解析函数的概念与柯西黎曼方程
函数的Cauchy-Riemann方程解析
函数的Cauchy-Riemann方程解析引言在复分析中，Cauchy-Riemann方程是一个重要的方程组，它描述了复函数在某一点处的可微性。
该方程组以奥古斯丁·路易·柯西和伯恩哈德·黎曼的名字命名，他们于19世纪独立地发现了它。
Cauchy-Riemann方程Cauchy-Riemann方程由两个方程组成：u x=v yu y=−v x其中u和v是复函数f(z)的实部和虚部，z=x+iy是复数。
推导Cauchy-Riemann方程可以通过使用复微分的定义来推导出。
复微分的定义如下：f′(z)=limℎ→0f(z+ℎ)−f(z)ℎ如果f(z)在z=z0处可微，那么该极限存在，并且与ℎ无关。
现在，让我们将复微分的定义应用于函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
我们得到：f′(z)=limℎ→0f(z+ℎ)−f(z)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)+iv(x+ℎ,y+k)−u(x,y)−iv(x,y)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)−u(x,y)ℎ+ilimℎ→0v(x+ℎ,y+k)−v(x,y)ℎ=u x(x,y)+iv x(x,y)同样的，我们可以得到：f′(z)=limℎ→0f(z+ℎ)−f(z)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)+iv(x+ℎ,y+k)−u(x,y)−iv(x,y)ℎ=limℎ→0u(x+ℎ,y+k)−u(x,y+k)ℎ+ilimℎ→0v(x+ℎ,y+k)−v(x,y+k)ℎ=u y(x,y)−iv y(x,y)将这两个方程结合起来，我们得到：u x(x,y)+iv x(x,y)=u y(x,y)−iv y(x,y)等式两边取共轭，可得：u x(x,y)−iv x(x,y)=u y(x,y)+iv y(x,y)将这两个方程加起来，我们得到：2u x(x,y)=2u y(x,y)2v x(x,y)=−2v y(x,y)将这两个方程除以 2，我们得到：u x(x,y)=u y(x,y)v x(x,y)=−v y(x,y)这就是Cauchy-Riemann方程。
复变函数第二章
2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
柯西—黎曼方程
• 容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.
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10
存
证：
由于偏导数连续，则二元函数u 和v 的增量可分别写为
u u u x y 1 x 2 y x y
v v v x y 3 x 源自 y x y随着 z 0 则
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i 0
5
u u v v x y i ( x y ) f u i v x y x y lim lim lim z 0 z z 0 z 0 z z u v x y 柯西—黎曼方程 u v y x u v (x i y ) i (x i y ) x lim x z 0 z
柯西—黎曼方程
张宏浩
柯西—黎曼方程（复变函数可导必要条件） 可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。 实变数f(x)： x沿实轴逼近零。
0 实数
x
x x
复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。
y 复数 z
z z
因此，复函数的可导性是比实 函数的可导性条件强得多。
z z '
x
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u v i x x
这一极限是与 z 0 的方式无关的有限值
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解析函数
解析函数的概念
若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在 区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数
说明： 1.解析与可导不等价 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价.
柯西黎曼方程意义和作用
柯西黎曼方程意义和作用
①f(z)在平面内可微
②f(z)满足柯西黎曼方程
那么f(z)就是一个解析函数，即一个在平面内无处不可微的函数。
而柯西黎曼方程是决定了一个函数在平面内是否是解析函数的必要条件。
因此，柯西黎曼方程的意义和作用都非常重要。
首先，柯西黎曼方程告诉我们什么样的函数是解析函数。
一个函数是
否是解析函数对于复分析来说非常重要，因为只有解析函数才具有很多好
的性质，比如是无限可微的、有唯一的幂级数展开式、具有 Cauchy 定理
等等。
因此，通过柯西黎曼方程我们可以判断一个函数是否是解析函数。
其次，柯西黎曼方程在复变函数的研究中起到了重要的作用。
比如，
它可以用于寻找解析函数的一些特殊性质，比如奇点、零点、极值等等。
此外，它还可以用于求解一些常见问题，如求解拉普拉斯方程、泊松方程等。
柯西黎曼方程也是解析函数理论中的重要基础。
最后，柯西黎曼方程在物理学中的应用也非常广泛。
它可以用于描述
电场和磁场的分布，也可以用于描述流体力学中的流场。
由于它具有很好
的数学特性，因此在数学物理学中也有着广泛的应用。
综上所述，柯西黎曼方程是复分析中的重要基础之一，它的意义和作
用非常重要。
通过柯西黎曼方程，我们可以判断一个函数是否是解析函数，求解一些特殊的问题，以及在物理学中进行描述和分析。
第2章、解析函数
第2章、解析函数第⼆章解析函数本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。
第⼀节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、此定义也⽤εδ-语⾔给出。
注2、可导必连续注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例⼦：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平⾯解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平⾯上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
解析函数的概念和柯西—黎曼条件
f ( z ) z n 在 z 平面上解析， f ( z ) z , Re z , Im z , | z | 在 z 平面上处处不解析。
■ 类似于一元实函数的导数法则，下面，可平行地给出解析函数的相应法则： （1） （解析函数的四则运算） 如果 f ( z ), g ( z ) 都在区域 D 内解析，则 f ( z ), g ( z ) 的和、差、乘积和商（商的情形要 求分母函数不为零）在区域 D 内仍解析，并且
z 0
o(z ) 0 ，则称 f ( z ) 在 z0 可微，线性部分 z
A( z0 )z 称为 f ( z ) 在 z0 的微分，记为 df ( z0 ) A( z0 )z.
由定义不难证明：
f ( z ) 在 z0 可导 f ( z ) 在 z0 可微且 A( z0 ) f ' ( z0 ) 。
( f ( z ) g ( z )), f ( z ) g '( z ) ( f ( z ) g ( z )) ' f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) . g 2 ( z) g ( z)
是一个定义在区域 D 内的函数。 ■ 当二元实函数 u ( x, y ) 及 v( x, y ) 给定时，此函数也就完全确定。 ■ 但如果 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 互相独立， 即使 u ( x, y ) 及 v( x, y ) 对 x 与 y 所有偏导数都存 在并且连续，并不能保证 f ( z ) 是可微的。 例如， w z x iy 处处连续，并且 u x, v y 对 x 和 y 的一切偏导数都存在且连 续，但由例 1 知， w z 却是一个处处不可微的函数。 ■ 因此，如果 f ( z ) 可微，它的实部 u ( x, y ) 和虚部 v( x, y ) 应当不是互相独立的，而必 须适合一定的条件。 下面，来探讨这种条件。 若 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 在点 z x iy 可微（可导） ，则
解析函数及柯西黎曼方程
2
的解析性.
