:Na
cgs unit 换算 7 能量 erg 1J=10 erg 2 长度 cm 1m=10 cm 时间 s -10 2 电荷 e 4.8*10 esu esu =erg*cm -11 电阻 R s/cm(电阻率:s) 1 =(1/9)*10 s/cm ------------------------------------------------------------------------- 热导率：(Heat Conductivity and Wiedemann-Franz Law) 当温度在某一方向上有梯度时，就会有热流从高温流向低温。此能流密度正比于温

1 1 d dT nv x (T ( x v x )) (T ( x v x )) nv x (2v x ) 2 2 dT dx dT 2 vx cv ( ) dx
1 v 2 cV 。从这一表达式出发，可以得出一 3
2 由此得到热导率： v x cV
f ( )
1 e
( )
1
，
其中 为该量子态的能量， 为电子的化学势， 1 / k B T 。电子具有波粒二 象性(平面波,匀速粒子),自由电子的动量 p k mv ,能量 2 k 2 / 2m . 在讨论晶格振动时，由于声子数不守恒 N photon dg ()n() ，态密度由总自 由度数决定: 3N dg () 。对电子来说就不同，电子数是守恒的.总电子数 N 以及 电子浓度 n 可以表达为：
4a .可见金属电子气的密度是很大的。 具有 BCC 晶格,所以 rs a / 2 2.1A B
Drude 对上述金属电子气的物理性质作了几个简化假设(ASSUMPTIONS)： 1. Independent electron approximation:忽略电子-电子相互作用. 2. Free electron approximation:除了碰撞以外，忽略电子-离子相互作用. 3. 电子和离子的碰撞是瞬时的，电子的速度被突然改变。碰撞后的电子速度只与温度 有关而与碰撞前的速度无关,电子的动能等于 3k BT / 2 。 Relaxation time approximation:两次碰撞之间的平均时间间隔为 ,称为驰预时 间。 不依赖于电子的位置与速度(依赖于晶体结构)。 5. 隐含的假设:电子是经典粒子,可以经典力学和电磁学描述.当时还没有量子力学. 4. 电导率(DC conductivity)，欧姆定律的微观基础(1826 年, Goerg Simon Ohm)
Lorentz 常数的实验值在 2 3 10 8 Watt Ohm / K 2 附近，因此当初 Drude 计算的结 果因为一个两倍的错误与实验值符合得好极了。Drude 估算的 Lorentz 常数的量级是对 的，后来的固体物理发展证明，他的正确结果建立在两个大错误的互相抵消上，即室温 下的电子比热高估了 100 倍而电子平均速度的均方值低估了 100 倍。