《工业机器人技术基础》(第2章)
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k 1
只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB 没有意义。
矩阵乘法一般不满足交换律，即一般情况下， AB BA。根据矩阵乘法定义， 矩阵乘法满足下列性质（假定以下运算都能进行）。
2.1
工业机器人的数学基础
2.1.1 矩阵概述
1．矩阵的定义
由 m n 个数 aij (i 1 ，2 ， ，m ；j 1 ，2 ， ，n) 排成的 m 行 n 列数表，并用括号括起来，即
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2
n
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵。通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，这个元素可以是实数，也可以是虚数。 一个 m n 矩阵可以简记为 A Amn (aij )mn 。
1 0
0
A diag(1 ，2 ，
，n
)
பைடு நூலகம்
0
2
0
0 0
n
8）数量矩阵
主对角线元素相同的对角矩阵，称为数量矩阵，记为
0
0
A
0
0
0 0
9）单位矩阵 主对角线元素全为 1 的数量矩阵，称为单位矩阵，n 阶单位矩阵简记为 En 或 E ，即
免元素之间混淆，也可将行矩阵记为 A (a11 ，a12 ， ，a1n ) 。
2）列矩阵
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。列矩阵也可记
am1
为 A (a11 ，a12 ， ，a1n ) 。
3）零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O 。
工业机器人 技术基础
第2章 工业机器人运动基础
目录
CONTENT
2.1 工业机器人数学基础 2.2 坐标系及其关系描述 2.3 坐标变换 2.4 工业机器人运动学
学习 目标
1 了解矩阵的概念。 2 掌握矩阵的基本运算。 3 掌握坐标系的分类、关系描述和坐标变换
的方法。 4 了解工业机器人D-H表示法。 5 掌握工业机器人运动学基础计算。
主对角线以下均为零的矩阵称为上三角矩阵，即
a11 a12
A
0
a22
0 0
a1n
a2n
ann
6）下三角矩阵
主对角线以上均为零的矩阵称为下三角矩阵，即
a11 0
0
A
a21
a22
0
an1 an2
ann
7）对角矩阵
除主对角线上的元素以外，其余元素全为零的方阵，称为对角矩阵，记为
2．数与矩阵相乘
数 k 与矩阵 A (aij )mn 的乘积，称为数乘，记为 kA ，规定为
ka11
kAmn
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
矩阵数乘满足以下性质：
（1）分配律： k(A B) kA kB，(k l)A kA lA 。 （2）结合律： (kl)A k(lA) 。 （3）1A A，0A O 。
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等，记为 A B 。需要注意的是，不是同型的矩阵是不能进
行相等比较的，同型矩阵之间不能比较大小。
12）负矩阵
对于矩阵 A (aij )mn ，每个元素取相反数，得到的矩阵称为 A 的负矩阵， 记为 A ，即
a11
A
a21
am1
a12 a22
将矩阵 A (aij )mn 的行与列依次互换得到的矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，简称转置，记为
1 4
AT
(a ji )nm
。例如，
A
1
4
2 5
3
6
，则
AT
2
3
5
。
6
2．几种特殊形式的矩阵
1）行矩阵
只有一行的矩阵 A (a11 a12
a1n ) 称为行矩阵或行向量。为避
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn mn
矩阵加法满足以下性质：
（1）交换律： A B B A 。
（2）结合律： (A B) C A (B C) 。 （3） A O O A A 。 （4） A (A) A A O 。 其中，A，B ，C 均为 m n 矩阵，O 为 m n 零矩阵。
4）方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记为 Ann 或 An ，即
a11 a12
An
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
其中， a11 ，a22 ， ，ann 的位置称为矩阵的主对角线，若不是方阵，则没有主对角线。
5）上三角矩阵
1 0
0
En
0
1
0
0 0
1
上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵都是方阵。
10）同型矩阵
具有相同行数和相同列数的矩阵，称为同型矩阵。
11）矩阵相等
如果 A (aij ) 与 B (bij ) 是同型矩阵，并且它们对应元素相等，即 aij bij (i 1， ，m；j 1， ，n)
am2
a1n
a2n
amn
2.1.2 矩阵的运算
1．矩阵的加法
设同型矩阵 A (aij )mn ， B (bij )mn ， A 与 B 的对应元素相加，称为矩 阵 A 与 B 的加法或和，记为 C (cij )mn ，即
a11 b11
C
A
B
3．矩阵的乘法 设 A (aij )ms ，B (bij )sn ， AB 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记 C (cij )mn AB ，其中，