解 由本节例1和例2和练习知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
h( z ) z
2
处处不解析
12
四则运算法则
如果f ( z )和g( z )在区域D上解析，则
f (z) f ( z ) g( z )、f ( z ) g( z )、 ( g( z ) 0) g( z )
如果f ( z )在点z0不解析，但在z0的任一个领域内总有 解析点，那么称z0为函数f ( z )的奇点.
注
注1、“可微”有时也可以称为“单演”，
而“解析”有时也称为“单值解析”、“全 纯”、“正则”等； 注2、解析性与可导性的关系：在一个点的 可导性为一个局部概念，而解析性是一个整 体概念； 注3、函数在一点解析，是指在这个点的某 个邻域内可导，因此在这个点可导；反之， 在一个点的可导不能得到在这个点解析；
第二章 解析函数
第一节 解析函数和柯西－黎曼方程
1、复变函数的导数和微分 2、解析函数及其简单性质 3、柯西－黎曼方程
1 复变函数的导数和微分
设单值函数w f (z )在点z0的某邻域内有定义， z0 z是邻域内任意一点 f ( z0 z ) f ( z0 ) w 如果极限 lim lim 存在 z 0 z z 0 z （假设为A，有限的复数）
2、两个解析函数的复合函数仍为解析函数；
3、 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲 线上解析ห้องสมุดไป่ตู้所有解析点的集合必为开集。
P50 例2.3-2.5
练习
1 研究函数 w 的解析性. z
18
解 因为 w 1 在复平面内除 z 0 处处可导, z
解析函数的概念及其分析
解析函数的概念及其分析◎王文姬【摘要】【摘要】本文介绍了解析函数的相关概念、解析函数的几种等价定理及其证明，由此加深对解析函数的理解.【期刊名称】数学学习与研究：教研版【年(卷),期】2018(000)019【总页数】1【关键词】【关键词】解析函数；柯西-黎曼方程一、解析函数的定义定义1 如果函数w=f(z)在区域D内每一点都可微，则称f(z)为区域D内的解析函数(全纯函数或正则函数)，或称f(z)在区域D内解析.为了叙述上语言的简洁，我们常用以下的说法：1.函数f(z)在一点z0解析，意味着f(z)在点z0的某一邻域内解析；2.函数f(z)在闭域上解析，意味着f(z)在某一包含闭域的区域内解析；3.函数f(z)在曲线L上解析，意味着f(z)在某一包含曲线L的区域内解析.定义2 若函数f(z)在点z0不解析，但在z0的任一邻域内总有f(z)的解析点，则称z0为函数的奇点.二、解析函数的几个等价定理及其证明熟知解析函数的概念和解析函数的等价定理的证明是很有意义的.接下来以解析函数的概念为出发点，总结解析函数的3个等价定理.定理1 函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在区域D内解析的充要条件是：(1)二元函数u(x，y)及v(x，y)在区域D可微；(2)u(x，y)及v(x，y)在D内满足柯西-黎曼方程，即：证明必要性.设f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在区域D内有意义，并且f(z)在D内一点z=x+yi可导，则对于充分小的|Δz|=|Δx+iΔy|>0，有f(z+Δz)-f(z)=f′(z)Δz+ρ(Δz)Δz，其中令f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f′(z)=a+ib，ρ(Δz)=ρ1+iρ2.所以Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(ρ1+iρ2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+ρ1Δx-ρ2Δy)+i(bΔx+aΔy+ρ2Δx+ρ1Δy).于是Δu=aΔx-bΔy+ρ1Δx-ρ2Δy，Δv=bΔx+aΔy+ρ2Δx+ρ1Δy.由复变函数存在的充要条件可知，当有因而u(x，y)与v(x，y)在点(x，y)可微，且满足方程充分性.由于f(z+Δz)-f(z)=u(x+Δx，y+Δy)-u(x，y)+i[v(x+Δx，y+Δy)-v(x，y)]=Δu+iΔv.又因为u(x，y)与v(x，y)在点(x，y)可微，于是其中因此(ε1+iε3)Δx+(ε2+iε4)Δy.由柯西-黎曼方程因为所以即函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在点z=x+yi可导.定理2 函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在区域D内解析的充要条件是：(1)ux，uy，vx，vy在D内连续；(2)u(x，y)，v(x，y)在D内满足C-R条件.证明必要性.f(z)在区域D内解析，由解析的无穷可微性知，f′(z)必在D内连续，因而ux，uy，vx，vy一定在D内连续，再根据定理2必要性的证明易知C-R条件成立.充分性.由ux，uy，vx，vy在区域D内连续，那么根据二元函数可微的充分条件能够得到，函数u(x，y)，v(x，y)在区域D内可微，则根据定理2可知，f(z)在区域D内解析.定理3 函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在区域D内解析的充要条件是：在区域D 内v(x，y)是u(x，y)的共轭调和函数.证明必要性.因为f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在区域D内解析，则由C-R条件得因为与在D内连续，它们必然相等，所以在D内有同理，在D内有即u(x，y)及v(x，y)在D内满足拉普拉斯方程.由于u(x，y)及v(x，y)在D内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程，因此u(x，y)及v(x，y)为区域D内的调和函数，由于u(x，y)及v(x，y)在区域D 内满足C-R方程，所以u(x，y)是v(x，y)的共轭调和函数.充分性.由于在D内v(x，y)是u(x，y)的共轭调和函数，因此u(x，y)及v(x，y)是调和函数，所以满足拉普拉斯方程，也就是连续，由于u(x，y)，v(x，y)满足C-R方程，所以f(z)在D内解析.【参考文献】[1]冯志新，沈永祥.复变函数论[M].北京：北京大学出版社，2012.[2]梁会.解析函数的几个等价条件的证明及其应用[J].毕节学院学报，2010(4)：49-51.[3]贾随军，任瑞芳.欧拉对函数概念的发展[J].西北大学学报，2008(2)：513-516.。
第二章第一节：解析函数的概念与柯西-黎曼方程
当沿着x轴方向趋向z时，极限为 1； 当沿着y轴方向趋向z时，极 限为2. 所有，极限不存在。
z x
例
解
求f ( z) x 2 2iy 2在点z 1 i处的导数 .
f (1 i) lim
Dz 0
f (1 i Dz) f (1 i) Dz
2Dx 4iDy (Dx) 2 2i (Dy ) 2 lim Dx 0 Dx iDy
研究函数 f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性 . f ( 0 Dz ) f ( 0 ) Dz Re(Dz ) 解 (1) z 0, lim lim 0, Dz 0 Dz Dz 0 Dz 故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导.
