磁场的临界问题
磁场临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题湖北省黄梅县第五中学石成美“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。
一、解题方法画图→动态分析→找临界轨迹。
（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。
）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。
一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。
已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。
第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。
分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。
【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。
P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。
磁场中的临界极值问题
带电粒子在磁场中运动的极值问题1.解决此类问题的关键是:找准临界点.2.找临界点的方法是:以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径R 和速度v （或磁场B ）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值,常用结论如下:（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.（2）当速度v 一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（3）当速率v 变化时,圆周角大的,运动时间越长.1 如图7所示, 匀强磁场 的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF.一电子从CD 边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入,入射方向与CD 边界间夹角为θ.已知电子的质量为m,电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF 射 出,求电子的速率v 0至少多大?2、如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域内具有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径R 1=0.5m ，外半径R 2=1.0m ，磁场的磁感应强度B=1.0T ，若被束缚的带电粒子的荷质比为 mq 4×107C/kg ，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。
试计算： （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
4、如图所示一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B ，垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边的中点O 处，垂直磁场射入一速度方向与ad 边夹角30°，大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为l ，重力影响不计。
（1）试求粒子能从ab 边上射出磁场的v 0的大小范围。
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？5如图甲所示，建立Oxy 坐标系，两平行极板P 、Q 垂直于y 轴且关于x 轴对称，极板长度和板间距均为l ，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy 平面向里。
旋转圆法解决磁场临界问题
旋转圆法解决磁场临界问题引言磁场临界问题是许多物理学领域中常见的一个问题。
它涉及到判断一个系统中的磁场是否达到了一个临界值，从而影响系统的稳定性和性能。
解决磁场临界问题对于磁场控制和应用有着重要的意义。
在本篇文章中，我们将介绍一种名为”旋转圆法”的方法来解决磁场临界问题。
旋转圆法的原理旋转圆法是一种通过观察磁场随时间的演化来判断系统是否达到了临界值的方法。
该方法基于以下原理：1.假设一个系统中的磁场具有周期性变化的特性。
这意味着磁场随时间的变化可以用一个周期函数来描述。
2.根据系统的运动方程，可以得到磁场随时间的演化方程。
通过求解这个方程，我们可以得到磁场的解析表达式。