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n)
只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB 没有意义。
矩阵乘法一般不满足交换律，即一般情况下， AB BA。根据矩阵乘法定义， 矩阵乘法满足下列性质（假定以下运算都能进行）。
2.1
工业机器人的数学基础
2.1.1 矩阵概述
1．矩阵的定义
由 m n 个数 aij (i 1 ，2 ， ，m ；j 1 ，2 ， ，n) 排成的 m 行 n 列数表，并用括号括起来，即
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2
n
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵。通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，这个元素可以是实数，也可以是虚数。 一个 m n 矩阵可以简记为 A Amn (aij )mn 。
1 0
0
A diag(1 ，2 ，
，n
)
பைடு நூலகம்
0
2
0
0 0
n
8）数量矩阵
主对角线元素相同的对角矩阵，称为数量矩阵，记为
0
0
A
0
0
0 0
9）单位矩阵 主对角线元素全为 1 的数量矩阵，称为单位矩阵，n 阶单位矩阵简记为 En 或 E ，即
免元素之间混淆，也可将行矩阵记为 A (a11 ，a12 ， ，a1n ) 。
2）列矩阵
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。列矩阵也可记
am1
为 A (a11 ，a12 ， ，a1n ) 。
3）零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O 。
工业机器人 技术基础
第2章 工业机器人运动基础
目录
CONTENT
2.1 工业机器人数学基础 2.2 坐标系及其关系描述 2.3 坐标变换 2.4 工业机器人运动学
学习 目标
1 了解矩阵的概念。 2 掌握矩阵的基本运算。 3 掌握坐标系的分类、关系描述和坐标变换
的方法。 4 了解工业机器人D-H表示法。 5 掌握工业机器人运动学基础计算。
主对角线以下均为零的矩阵称为上三角矩阵，即
a11 a12
A
0
a22
0 0
a1n
a2n
ann
6）下三角矩阵
主对角线以上均为零的矩阵称为下三角矩阵，即
a11 0
0
A
a21
a22
0
an1 an2
ann
7）对角矩阵
除主对角线上的元素以外，其余元素全为零的方阵，称为对角矩阵，记为
2．数与矩阵相乘
数 k 与矩阵 A (aij )mn 的乘积，称为数乘，记为 kA ，规定为
ka11
kAmn
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
矩阵数乘满足以下性质：
（1）分配律： k(A B) kA kB，(k l)A kA lA 。 （2）结合律： (kl)A k(lA) 。 （3）1A A，0A O 。
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等，记为 A B 。需要注意的是，不是同型的矩阵是不能进
行相等比较的，同型矩阵之间不能比较大小。
12）负矩阵
对于矩阵 A (aij )mn ，每个元素取相反数，得到的矩阵称为 A 的负矩阵， 记为 A ，即
a11
A
a21
am1
a12 a22
将矩阵 A (aij )mn 的行与列依次互换得到的矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，简称转置，记为
1 4
AT
(a ji )nm
。例如，
A
1
4
2 5
3
6
，则
AT
2
3
5
。
6
2．几种特殊形式的矩阵
1）行矩阵
只有一行的矩阵 A (a11 a12
a1n ) 称为行矩阵或行向量。为避
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn mn
矩阵加法满足以下性质：
（1）交换律： A B B A 。
（2）结合律： (A B) C A (B C) 。 （3） A O O A A 。 （4） A (A) A A O 。 其中，A，B ，C 均为 m n 矩阵，O 为 m n 零矩阵。
4）方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记为 Ann 或 An ，即
a11 a12
An
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
其中， a11 ，a22 ， ，ann 的位置称为矩阵的主对角线，若不是方阵，则没有主对角线。
5）上三角矩阵
1 0
0
En
0
1
0
0 0
1
上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵都是方阵。
10）同型矩阵
具有相同行数和相同列数的矩阵，称为同型矩阵。
11）矩阵相等
如果 A (aij ) 与 B (bij ) 是同型矩阵，并且它们对应元素相等，即 aij bij (i 1， ，m；j 1， ，n)
am2
a1n
a2n
amn
2.1.2 矩阵的运算
1．矩阵的加法
设同型矩阵 A (aij )mn ， B (bij )mn ， A 与 B 的对应元素相加，称为矩 阵 A 与 B 的加法或和，记为 C (cij )mn ，即
a11 b11
C
A
B
3．矩阵的乘法 设 A (aij )ms ，B (bij )sn ， AB 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记 C (cij )mn AB ，其中，
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n)