例: 问f ( z ) x 2 yi是否可导？ y Df f ( z Dz ) f ( z ) Dy 0 lim 解 lim z Dz 0 D z Dz 0 Dz o ( x Dx ) 2( y Dy )i x 2 yi Dx 2Dyi lim lim Dz 0 Dz 0 Dx Dyi Dz 设z Dz沿着平行于 x 轴的直线趋向于z， Dx 2Dyi Dx lim lim 1, Dz 0 Dx Dyi Dx 0 D x 设z Dz沿着平行于 y 轴的直线趋向于z， y Dx 0 Dx 2Dyi 2Dyi lim lim 2, Dz 0 Dx Dyi Dy 0 Dyi Dy 0
所以 f '(z)=2z.
例: f(z)=x+2yi是否可导？
解：
f ( z Dz ) f ( z ) ( x Dx) i 2( y Dy) ( x 2 yi) lim lim Dz 0 Dz 0 Dz Dx iDy y Dx 2iDy lim Dz 0 Dx iDy
解析函数与柯西黎曼方程
解析函数与柯西黎曼方程解析函数是复变函数中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
解析函数的性质由柯西黎曼方程来描述。
本文将对解析函数和柯西黎曼方程进行详细解析。
一、解析函数的定义在复平面上，如果一个函数在其定义域内处处可导，并且导数在该定义域内连续，那么这个函数就是解析函数。
解析函数也可以称为全纯函数或者可微函数。
二、柯西黎曼方程的定义柯西黎曼方程是描述解析函数性质的重要方程。
对于一个解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是f(z)的实部和虚部。
柯西黎曼方程可以表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x这两个方程是解析函数的必要条件，也是解析函数的充分条件。
三、解析函数的性质1. 解析函数的实部和虚部都是调和函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即∇²u=0和∇²v=0。
2. 解析函数的导数也是解析函数。
3. 解析函数的实部和虚部满足拉普拉斯方程的共轭关系，即∇²u=∇²v和∇²v=-∇²u。
4. 解析函数的实部和虚部满足调和共轭方程，即u和v满足调和方程的共轭关系。
5. 解析函数的实部和虚部满足调和方程的边界条件。
四、解析函数的应用解析函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的电场和磁场分析：解析函数可以用来描述电场和磁场的分布和变化。
2. 工程学中的流体力学分析：解析函数可以用来描述流体的流动和变形。
3. 统计学中的概率分布分析：解析函数可以用来描述概率分布的性质和变化。
4. 金融学中的风险分析：解析函数可以用来描述金融市场的波动和风险。
五、总结解析函数是复变函数中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
解析函数的性质由柯西黎曼方程来描述，柯西黎曼方程是解析函数的必要条件和充分条件。
解析函数的实部和虚部都是调和函数，导数也是解析函数。
复变函数论 第二章 解析函数
．
证明：∵ u ( x, y ) = e x cos y, v( x, y ) = e x sin y
∴ ux = e x cos y, u y = −e x sin y
， ．
vx = e x sin y, v y = e x cos y
u ( x, y ), v ( x, y ) 在 z 平面上处处可微，且满足C-R条件，故由定理
e w = z ( z ≠ 0, ∞)
的根 w 称为
z 的对数，记为w = Lnz .
为主值（支）.
当 −π < arg z ≤ π 时，称 注：区别 Lnz 例2.10 和
w = Lnz = ln z + i arg z
lnz
π
.
Lni = ln i + i ( + 2kπ ) = i ( + 2kπ ).k = 0, ±1, ±2,⋯ 2 2
n
z 的单值解析分支.
（3） w = n z 的支点与支割线. 定义2.7 设 w = f ( z ) 为多值函数， a 为一定点，作小圆周 C : z − a = r ， 若变点
z 沿
C 转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则
称 a 为 f ( z ) 的支点，如 w = n z , z = 0 绕 C: z =r 一个支点.
例2.10 设 w = Lnz 定义在沿负实轴割破的平面上，且 w(−1) = 3π i（是下岸相 应点的函数值）求 w(i ) 的值. 解：wk = ( Lnz )k = ln z + i(arg z + 2kπ ) (−π < arg z ≤ π )
3π i = ln1 + i (arg i + 4π )
《复变函数论》第二章
第二章 复变函数第一节 解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且0z D ∈。
如果极限00,0()()limz z z Df z f z z z →∈--存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0'()fz ，或z z dw dz=。
定义2.2：如果()f z 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 处解析；如果()f z 在区域D 内处处解析，则我们称()f z 在D 内解析，也称()f z 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为'()f z 或d ()d f z z。
注解1、εδ-语言，如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数()0δδε=>，使得当z E ∈，并且0||z z δ-<时，00()()||f z f z a z z ε--<-，则称)(z f 在0z 处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：()f z 和()g z 在区域D 内解析，那么()()f z g z ±，()()f z g z ，()/()f z g z （分母不为零）也在区域D内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())''()'()[()()]''()()()'()f zg z f z g z f z g z f z g z f z g z ±=±=+2()'()()()'()()[()]'f z f z g z f z g z g z g z -⎡⎤=⎣⎦。
解析函数的概念与柯西黎曼方程
u y ( 0 , 0 ) lim
u ( 0 , y ) u ( 0 ,0 )
y 0
柯西－黎曼方程在点
z 0 成立 .
23
定理二
设函数 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 D 内 , 则 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 , 并且在该 点满足柯西－黎曼方程 u x v y , u y v x .
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
13
例4
研究函数
2
f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和
2
h ( z ) z 的解析性 .
解
f ( z ) z 在复平面内是解析的
2
;
g ( z ) x 2 yi 处处不解析
下面讨论
2
;
,
2 2
h ( z ) z 的解析性
h( z0 z ) h( z0 ) z
即 z 0 z 在区域 D 内以任意方式趋于 比值 f ( z0 z ) f ( z0 ) z 都趋于同一个数
z 0时 , .
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.