3.当系统的磁场达到临界值时，磁场的周期性变化将出现剧烈的变化。
这可以通过观察磁场的振幅、频率或相位等特征来判断。
基于以上原理，旋转圆法提供了一种便捷和直观的方法来判断磁场临界问题。
旋转圆法的步骤下面我们将介绍旋转圆法的具体步骤：步骤1：建立磁场模型首先，我们需要建立一个适当的磁场模型，以描述系统中的磁场特性。
这可以根据具体问题来确定，可以是一个简单的数学模型，也可以是一个复杂的物理模型。
建立磁场模型的目的是为了求解磁场随时间的演化方程，从而得到磁场的解析表达式。
步骤2：求解磁场演化方程根据磁场模型，我们可以得到磁场随时间的演化方程。
这是一个常微分方程，可以通过数值方法或解析方法求解。
解析方法可以提供磁场的解析表达式，而数值方法可以给出磁场的数值解。
步骤3：观察磁场的周期性变化利用得到的磁场解析表达式或数值解，我们可以观察磁场随时间的周期性变化。
可以通过绘制磁场随时间的图像来直观地观察磁场的变化。
在这个过程中，我们可以注意到磁场的振幅、频率或相位等特征的变化。
步骤4：判断磁场是否达到临界值根据观察到的磁场特征，我们可以判断磁场是否达到了临界值。
当磁场的振幅、频率或相位等特征发生剧烈变化时，可以认为磁场已经达到了临界值。
这意味着系统的性质和稳定性将发生明显的变化。
环形磁场临界问题
环形磁场临界问题
环形磁场临界问题是一个有趣而重要的物理问题。
磁场是由电流或磁体产生的，它具有方向和强度。
对于环形磁场，我们考虑一个沿着环的周长恒定的磁场。
本问题的关键是确定环形磁场何时达到临界点。
临界点是指磁场强度超过一定
阈值，导致环形材料的特定性质发生变化。
这是一种相变现象，可以观察到一些有趣的物理现象。
研究表明，环形磁场的临界问题与超导性密切相关。
超导性是某些材料在低温
下具有零电阻和完全抗磁性的特性。
当环形磁场的强度超过临界值时，超导材料将从超导态转变为正常态。
研究者们发现，环形磁场临界问题的解决涉及到多个因素，如环的材料和尺寸、温度、外加磁场等。
许多实验和理论研究表明，在不同条件下，临界点的数值会有所不同。
在实际应用中，环形磁场临界问题有广泛的应用。
例如，在磁共振成像中，我
们需要控制磁场的强度，以确保成像的准确性。
在磁力技术领域，环形磁场的临界问题也是设计和优化磁力装置的关键。
环形磁场临界问题是物理学中一个具有挑战性的问题，涉及到多个因素的复杂
相互作用。
通过深入研究和实验验证，我们可以更好地理解和应用环形磁场的临界性质，推动科学技术的发展和进步。
例析带电粒子在匀强磁场中的临界问题
ʏ重庆市第四十九中学 廖华英带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,当题目中出现 恰好 最大 最小 至少 等词语时,往往意味着存在临界现象㊂求解带电粒子在匀强磁场中的临界问题,首要任务是借助轨迹圆半径R 和速度v (或磁感应强度B )之间的约束关系进行动态分析,确定粒子运动轨迹和磁场边界(或磁感应强度B )的关系,找出临界状态㊂下面以两类常见临界问题为例,阐述解题策略,供同学们参考㊂类型一:求解磁场约束条件的临界问题这类问题主要解决的是欲使带电粒子完成规定要求的磁约束,需要满足的磁感应强度的最值或磁场区域的最小面积等问题㊂图1例1 如图1所示,坐标系O x y 所在空间区域内分布着垂直于纸面向内的匀强磁场,在原点O 处有一放射源,它可以在纸面内向四周均匀地发射质量为m ,带电荷量为+q ,速率均为v 0的粒子㊂厚度不计的竖直挡板MN 放置在原点O 左侧,挡板与x 轴的交点为O ',在纸面内挡板两端点M ㊁N 与原点O 恰好构成等边三角形㊂已知挡板两端点M ㊁N 间的距离为L ,不计粒子自身重力及粒子间的相互作用㊂(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,求磁感应强度的最小值㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,求磁感应强度的最大值㊂解析:因为әO MN 为边长为L 的正三角形,所以O ㊁O '两点间的距离L O O '=L c o s 30ʎ=3L2㊂设磁感应强度为B ,粒子的轨迹圆半径为r ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0B =m v 20r ,解得r =m v 0q B ㊂因为放射源发射的粒子的质量均为m ,带电荷量均为+q ,速率均为v 0,所以所有粒子的轨迹圆半径r 只与磁感应强度B 有关,且磁感应强度B越大,轨迹圆半径r 越小㊂图2(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,则需从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆在挡板所在位置右侧㊂画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图2所示,其中与挡板相切于O '点的轨迹圆的半径最大㊂根据几何知识可知,最大轨迹圆半径r