拉氏变换的性质

x(t ) x1(t )* x1(t )
x1 (t )
X(s) X1(s)X1(s)
X1(s)

1 s
(1
es
)


X (s)

1 s2
(1
es )2
收敛域问题:
1
x1 (t )
1
其收敛域为整个s平面。
第7章 拉普拉斯变换
*利用所示矩形脉冲f1的 Laplace 变换式和本章所
d nx(t) dt n

dt sn X (s) sn1x(0 ) sn2 x'(0 )
n1
x(n1)(0 )
sn X (s) snr1 x(r)(0 )
r0
说明：如果所处理的信号为有始信号，即
x(t) 0 t 0 则x(0 ), x'(0 ), x(n1) (0 )都为零
cos w0tu(t) sinw0tu(t ) eat cos w0tu(t ) e at sin w0tu(t )
1 (s a)n
s s 2 w02
w0
s2

w
2 0
sa
(s

a)2

w
2 0
w0
(s

a)2

w
2 0
第7章 拉普拉斯变换
] 1
s
s
s
将初始条件代入，得：
2s 1
1
3
Y (s)
s2
3s 2

s1
s2
y(t ) [e t 3e 2t ]u(t )
上例表明，用拉氏变换求解系统响应时，初始条 件自动包含在变换式中，一步求出系统的全响应
第7章 拉普拉斯变换
(三)、 复频域微分特性
t
s0
卷积 x1(t ) x2 (t )
定理 x1(t ) x2 (t )
重点讨论以下性质
X1(s) X2(s)
1
2j
X1(s)
X2(s)
第7章 拉普拉斯变换
(一).时移、频移特性和应用
x(t) x(t t0 )
1.时移性
设： x(t) X(s)
则:
t0
x(t t0 ) est0 X (s) t0 o
t
2e
at
u(t
)
LT

(s
2 a)3
t n1
LT
e at u(t )
1
(n 1)!
(s a)n
其收敛域为 a
第7章 拉普拉斯变换
(四).初值和终值定理
1.初值定理 若x(t) 及其导数x’(t) 可以进行拉氏变换
且 x(t) X(s)
则 lim x(t) x(0 ) lim sX (s)
(s

s3 1)2 (s

2)

0
lim
t
x(t
)

lim
s0
s
(s
(s 3) 1)2 (s
2)

0
第7章 拉普拉斯变换
例7 -10
已知 : L
[ x(t )]

(s
3 1)3
利用初值定理求x(t)的展开式中非零的前两项
x(t) a0 a1t a2t 2 a3t 3
时移后收敛域不变，此性质适用于单边和双边
拉氏变换。
u(t
)
LT

1
s
u(t
LT
1)
1
es
s
第7章 拉普拉斯变换
例7-6 求图示台阶函数的拉氏变换
E
t
T
x(t) E u(t) E u(t T ) E u(t T ) E u(t 3T ) Eu(t T )
4
1.
(
s
(
s 2)(
6) s
5)
2.
(
s
(s 3) 1)2 (s
2)
解
:
1. x(0
)

lim
s
s
(s
(s 2)(
6) s
5)

1
lim x(t) lim s (s 6) 0
t
s0 (s 2)( s 5)
2. x(0
)

lim
s
s
根据微分定理:
L
[d
2 x(t) dt 2 ]

s2 X (s)

sx ( 0
)

x ' (0
)
x(0 ) 0 x'(0 ) 0
s2X(s) (1 e s )2
X( s )

1 s2
(1 e s )2
第7章 拉普拉斯变换
方法四:利用卷积定理x1(t)可以看作是x1(t)自身的卷积.
1 (1 e(s1) ) (s 1) (1 e(s1) )
频移性
1 (1 e s ) 2 1
s
1 e2s
1 (1 2es e2s ) s
第7章 拉普拉斯变换
(二).时域微分积分特性(单边)
1.时域微分特性
若x(t) X(s),则dx(t) sX (s) x(0 )
第7章 拉普拉斯变换
例7-11 求图示三角波x(t)的拉氏变换(收敛域如何).
解: 方法一:按定义式积分
X(s)
x(t)estdt

1 testdt
0
2
(2
1
t )e st dt

1 s2 (1
es )2
方法二:利用线性迭加和时移定理
x(t) tu(t) 2(t 1)u(t 1) (t 2)u(t 2)
若：x(t ) X (s) 则：
tx(t ) dX (s) ds
(t)n
x(t)

d n X(s) dsn
例7-8 试求信号x(t)=t2e-at u(t)的拉氏变换
解
LT
e at u(t )
s
1
a
由复频域微分,得
第7章 拉普拉斯变换
te
at
u(t
)
LT

(s
1 a)2
4 44 24
4
E u(t) E
4
4s
LT
x(t)
E
sT
[1 e 4
sT
e 2
3sT
e 4
4esT ]
4s
第7章 拉普拉斯变换
2. 频移性
设： x(t) X(s)
则: x(t)es0t X(s s0 )
频移后收敛域发生变化。
u
(t
)
LT