柯西黎曼方程
柯西黎曼方程我们已经对复变函数的概念有了基本的认识。
但是，在物理学的研究中，在工程技术的应用计算中，人们往往不是对所有的复变函数感兴趣，而是只对一类有特殊性质的复变函数感兴趣，这一类有特殊性质的复变函数被称为解析函数。
设w=f(z)是区域G内的单值函数，如果在G内某点z处以下的极限存在：则函数在该点可导，称此极限是函数在该点的导数，记为f'(z)。
需要注意的是，只有当Δz以任意方式趋于零时，极限值相等，极限才会存在。
利用这个要求就能够得到函数可导的必要条件。
考虑自变量的两种特殊的变化方式：第一种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于实轴的方向趋于零。
在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成第二种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于虚轴的方向趋于零。
在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成另一方面，上述极限如果存在，那么，自变量按这两种方式变化得到的两个极限值必须相等！由此得到：我们把这两个等式称为柯西―黎曼方程。
如果一个函数在区域G内每一点都可导，它就是G内的解析函数。
由这个定义可知，解析函数在其定义域内处处满足柯西―黎曼方程。
或者可以这样说，如果一个复变函数在某个区域内处处满足柯西—黎曼方程，这个复变函数就是一个定义在这个区域内的解析函数。
柯西—黎曼方程把一个解析函数的实部与虚部联系起来，这意味着并不是随便找两个二元实变函数就可以构造出一个解析函数。
一个特定的二元实变函数，只能与另一个特定的二元实变函数配对，才能成为某个解析函数的实部和虚部。
利用解析函数的实部和虚部的这种相互关联性，对一个特定的二元实变函数，可以通过柯西—黎曼方程找到与它配对的另一个二元实变函数。
如果有一个二元实变函数u(x,y)，我们希望用这个函数做实部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的虚部的全微分：同样，如果有一个二元实变函数v(x,y)，我们希望用这个函数做虚部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的实部的全微分：我们知道，只要知道了一个函数的全微分，就可以通过积分求出这个函数本身。
复变函数论第三版钟玉泉第二章
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
2. 奇点的定义
若函数 f (z )在点 z 0不解析，但在 z 0 的任一邻域内总 有f (z )的解析点，则称 z 0 为函数f (z ) 的奇点.
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
8 f (z)在区域 D内可微.
复变函数论
广西教育学院
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的某邻域内处处可导 ,
若 f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y ) 在一点z = x + iy,可微，设
lim f (z + D z ) - f (z ) = f ' (z )
Dz? 0
Dz
（1）
设 Vz =Vx + iVy, f (z + Vz )- f (z ) = Vu + i Vv,
Vu = u (x + Vx, y + Vy )- u (x, y )
z
z
x iy
y , x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
柯西黎曼Cauchy-Riemann方程的证明
1 引言解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式．现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的．本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．2 基本概念与定理定义2．1[1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000()()limz z z Df z f z z z →∈--存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或0(z z df z dz=）．即000()()lim '()z z f z f z f z z z →-=-．有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数．定义2．2[1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析，并称()f z 是区域D 内的解析函数．如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ⊂，而()f z 在G 内解析．若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点．例1 试证明(Re f z z z =）在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 00()(0)R e limlimlim R e 00z z z f z f z z z z z→→→-===-故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =．设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限000()()R e R e limlimz z z z f z f z z z z z z z z z →→--=--0000000()()lim()()x x y y x iy x x iy x x x i y y →→+-+=-+-002200000()lim()()x x y y x x i xy x y x x i y y →→-++=-+-当z 沿平行于实轴的方向趋近0z 时，因0y y =，故 000()()l i mz z f z f z z z →--220000()limx x x x iy x x x x →-+-=-00lim [()]x x x x iy →=++002x iy =+当z 沿平行于虚轴方向趋近于0z 时，因0x x =，故 00000000()()()limlim()z z y y f z f z ix y y x z z i y y →→--==--因为0x ，0y 至少有一个不为零，于是0002x iy x +≠．故当00z ≠时，()f z 不可微．因而除00z =外，()f z 都不可微．在00z =处尽管函数()f z 可微，但不存在00z =的一个邻域，使()f z 在此邻域内每一点都可微，故()f z 在00z =点也不解析，从而()f z 在z 平面上任何点都不解析． #此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析．有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理： 定理2．3[2]设函数(,)(,)f u x y iv x y =+定义与区域D ，000z x iy D =+∈，则()f z 在点0z 处可微的必要与充分条件是：(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，且满足Cauchy-Riemann 方程,u v v uxy x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （1）证： 必要性 设0(0)z z z D z +∆=∈∆≠，w u i v ∆=∆+∆．因()f z 在点0z 可微，则有00lim'()z w f z z∆→∆=∆．令0'()w f z zε∆-=∆．即得0'()w f z z z ε∆=∆+∆ （2） 当0z ∆→时，0ε→．令0'()f z a ib =+，z x i y ∆=∆+∆，12i εεε=+，则当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．于是由（2）式，12()()()()u i v a ib x i y i x i y εε∆+∆=+∆+∆++∆+∆12()a x b y i b x a y ηη=∆-∆++∆+∆+其中112x y ηεε=∆-∆，221x y ηεε=∆+∆．则比较实部与虚部，则 1u a x b y η∆=∆-∆+， 2v b x a y η∆=∆+∆+ （3）其中a 与b 与x ∆，y ∆无关．因112zηεε≤≤+∆，而当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．故当0z ρ∆==→时，10ηρ→，于是10()ηρ=．同理20()ηρ=．由（3）即知u ，v 在点00(,)x y 处可微，且在点00(,)x y 处有u a x∂=∂，u b y∂=-∂，v b x∂=∂，v a y∂=∂，于是,u v v uxyxy∂∂∂∂==-∂∂∂∂， 因此满足Cauchy-Riemann 方程．充分性 设(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处有 1u u u x y x yη∂∂∆=∆+∆+∂∂．2v v v x y xyη∂∂∆=∆+∆+∂∂．其中10lim0ρηρ→=，20lim0ρηρ→=，z ρ==∆．因Cauchy-Riemann 方程（1）成立，如令u v a xy∂∂==∂∂，v u b xy∂∂=-=∂∂，则12()w u i v a x b y i b x a y ηη∆=∆+∆=∆-∆++∆+∆+12()()()a ib x i y i a ib z ηηη=+∆+∆++=+∆+．故 w a i b zzη∆=++∆∆．其中12i ηηη=+．因12120i zzηηηηηρρ+=≤+→∆∆（当0ρ→）， 故 0l i m0z z η∆→=∆．于是 00l i m'()z w a i b f z z∆→∆=+=∆．因此()f z 在点0z 可微． #３ 几种不同形式的Cauchy-Riemann 方程3．1 梯度形式定理3．1[3] 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，(,)u x y ，(,)v x y 的Cauchy-Riemann 方程等价于(),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4）证：若实形式的C-R 条件成立，即,u v xy ∂∂=∂∂,u v yx ∂∂=-∂∂那么有(),gradu gradv =12,12u u v vu v u ve e e e xyxy x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂++=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ()0v u u vC R y y y y⎛⎫∂∂∂∂--+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭条件， 其中1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正向相同的单位矢量．