m a x =12L O O '=3L4,最小磁感应强度B m i n =43m v 03qL ㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,则需挡板的两端点M ㊁N 均位于从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆内部㊂画出粒子在图3磁场中的运动轨迹的动态圆,如图3所示,其中经过M ㊁N 两点的轨迹圆的半径最小㊂因为最小轨迹圆的内接әO MN 为正三角形,所以最小轨迹圆半径r m i n =L 2c o s 30ʎ=3L 3,最大磁感应强度B m a x =3m v 0qL ㊂点评:本题考查带电粒子在匀强磁场中73解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月的受约束运动㊂因为所有粒子的入射速度大小相同,所以粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中的运动轨迹是一组放缩圆,在同一匀强磁场中的运动轨迹是一组半径相同的旋转圆㊂解答本题的关键是根据几何知识判断出粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中运动时的轨迹圆与约束条件的关系㊂图4例2 在平面直角坐标系O x y 中,曲线y =x220位于第一象限的部分如图4所示,第三象限内分布着方向竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度B =π10T ㊂在曲线上不同点以初速度v 0向x 轴负方向水平抛出质量为m ,带电荷量为+q 的小球,小球下落过程中都会通过坐标原点,之后进入第三象限恰好做匀速圆周运动,并在做匀速圆周运动的过程中都能打到y 轴的负半轴上㊂取重力加速度g =10m /s 2,q m=100C /k g ㊂求:(1)电场强度E 的大小㊂(2)小球的初速度v 0㊂(3)为了使所有的小球都能打到y 轴的负半轴,所加匀强磁场区域的最小面积㊂解析:(1)因为小球在第三象限内恰好做匀速圆周运动,所以在竖直方向上小球受力平衡,即m g =qE ,解得E =0.1N /C ㊂(2)设小球的抛出点坐标为(x ,y ),根据平抛运动规律得x =v 0t ,y =12g t 2,整理得y =g 2v 20x 2,又有y =x 220,则g 2v 20=120,解得v 0=10m /s ㊂(3)设小球进入第三象限时的速度为v ,与x 轴负半轴间的夹角为α,则v 0=v c o s α㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v B =m v2r,解得r =m vq B ㊂根据几何知识可知,小球打在y 轴负半轴上的点与原点间的距离H =2r c o s α=2m v 0qB ,可见所有小球均从y 轴负半轴上同一点进入第四象限,因此所加最小磁场区域应为一半径R =m v 0qB 的半圆,其面积S m i n =πR 22,解得S m i n =0.5m 2㊂点评:本题中小球的重力不可忽略,但其重力与静电力是一对平衡力,小球在第三象限内的运动相当于仅受洛伦兹力的匀速圆周运动㊂若小球的抛出点不同,则进入磁场时的速度方向与大小都将不同㊂解答本题的关键是通过分析得出所有的小球都是从y 轴负半轴上同一点离开磁场区域的,这样才能顺利找到所加最小磁场区域的边界㊂类型二:求解带电粒子初始运动条件的临界问题这类问题主要解决带电粒子以怎样的运动条件进入限定的有界磁场区域,使带电粒子在有限的空间内发生磁偏转,从规定的位置射出磁场区域㊂一般是求带电粒子的初速度的大小范围或运动时间的极值等㊂图5例3 如图5所示,长度为L 的水平两极板间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,两极板间距也为L ㊂初始状态下,两极板不带电,质量为m ,带电荷量为-q 的粒子从两极板左侧中点处以水平速度v 垂直于磁感线射入磁场㊂不计粒子自身重力㊂欲使粒子打到极板上,求其初速度v 的大小范围㊂解析:根据左手定则可知,粒子进入磁场时所受洛伦兹力的方向向下,粒子将向下偏转㊂粒子最终恰好打到下极板右端点和左端点是两个临界状态,分别作出这两个临界状态下粒子的运动轨迹,如图6甲㊁乙所示㊂当粒子最终恰好打到下极板的右端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 1,根据几何知识可知,在R t әO A B 中有R 21=R 1-L 22+L 2,解得R 1=5L4㊂根据洛伦兹力提供向心力得83 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月q v 1B =m v 21R 1,解得v 1=5q B L 4m ㊂当粒子最终恰好打到下极板的左端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 