1
0
LT

x1(t nT ) X1(s) esnT
n0
n0
X1(s) 1 e sT
利用无穷递减 等比级数求和
第7章 拉普拉斯变换
例7-7 求图示信号的拉氏变换(时移,频移)
f (t) 包络函数 et
12
乘衰减指数 周期对称方波
1 1 es s 1 es
单对称方波
u(t) 2u(t 1) u(t 2)
分析： x(0) a0
x(0) a1
x(0) 2a2 x(0) 6a3 ......
解 :由 题 义 可 知
L[ x(t)]

(s
3 1)3
x(0 )
a0

lim S
S
3 (s 1)3

0
第7章 拉普拉斯变换
L
[ x(t)]

(s
3s 1)3

x(0
t
lim x(t) lim sX (s)
t
s0
终值定理表明信号在时域中 x() 值,可以通过复
频域中的X(s)乘以s取 s 0 的极限得到
例7 - 9 分别求下列反变换的初值和终值.
1.
(
s
(
s 2)(
6) s
5)
2.
(
s
(s 3) 1)2 (s
2)
第7章 拉普拉斯变换
)

(s
3s 1)3
x(0 )
a1

lim
s
s
(
s
3s 1)3

0
L
[ x(t)]

3s2 (s 1)3

x(0 )

3s2 (s 1)3
lim x(0 ) 2a2
S
S
3S 2 (S 1)3
3
a2

3 2
第7章 拉普拉斯变换
L
[ x(t )]
t 0
s
几点说明
a.要注意初值x(t) 为t=0+时刻的值,而不是x(t)在t=0时刻的值,无论拉氏变换X(s)是采用0+系统还是采用 0-系统,所求得的初值总是x(0+) .
b. x(t)在t=0处无冲激项。
第7章 拉普拉斯变换
2.终值定理
若x(t)及其导数可以进行拉氏变换且lim x(t) 存在,则
3S 3 ( S 1)3

x'' (0 )
3S 3
3(3S 2 3S 1)
( S 1)3 3
( S 1)3
lim x(3)(0 ) 6a3
s
3(3s2 3s 1)
s (s 1)3
9
3 a3 2
x(t) 3 t 2 3 t 3 22
第7章 拉普拉斯变换
§7.3 Laplace变换的性质
n
线性
ki xi(t)
i1
n
kiXi (s)
i 1
微分
dx(t )
SX (s) x(0 )
dt
积分
t
X ( )d
X (s) x'(0 )
s
s
时移 x(t t0 )u(t t0 ) e st0 X ( s)
s
t
y(t) 3 y(t) 2 y( )d u(t)

0
y(0 ) 2, y( )d 0

第7章 拉普拉斯变换 t
y(t) 3 y(t) 2 y( )d u(t)

解: 方程两边作拉氏变换，得： 0
y( )d
sY (s) y(0 ) 3Y (s) 2[Y (s)
述拉氏变换的性质,求图示函数f2-f6的拉氏变换.
f1
1
2
(a)
et
第7章 拉普拉斯变换
§7.4 常用函数的拉氏变换对 P284表7－1
(t )
u(t ) u(t)
t nu(t ) eat u(t )
1
1 S
1 S
n! sn1Fra Baidu bibliotek
1 sa
第7章 拉普拉斯变换
t n1 et u(t ) (n 1)!
s
LT
e2tu(t)
1
2
s2
LT
e2tu(t )
1
-2
s2
第7章 拉普拉斯变换
利用时移性求单边周期信号的拉氏变换
x(t)
x1(t )
1
t
0T
t
0T
LT
x1(t ) X1(s)
第一周期的拉氏变换
LT
x1(t nT ) esnT X1(s)
利用时移特性

L
[tu(t)]
1 s2
x(t)
L [ x(t t0 )] X (s)est0
1
X(s)

1 s2
(1 es )2
1
2
第7章 拉普拉斯变换
方法三:利用时域微分性质将x(t)微分二次
L
[
d
2 x(t dt 2
)
]

L[
(t
)

2
(t

1)


(t

2)]

(1

e
s
)2
频移
x(t )e s0t
X (s s0 )
第7章 拉普拉斯变换
S域微分 tx(t )
dX (s) ds
尺度变换 x(at)
1 X s a a
初值定理 lim x(t) x(0 ) lim SX(s)
t 0
s
终值 定理
lim x(t) x() lim SX(s)
那么
L [ dx ] sX (s) dt
L
[d
n x(t) dt n ]

sn
X
(s)
第7章 拉普拉斯变换
2.时域积分特性
若：x(t) X(s) 则：
0
t x( )d X (s)
x( )d

s
s

当x(t)为有始信号时：
t x( )d X (s)
例7-8 求下列系统的响应 0