gradu =,gradv == (),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩反之，若（4）式成立，则有22220,.u v u vx x y y u u v v x y x y ∂∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ （5） 设,u v u v p q xyyx∂∂∂∂=-=+∂∂∂∂那么，方程组（5）化为0,0.v v p q x y u v u v p q x y y x ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪++-= ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎩（6）其中0,0.u v u v xyyx∂∂∂∂+≠-≠∂∂∂∂此方程组的系行列式为J =vx u v x y ∂⎛∂∂∂ + ∂∂⎝vy u v y x ∂⎫⎪∂⎪∂∂⎪-⎪∂∂⎭=v u v v u v x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂--+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=--+≠⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦事实上，若220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 由（5）式可知220v u v u u u x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故我们有222220,v u v u u u v v x y y x x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫--+-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦220,u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+--= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭即22u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+=- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭． 这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解．于是0,0,.uv q x y p u v yx ∂∂⎧=⎪=∂∂⎧⎪⎨⎨=∂∂⎩⎪=-⎪∂∂⎩即3.2 复形式若考虑二实变数,x y 的复值函数(),f x y ，引进复变数,,z x iy z x iy =+=-则()()11,22x z z y z z i =+=-． 于是()(),,.22z z z zw f z f x y f i ⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭这里形式地把(),f x y 考虑为z 与z 的函数，而把z 与z 视为独立的自变量，因此()f z 可以对自变量z 与z 求导数．定理3．2[4]()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程0f z∂=∂．证：1212f f x fy f f i z x z y z x y f f x f y f f i x y x y z z z⎧⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+=+⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎪=+=- ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎩（7）()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程u v xy∂∂∂∂=，.u v yx∂∂∂∂=-而'()u v u v xxyyf z ii∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-+，所以f(z)应满足偏微分方程.f f xyi∂∂∂∂= （8）将（7）和（8）比较，得0f z∂=∂．因此解析函数f （z)是以条件0f z∂=∂为其特征，即Cauchy-Riemann 方程的复形式可表示为0f z∂=∂．（7）式在作为极限定义时并没有什么方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于z 及z 的形式导数．这里值得一提的是，实际上z 与z 并不是独立变量，因为他们是互相共轭的．也就是说，一个解析函数与z 无关，而是z 的独立函数．这也是我们把一个解析函数看作确实是一复数的函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．3．3 极坐标形式 定理3． 3． 1[4]：()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是()cos sin z r i φφ=+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的极坐标形式，即11u vr r v u rr φφ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （9） 证：因为cos ,sin ,cos ,sin ,u R v R x r y r θθφφ====所以cos sin u R R rrrθθθ∂∂∂=-∂∂∂， （10）cos sin u R R θθθφφφ∂∂∂=-∂∂∂， （11）sin cos v R R rrrθθθ∂∂∂=+∂∂∂， （12）sin cos v R R θθθφφφ∂∂∂=+∂∂∂， （13）将(10)cos (12)sin (11)cos θθθ⨯+⨯+⨯得cos sin ,cos sin .u v R r r r u v R θθθθφφφ∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪+=∂∂∂⎪⎩将（9）式代入得1(cos sin ),(cos sin ).v u R r r v u R r r r θθφφθθφ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩（14）再把()()()()13cos 11sin ,12cos 10sin ,θθθθ⨯-⨯⨯-⨯得cos sin ,cos sin .vu r v u R rr rθθθφφφθθθ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪-=⎪∂∂∂⎩ （15） 比较（14）式与（15）式，得,.RrR r R r rR θφθφ∂∂∂∂∂∂∂∂⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （16）（16）就是我们所需要的Cauchy-Riemann 方程．定理3． 3． 2[5] 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程,.R R x y R R y x θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩证： 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的实形式,u v u vxy y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂． 而cos ,sin ,u R v R θθ==所以cos sin ,u R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R yyrθθθ∂∂∂=-∂∂∂cos sin ,u R R yyyθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂故cos sin sin cos ,R R R R x xy y θθθθθθ∂∂∂∂-=+∂∂∂∂ (17)cos sin sin cos .R R v R R yyx xθθθθθ∂∂∂∂-=--∂∂∂∂（18） 将（17），（18）两式分别乘以cos θ，sin θ或sin θ，cos θ-再相加，得,.R R x y R R yx θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （19）（19）式就是所需求的Cauchy-Riemann 方程．下面推导在条件之下的()f z 的导数表达式．因为(cos sin )(sin cos )11'()()(cos sin )(cos sin )uv R R i R i R Rx x x x x x f z if z R i R i R x x θθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-++∂∂∂∂∂∂∂∂===+++∂∂，所以1'()()()R f z f z i R x xθ∂∂=+∂∂． 若我们应用（19）式，则有1'()()()Rf z f z i y R y θ∂∂=-∂∂．参考文献：[1]刘声华，潘吉富，郑基允．复变函数[M]．长春：吉林教育出版社 1988．[2]钟玉泉．复变函数论(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1988．[3]L V 阿尔福斯．复分析[M]．上海：上海科学出版社，1984．[4]谭小江，伍胜健复变函数简明教程[M]．北京：北京大学出版社，2006．[5]Jerrld E Maislen． Basic complex analysis[M]．Freeman W H ahd Company， 1973致谢本论文是在湖州师范学院张孝惠老师精心指导下完成的．从最初的论文选题到论文初稿的修改乃至最后的定稿都倾注了这位老师的大量心血．整个毕业论文阶段的学习使我受益非浅，特此向张老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！此外，还要感谢刘太顺教授，是他给我打下了坚实的复变函数基础，在理论上给予我很大的帮助；感谢同寝室一起学习的同学给予我的关心和支持，感谢湖州师范学院多年来对我的教育、培养．在此，我向各位给予我帮助支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！。
解析函数的概念
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象．它在理论和实际中有着广泛的应用．本章在先学习复变函数概念的基础上，讨论解析函数．学习函数解析的的一个充要条件，以及如何用实部、虚部所具有的微分性质表达函数的解析．学习常用的初等复变函数．§2.1 解析函数的概念教学目的：1．理解并掌握复变函数可微和解析的定义，以及复变函数在一点和闭区域上解析的含义；能正确判断所给函数在一点或在一个区间上的可导性与解析性．2．能理解并掌握复变函数可微、解析与实、虚部两个二 元实函数的关系（C —R 条件）；正确运用解析的充要条 件判断函数的解析性．3．熟练掌握几类初等单值解析函数，并了解几类典型的 初等多值解析函数．重难点：证明函数的可导性与解析性；掌握函数可导与解析的联系 与区别．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.1.1 复变函数的导数解析函数是复变函数论的主要研究对象, 它是一类具有某种特性的可微函数．首先, 我们类似于实函数的导数引进复变函数的导数.【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,记0z z z -=∆且对 00()z z z ∀+∆∈，)()(0z f z f w -=∆)()(00z f z z f -∆+=, 如果z w z ∆∆→∆0lim00)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有 ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dw A dz ==,即 A ＝zw z f z ∆∆='→∆00lim )(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→． 