2,根据几何知识得R 2=L 4㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v 2B =m v22R 2,解得v 2=q B L 4m ㊂因此欲使粒子打到极板上,其初速度v 的大小范围应为qB L 4mɤv ɤ5q B L 4m㊂图6点评:外界磁场区域范围的限定,使得带电粒子的初始运动条件有了相应的限制㊂求解本题的关键是要确定临界状态,找出临界状态下粒子运动轨迹的圆心,求出对应轨迹圆的半径㊂图7例4 如图7所示,矩形区域a b c d 内分布着磁感应强度为B ,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,矩形区域的a d 边长为L ,a b 边足够长㊂现有一带电粒子从a d 边的中点O 以初速度v 0垂直于磁感线射入磁场区域,已知粒子的质量为m ,带电荷量为q ,初速度v 0与直线O d 间的夹角α=30ʎ,不计粒子自身重力㊂(1)若粒子能从a b 边射出磁场区域,求初速度v 0的大小范围㊂(2)求粒子在磁场中运动的最长时间,以及在这种情况下粒子从磁场中射出时所在位置的范围㊂解析:(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图8所示㊂能够从a b边射出的图8粒子的两个临界运动轨迹是圆弧O C D和圆弧O E F ,其中圆弧O C D 与d c 边相切于C 点,与a b 边相交于D 点,圆心为O 1,对应粒子的最大轨迹圆半径;圆弧O E F 与a b 边相切与E 点,与a d 边相交于F 点,圆心为O 2,对应粒子的最小轨迹圆半径㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O C D 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 1=L ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m a xB =m v 20m a x r 1,解得v 0m a x =q B L m ㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O E F 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 2=L 3,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m i n B =m v 20m i n r 2,解得v 0m i n =q B L 3m ㊂因此满足题意的初速度v 0的大小范围为q B L 3m <v 0ɤq B L m㊂(2)当粒子从a d 边射出时,粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角最大,运动时间最长㊂根据几何知识可知,当粒子从a d 边射出时,在磁场中的运动轨迹所对的圆心角均为300ʎ,粒子从a d 边射出时的位置在O ㊁F 两点之间㊂因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T =2πmqB ,所以粒子在磁场中的最长运动时间t m a x =56T =5πm3qB ,O ㊁F 两点之间的距离L O F =r 2=L3,即粒子射出磁场区域时的位置在a d 边上O 点上方0~L3范围内㊂点评:根据速率可变的带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切,可以确定粒子在磁场中的临界运动轨迹;根据速率与轨迹半径的关系,可以确定粒子初速度的大小范围;根据粒子在磁场中的运动时间与轨迹圆所对圆心角的关系,可以求解运动时间的极值㊂(责任编辑 张 巧)93解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月。
磁场的临界问题
临界情况临界条件
速度达到最大物体所受合外力为零
刚好不相撞两物体最终速度相等或者接触时速度相等
刚好不分离两物体仍然接触、弹力为零原来一起运动的两物体分离时不只弹力为零且速度和加速度相等
运动到某一极端位置
粒子刚好飞出（飞不出）两个极板间的匀强电场粒子运动轨迹与极板相切
粒子刚好飞出（飞不出）磁场粒子运动轨迹与磁场边界相切
物体刚好滑出（滑不出）小车物体滑到小车一端时与小车的速度刚好相等
刚好运动到某一点（“等效最高点”）到达该点时速度为零
绳端物体刚好通过最高点物体运动到最高点时重力（“等效重力”）等于向心力速度大小为
杆端物体刚好通过最高点物体运动到最高点时速度为零
某一量达到极大（小）值
双弹簧振子弹簧的弹性势能最大弹簧最长（短），两端物体速度为零
圆形磁场区的半径最小磁场区是以公共弦为直径的圆
使通电导线在倾斜导轨上静止的最小磁感应强度安培力平行于斜面
两个物体距离最近（远）速度相等
动与静的分界点
转盘上“物体刚好发生滑动”向心力为最大静摩擦力
