解析函数的概念与柯西黎曼方程

2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z 0 ) ,
令 (z )
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z 0 )
7
则
z 0
lim ( z ) 0 ,
因为
所以
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z , 即
f ( z 0 )
dw dz
z z0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
h( z0 z ) h( z0 ) z
2
不存在 .
因此 h ( z ) z 仅在 z 0 处可导 , 而在其他点都 不可导 , 根据定义 , 它在复平面内处处不解 析.
16
例5 研究函数 w 的解析性 .
z
1
解
因为 w 且 dw dz
1 z
在复平面内除 1 z
2
z 0 处处可导 ,
定理一
设函数 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域
D 内 , 则 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导 , 则 : u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏导数都存在， 且满足柯西－黎曼方程 u x v y , u y v x .
(a x b y 1 x 2 y ) i (b x a y 2 x 1 y )
于是 u a x b y 1 x 2 y ,
v b x a y 2 x 1 y .
因为 lim ( z ) 0 , 所以
G 内解析 . 如果 h 都属
z , 函数 g ( z ) 的对应值
w f [ g ( z )] 在 D 内解析 .
以上定理的证明, 可利用求导法则.
18
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
( 2 ) 任何一个有理分式函数 零的点的区域内是解析 它的奇点 . P(z) Q(z) 的 , 使分母为零的点是 在不含分母为

z0 z z0 z
14

( z 0 z )( z 0 z ) z 0 z 0
(1 ) z 0 0 , (2 ) z0 0,
z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. z 0 z
z0 z z0
z z
,
令 z 0 z 沿直线
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
4
3.求导法则:
求导公式与法则:
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
存在 ,
f ( z ) 在 z0
f ( z ) 在 z 0 可导 . 这个极限值称为
f ( z 0 )
dw dz
z z0
lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
z 0
.
2
在定义中应注意:
z 0 z z 0 (即 z 0 )的方式是任意的 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
11
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 导 , 那末称 f ( z ) 在 z 0 及 z 0 的邻域内处处可
f ( z ) 在 z 0 解析 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数 ).
13
例4
研究函数
2
f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和
2
h ( z ) z 的解析性 .
解
f ( z ) z 在复平面内是解析的
2
;
g ( z ) x 2 yi 处处不解析
下面讨论
2
;
,
2 2
h ( z ) z 的解析性
h( z0 z ) h( z0 ) z

,
z 0 外处处解析 ,
所以 w 在复平面内除
z 0 为它的奇点 .
17
定理
( 1 ) 在区域 D 内解析的两个函数 和、差、积、商 f (z) 与 g(z)的 ) 在 D 内解析 .
D 内解析 ,
(除去分母为零的点
( 2 ) 设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 函数 w f ( h ) 在 h 平面上的区域 对 D 内的每一个点 于 G , 那末复合函数
Im z z

Im( x i y ) x i y

y x i y
,
9
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则
w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z , 式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
y y 0 k ( x x 0 ) 趋于 z 0 ,
1 ik x 1 ik x i y 1 i y z x
z
x i y
15
1 i
y
由于 k 的任意性 ,
z z

1 ki 1 ki
不趋于一个确定的值
.
z 0
lim
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
8
例2 解

讨论 f ( z ) Im z 的可导性 .
f z
源自文库

f (z z) f (z) z

Im( z z ) Im z z
Im z Im z Im z z
( g(z) 0)
(6)
f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ).
f ( z ) 1
其中 w g ( z )
(7 )
( w )
,
其中 w f ( z ) 与 z ( w ) 是 函数 , 且 ( w ) 0
6
两个互为反函数的单值
u i v ,
f ( z z ) f ( z ) u( x x , y y ) u( x , y )
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
5
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).

f ( z ) g ( z )

(5)
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f (z) . 2 g(z) g (z)
22
例4
证明函数
f (z)
xy 在点 z 0 满足柯
西－黎曼方程但在点
z 0 不可导 .
xy , 所以 u xy , v 0,
证
因为
f (z)
u x ( 0 , 0 ) lim
u ( x ,0 ) u ( 0 ,0 ) x0
y0
x 0
0 v y ( 0 , 0 ), 0 v x ( 0 , 0 ),
第一节
解析函数的概念与柯西 黎曼方程
一、复变函数的导数与微分
二、解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 点 , 点 z 0 z 不出 D 的范围 , D , z 0 为 D 中的一
如果极限
那末就称 的导数 ,
记作
z 0
lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
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2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 的奇点 . f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
z 0
x 0 y 0
lim 1 lim 2 0 ,
x 0 y 0
26
由此可知
u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 ,
且满足方程
u x

v y
,
u y

v x
.
(2) 充分性.
由于
i [ v ( x x , y y ) v ( x , y )]
24
证
(1) 必要性.
D 内,
设 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 且 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导 ,
则对于充分小的 z x i y 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
即 z 0 z 在区域 D 内以任意方式趋于 比值 f ( z0 z ) f ( z0 ) z 都趋于同一个数
z 0时 , .
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.
3
例1 解
求 f ( z ) z 的导数 .
2
u y ( 0 , 0 ) lim
u ( 0 , y ) u ( 0 ,0 )
y 0
柯西－黎曼方程在点
z 0 成立 .
23
定理二
设函数 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 D 内 , 则 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 , 并且在该 点满足柯西－黎曼方程 u x v y , u y v x .
其中
z 0
lim ( z ) 0 ,
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f ( z ) a ib ,
( z ) 1 i 2 ,
25
所以 u i v ( a ib ) ( x i y ) ( 1 i 2 ) ( x i y )
19
思考题
复变函数 f ( z ) 在点 z 0 可导与在 z 0 解析有无区别 ?
20
思考题答案
f ( z ) 在点 z 0 解析必在
例如 f ( z ) z
2
z 0 可导 ,
反之不对.
在 z 0 0 处可导 ,
但在 z 0 0 处不解析 .
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一、主要定理
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分.
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
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如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在