如果z w z ∆∆→∆0lim 00)()(lim 0z z z f z f z z --=→不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注：10. 由于复变函数导数的定义与实函数导数的定义形式一致,容易验证, 实函数求导的基本公式大多可不加更改地移植到复变函数上来．20.由定义2.1易得, 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 讨论z z f =)(在z 平面上的可导性．解 在复平面上任取一点z ,由于当0→∆z 时,zz z z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的 极限不存在, 所以 z z f =)(在点z 不可导．再由z 的任意性, z z f =)(在z 平面上处处不可导．（注意z zz z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在图2 .1）例2 证明 函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0． 证明 由于 0000()()()(0)lim lim 0z z z f z f z f z f z z z →→--=--200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例3 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导． 证明 因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z zz z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时00000000Im Im Im Im ()()Re()lim lim 1z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- 考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时00000000Re Re Re Re ()()Re()lim lim 0z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()limz z z z z z →--不存在， 即()f z 在0z 没有导数． 由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．例4 证明: 函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且 1)(-='n n nz z (n 为正整数) ．证明 在z 平面任取一点z , 因为()()()n nf z z f z z z z z z+∆-+∆-=∆∆121(1)2n n n n n nz z z z ----=+∆++∆ 所以 0lim →∆z 1)()(-=∆-∆+n nz z z f z z f , 即n z z f =)(在点z 可 导,且1)(-='n n nz z . 由点z 的任意性知, 结论成立．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示： 22224200()(0)lim lim 01y y x ky x kyf z f xy k z x y k →→==-==-++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.§2.1.2 解析函数的概念与求导法则1.【定义2.2】如果)(z f 在点0z 的某邻域内处处可导, 则称)(z f 在点0z 解析；如果)(z f 在区域D 内可微(即)(z f 在D 内每一点都可导), 则称)(z f 在区域D 解析； 如果)(z f 在区域G 内解析, 而闭区域G D ⊂,则称)(z f 在闭区域D 上解析．如果)(z f 在0z 处 不解析，则称0z 为)(z f 的奇点.（如图2 .2）说明: 由定义2.2知,10.函数解析一定是与相关区域联系在一起的．即函数在一点解 析不是函数在该孤立点的性质. 函数在一点可导与在一点解析不等价；指函数在此点的某邻域内可导；20. 函数在一个区域D 内解析有时也称此函数为区域D 上的全纯函数或正则函数．函数在区域D 内解析等价于函数在区域D 内处处可导(即在区域D 内每一点都解析)．函数在某闭区域上解析是指函数在包含此闭区域的更大的区域内解析．2.类似于实函数的求导法则, 关于解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、 差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z'''⋅=+⋅；2()()()()()[](()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n z nz -'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）．（4）多项式函数n n n a z a za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n z na z p （5）而有理函数m m n nb z b a z a z R ++++=00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的． 2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析, ()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合 函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且 ()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则 ()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''． 提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案: 32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ） 例5 设212)23()(+-=z zz f , 由上述法则知, 2202()21(32)(32)f z z z z z ''=-+-+22021(32)(61)z z z =-+-．例6 求函数 5223()41z z f z z -+=+的解析性区域以及在该区域上的导数．解 设52()23,()41P z z z Q z z =-+=+，则P(z) , Q(z)在全平面上 解析，再由商的求导法则知()0Q z ≠时， ()()()P z f z Q z =在平面上解析，由()0Q z =得2i z =±；故函数)(z f 的解析区域是全平面除点2i z =±外的区域．且由商式求导公式得4222246104241()(41)z z z z f z z ++--'=+． §2.1.3 解析函数的一个充要条件（柯西—黎曼条件）与判别从形式上，复变函数的导数及其运算法则与实函数几乎没有什么差别，但实质上它们之间存在很大的的差异．下面，我们来研究复变函数的可微和解析与其实部、虚部两个二元实函数之间的关系．【定理2. 1】（可微的充要条件）设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）的充要条 件是 ：(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, （ 柯西—黎曼条件也称为C R -方程 ）．证明 必要性:若 )(z f 在点D iy x z ∈+=可微记ib a z f +=')(,v i u w ∆+∆=∆, y i x z ∆+∆=∆, 其中 (,)(,)u u x x y y u x y ∆=+∆+∆-，(,)(,)v v x x y y v x y ∆=+∆+∆-由导数的定义知()()()()()w f z z o z a ib x i y o z '∆=∆+∆=+∆+∆+∆()0()(0)a x b y i b x a y z z =∆-∆+∆+∆+∆∆→比较上式两边的实部、虚部得 ),(),(y x u y y x x u u -∆+∆+=∆y b x a ∆-∆=()o z +∆)(0z ∆→）),(),(y x v y y x x v v -∆+∆+=∆)()b x a y o z =∆+∆+∆(0z ∆→）再由实函数中二元实函数可微的定义知, ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微, 且xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,． 充分性: 记xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,, 且),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微,所以 w u i v ∆=∆+∆[()][()]x y x y u x u y o z i v x v y o z ''''=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()()()]x x y y u i v x u i vy o z ''''=+∆++∆+∆ ()()()a b i x b i a y o z=+∆+-+∆+∆ ()()()a b i x i a b i y o z =+∆++∆+∆()()()a b i x i y o z =+∆+∆+∆ ()()f z z o z '=∆+∆. 所以 00()lim lim ()x x o z w a bi f z z z∆→∆→∆∆'=++=∆∆. 说明：10. 定理2.1中条件xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,称柯西—黎曼条件或柯西—黎曼方程或C R -方程．20. 由定理2.1的证明知，如果),(),()(y x iv y x u z f +=在 点iy x z +=可微， 则有导数公式 yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(． （由C R -方程还可以写出其它形式）30.特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂， 但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导. 在实函数中,我们知道由二元实函数具有一阶连续的偏导数可以 推得二元函数可微, 由此可得【推论】※ (可微的充分条件) 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在 区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．将上述定理1及其推论运用到区域D 的每一点上，可得函数解析的充要条件．【定理2.2】 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． 【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上， 则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程． 注： 定理2.2的充分性由推论立即可得, 但必要性的证明需要用到第三章中的解析函数的无穷可微性．例7 讨论下列函数的可导性与解析性．（1）()Re f z z =解： 设iy x z +=, 则有()Re f z z x ==,记 (,)u x y x =, 0),(=y x v ． 因1,0u u x y∂∂==∂∂, 0,0=∂∂=∂∂y v x v , 显然它们不满足C —R 条件, 所以 由定理1知, ()Re f z z =在z 平面上处处不可导且处处不解析．（2）2)(zz f =．解： 设iy x z +=, 则有222)(y x zz f +==, 记 22),(y x y x u +=, 0),(=y x v ． 因y y u x x u 2,2=∂∂=∂∂, 0,0=∂∂=∂∂yv x v , 显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需0,0==y x 即可,所以 2)(zz f =仅在原点可导, 但在z 平面上处处不解析． （3）()(cos sin )x f z e y i y =+.解：设iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=,则有 cos ,sin x xu e y v e y ==因为 cos ,sin x x x y y x u e y v u v e y ''''===-=，且四个偏导数存在且连续，所以 ()f z 在z 平面上处处可导且处处解析且)()(z f z f =' ()(cos sin )()x z u v f z i e y i y e f z x x∂∂'=+=+==∂∂． 注: 满足此例题条件的解析函数称为复指数函数．说明：在讨论具体函数的可导性和解析性时, 可先找出实部和虚部实函数,再验证定理2.2或者推论的条件(1)和(2)得出可导性. 但在回答解析性时一定要慎重, 必须再考虑函数在可导点的邻域内的可导性后才能给出正确的回答．若C —R 方程不成立，则函数一定不可导.用推论有时更方便.提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解 由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不 解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ）7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ） 练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性． 解 记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yv x v ,显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需,12-=x 即21-=x , 所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性． 解 记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因 2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v v xy y x x y∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的． 要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导， 但在z 平面上处处不解析．例8 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数． 解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续， 由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩ 故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例9若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析.证明 因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例10 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求 (3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故 函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上， 所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-． 例11判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上 的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立， 故函数 ()f z 在复平面上处处解析且()f z '＝23z ．例12 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a = 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+ 解得：m =1, 3-==l m .例13 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一,证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不 全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂， 故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故 0u u x y∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则 ),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, xv y u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ； 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在 区域D 内为常数．（5）设a ≠0，则a bv c u -=，于是有 y y x x v a b u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 .;x y y x v u v u -== 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴u,v 必为常数，即f(z)为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常 常起着关键的作用．例14 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明 在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属 于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析． 说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义． 练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数 又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂． 要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂,6u v xy y x ∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件．所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数． 证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂． 所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.小结：1.函数在一点解析与函数在一点可导不是等价命题；函数在一个区域上解析与函数在一个区域上可导是等价命题.2.判断函数的解析性时最好将其转化为运用推论即对应实、虚部函数是否具有一阶连续偏导数，是否满足柯西－黎曼条件来判定.3.多项式复函数、整数次幂的幂函数、有理函数（分母不为零时）在整个复平面上解析.解析函数的四则运算解析（作商式运算时分母不为零）.4.函数的导数公式只须记住：()u v f z i x x∂∂'=+∂∂及柯西－黎曼方程，则在求导数时可根据条件写出相应公式.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数.。
(解析函数)
实事上,函数在一点可导, 不一定在该点处解析.
函数在一点解析, 则在该点及该点的某个邻域一定可导. 练习： 试证 f (z) ex (cos y i sin y) 在复平面上解析，且求 f '(z)
2v y 2
0
调和函数指如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续
偏导数且满足拉普拉斯方程 2H 0 则称H(x,y)为
区域B上的调和函数.
4
以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别
称之为共轭调和函数
( x,0)
(x,y)
v 2 ydx 2xdy 2 ydx 2xdy C
y
(0,0)
( x,0)
(x,y)
( x, y)
•• 2xdy C 2xy C C为积分常数
(0,0)
o
x
(x,0)
7
(2)凑全微分法 由上已知
dv=2ydx+2xdy 很容易凑成全微分形式d(2xy),则
dv=d(2xy) 此时显然有v=2xy+C
实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便.
(3)不定积分法 上边算出
v 2x, ••v 2 y
y
x
第一式对y积分,x看做参数,可得
v 2xdy (x) 2xy (x) 其中(x)为x的任意函数,再
对x求导 v 2 y (x) 由柯西-黎曼条件知道 (x) 0
§1.4 解 析 函 数 上一节我们学习了复数的导数, 导出柯西-黎曼方程,本节我们
复变函数2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼条件
§ 1 解析函数的概念与柯西—黎曼条件1. 复变函数的导数与微分复变函数的导数定义，形式上和数学分析中单元函数的导数定义一致。
因此，微分学中几乎所有的求导基本公式，都可不加更改地推广到复变函数上来。
定义2.1 设函数w=f(z)在点z 0的邻域内或包含z 0的区域D 内有定义，考虑比值:z z z f z f z w 00)()(--=∆∆=)0()()(00≠∆∆-∆+z zf z f z z ， 如果当Z 按任意方式趋于z 0时，即当z ∆按任意方式趋于零时，比值z w ∆∆的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数f (z )在点z 0的导数，并记为0()f z '，即: 00000()()()lim lim z z z f z f z w f z z z z →→-∆'==∆-, (2.1)这时称函数f (z )于点z 0可导。
（2.1）的极限存在要求与z ∆趋于零的方式无关，对于函数的这一限制，要比对于实变量x 的实值函数y=)(x ϕ的类似限制严得多。
事实上，实变函数导数存在性的要求意味着：当点x x ∆+0由左（0<∆x ）及右（0>∆x ）两个方向趋于x 0时，比值x y ∆∆的极限都存在且相等。
而复变函数导数存在性的要求意味着：当点z z ∆+0沿联接点z 0的任意路径趋于 点z 0时，比值z w∆∆的极限都存在，并且这些极限都相等。
和导数的情形一样，复变函数的微分定义，形式上与实变函数的微分定义一致。
设函数w=f(z)在点Z 可导。
于是 )(lim0z f zw z '=∆∆→∆, 即是:0lim ,)(0=+'=∆∆→∆ηηz z f z w ， ∈+∆'=∆z z f w )(。
其中z ∆⋅=∈η为比z ∆高阶的无穷小。
称z z f ∆')(为w=f(z)在点Z 的微分。
记为dw 或df(z)，此时也称f(z)在点Z可微，即: d w =z z f ∆')(特别，当f (z )=z 时，dz=z ∆。
函数解析的充要条件及Cauchy-Riemann方程的不同形式
函数解析的充要条件及Cauchy-Riemann方程的不同形式程希伟【摘要】解析函数是复变函数论中最基本的概念之一，在这里给出了五个函数解析的充要条件，还推导出函数解析的另一个充要条件，并探讨出Cauchy-Riemann方程另外两种形式。
【期刊名称】《赤峰学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)013【总页数】2页(P7-8)【关键词】解析函数;充要条件;柯西黎曼方程【作者】程希伟【作者单位】淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南 232038【正文语种】中文【中图分类】O174.5引理1函数在区域D内解析的充要条件是：二元函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内可微且u(x,y)，v(x,y)在D内满足C.-R.方程.引理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是:ux,uy,vx,vy在D内连续且u(x,y)，v(x,y)在D内满足C.-R.方程.引理3函数f(z)在区域G内解析的充要条件是：f(z)在G内连续；且对任一周线C，只要C及其内部全含于G内，就有引理4函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是：在区域D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.引理5函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是：f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数.函数f(z)=u+iv解析的充分必要条件fz¯=0.证明必要性而f(z)是解析函数，由C.-R.得，ux-vy=0，uy+vx=0,代入(4)即fz¯=0.必要性:证毕.3.1 极坐标下的柯西黎曼方程为证明若f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ) z=reiθ=r(cosθ+isinθ)=x+iy f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)而f(z)=p(x,y)+iq(x,y)解析，C.-R.方程为px=qy；py=-qx即将(1·)x+(2·)y得=vθ，即rur=vθ.将(1·)y+(2·)x得，即rvr=uθ.极坐标下柯西黎曼方程为那么极坐标这下函数解析的充要条件可改写为，且u,v可微.3.2 Cauchy-Riemann方程的梯度形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)v(x,y)的Cauchy-Riemann方程的梯度形式为证明在代数形式下的柯西黎曼方程为ux=vy，uy=-vx，那么有其中e1,e2是与x,y轴正向相同的单位矢量.所以已知调和函数v(x,y)，以v(x,y)为虚部的解析函数证明因为v(x,y)是调和函数，共轭关系知存在u(x,y)使得f(z)=u+iv在D内解析，取D内任一点z0，那么f(z)在z0的某一邻域内可展开为其收敛半径为R,必有将(5)(6)代入(4)中有将ε换成z得出以下结论同理有已知u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，z0为D内任一点，则在D内以u(x,y)为实部的解析函数为〔1〕钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.〔2〕杨纶标，郝志峰.复变函数[M].北京：科学出版社，2003.。
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h( z0 z ) h( z0 ) z
2
不存在 .
因此 h ( z ) z 仅在 z 0 处可导 , 而在其他点都 不可导 , 根据定义 , 它在复平面内处处不解 析.
16
例5 研究函数 w 的解析性 .
z
1
解
因为 w 且 dw dz
1 z
在复平面内除 1 z
2
z 0 处处可导 ,
定理一
设函数 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域
D 内 , 则 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导 , 则 : u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏导数都存在， 且满足柯西－黎曼方程 u x v y , u y v x .
Im z z
Im( x i y ) x i y
y x i y
,
9
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则
w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z , 式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z43. Nhomakorabea导法则:
求导公式与法则:
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分.
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
10
如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在
z0 z z0 z
14
( z 0 z )( z 0 z ) z 0 z 0
(1 ) z 0 0 , (2 ) z0 0,
z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. z 0 z
z0 z z0
z z
,
令 z 0 z 沿直线
即 z 0 z 在区域 D 内以任意方式趋于 比值 f ( z0 z ) f ( z0 ) z 都趋于同一个数
z 0时 , .
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.
3
例1 解
求 f ( z ) z 的导数 .
2
19
思考题
复变函数 f ( z ) 在点 z 0 可导与在 z 0 解析有无区别 ?
20
思考题答案
f ( z ) 在点 z 0 解析必在
例如 f ( z ) z
2
z 0 可导 ,
反之不对.
在 z 0 0 处可导 ,
但在 z 0 0 处不解析 .
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21
一、主要定理
u i v ,
f ( z z ) f ( z ) u( x x , y y ) u( x , y )
存在 ,
f ( z ) 在 z0
f ( z ) 在 z 0 可导 . 这个极限值称为
f ( z 0 )
dw dz
z z0
lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
z 0
.
2
在定义中应注意:
z 0 z z 0 (即 z 0 )的方式是任意的 .
z 0
x 0 y 0
lim 1 lim 2 0 ,
x 0 y 0
26
由此可知
u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 ,
且满足方程
u x
v y
,
u y
v x
.
(2) 充分性.
由于
i [ v ( x x , y y ) v ( x , y )]
f ( z 0 ) ,
令 (z )
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z 0 )
7
则
z 0
lim ( z ) 0 ,
因为
所以
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
5
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
f ( z ) g ( z )
(5)
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f (z) . 2 g(z) g (z)
13
例4
研究函数
2
f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和
2
h ( z ) z 的解析性 .
解
f ( z ) z 在复平面内是解析的
2
;
g ( z ) x 2 yi 处处不解析
下面讨论
2
;
,
2 2
h ( z ) z 的解析性
h( z0 z ) h( z0 ) z
y y 0 k ( x x 0 ) 趋于 z 0 ,
1 ik x 1 ik x i y 1 i y z x
z
x i y
15
1 i
y
由于 k 的任意性 ,
z z
1 ki 1 ki
不趋于一个确定的值
.
z 0
lim
22
例4
证明函数
f (z)
xy 在点 z 0 满足柯
西－黎曼方程但在点
z 0 不可导 .
xy , 所以 u xy , v 0,
证
因为
f (z)
u x ( 0 , 0 ) lim
u ( x ,0 ) u ( 0 ,0 ) x0
y0
x 0
0 v y ( 0 , 0 ), 0 v x ( 0 , 0 ),
G 内解析 . 如果 h 都属
z , 函数 g ( z ) 的对应值
w f [ g ( z )] 在 D 内解析 .
以上定理的证明, 可利用求导法则.
18
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
( 2 ) 任何一个有理分式函数 零的点的区域内是解析 它的奇点 . P(z) Q(z) 的 , 使分母为零的点是 在不含分母为
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
11
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 导 , 那末称 f ( z ) 在 z 0 及 z 0 的邻域内处处可
f ( z ) 在 z 0 解析 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数 ).
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
8
例2 解
讨论 f ( z ) Im z 的可导性 .
f z
f (z z) f (z) z
Im( z z ) Im z z
Im z Im z Im z z
24
证
(1) 必要性.
D 内,
设 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 且 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导 ,
则对于充分小的 z x i y 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z , 即
f ( z 0 )
dw dz
z z0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
u y ( 0 , 0 ) lim
u ( 0 , y ) u ( 0 ,0 )
y 0
柯西－黎曼方程在点
z 0 成立 .
23
定理二
设函数 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 D 内 , 则 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 , 并且在该 点满足柯西－黎曼方程 u x v y , u y v x .