刚好不上（下）滑保持物体静止在斜面上的最小水平推力拉动物体的最小力静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡
关于绳的临界问题
绳刚好被拉直绳上拉力为零
绳刚好被拉断绳上的张力等于绳能承受的最大拉力
运动的突变
天车下悬挂重物水平运动，天车突停重物从直线运动转为圆周运动，绳拉力增加
绳系小球摆动，绳碰到（离开）钉子圆周运动半径变化，拉力突变。
带电粒子在磁场中运动的临界问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题一、“矩形”有界磁场中的临界问题【例1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围。
(2)若粒子速度不受上述v 0大小的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。
解析: (1)①假设粒子以最小的速度恰好从左边偏转出来时的速度为v 1，圆心在O 1点，如图 (甲)，轨道半径为R 1，对应圆轨迹与ab 边相切于Q 点，由几何知识得：R 1＋R 1sin θ＝0.5L由牛顿第二定律得1211R v m B qv =； 得m qBLv =1②假设粒子以最大速度恰好从右边偏转出来，设此时的轨道半径为R 2，圆心在O 2点，如图 (乙)，对应圆轨迹与dc 边相切于P 点。
由几何知识得：R 2＝L由牛顿第二定律得2222R v m B qv =；得m qBLv =2粒子能从ab 边上射出磁场的v 0应满足mqBLv m qBL ≤≤3(2)如图 (丙)所示，粒子由O 点射入磁场，由P 点离开磁场，该圆弧对应运行时间最长。
粒子在磁场内运行轨迹对应圆心角为πα35=。
而απ2T t m = 由Rv mqvB 2=，得qB mv R =，qBmT π2= qBmt m 35π=【练习1】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界线，现有质量m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN ′射出，粒子最大的入射速度v 可能是( )A ．小于mqBdB ．小于()mqBd22+C ．小于mqBd2 D ．小于()mqBd22—解析:BD二、“角形磁场区”情景下的临界问题【例2】如图所示，在坐标系xOy 平面内，在x ＝0和x ＝L 范围内分布着匀强磁场和匀强电场，磁场的下边界AB 与y 轴成45°，其磁感应强度为B ，电场的上边界为x 轴，其电场强度为E .现有一束包含着各种速率的同种粒子由A 点垂直y 轴射入磁场，带电粒子的比荷为q /m .一部分粒子通过磁场偏转后由边界AB 射出进入电场区域．不计粒子重力，求： (1)能够由AB 边界射出的粒子的最大速率；(2)粒子在电场中运动一段时间后由y 轴射出电场，射出点与原点的最大距离． 解: (1)由于AB 与初速度成45°，所以粒子由AB 线射出磁场时速度方向与初速度成45°角．粒子在磁场中做匀速圆周运动，速率越大，圆周半径越大．速度最大的粒子刚好由B 点射出． 由牛顿第二定律Rv mB qv 2=由几何关系可知 r ＝L ，得 mqBLv =(2)粒子从B 点垂直电场射入后，在竖直方向做匀速运动，在水平方向做匀加速运动． 在电场中，由牛顿第二定律Eq ＝ma 此粒子在电场中运动时221at L =d ＝vt ，得mEqLBL d 2=【例3】如图所示，M 、N 为两块带异种电荷正对的金属板，其中M 板的表面为圆弧面，P 为M 板中点；N 板的表面为平面，Q 为N 板中点的一个小孔．PQ 的连线通过圆弧的圆心且与N 板垂直．PQ 间距为d ，两板间电压数值可由从0到某最大值之间变化，图中只画了三条代表性电场线．带电量为＋q ，质量为m 的粒子，从点P 由静止经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外，CD 为磁场边界线，它与N 板的夹角为α＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L .当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上． 不计粒子重力，求：(1)两板间电压的最大值Um ；(2)CD 板上可能被粒子打中的区域长度x ； (3)粒子在磁场中运动的最长时间tm .解: (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C 点，如图所示． C H ＝QC ＝L ，故半径R 1＝L又1211R v m B qv = 2121mv qU m =得mL qB U m 222=(2)设轨迹与CD 板相切于K 点，半径为R 2在△AKC 中：2245sin R L R -=︒，得()L R 122-=因KC 长等于()L R 122-=，所以，CD 板上可能被粒子打中的区域长度x 为HK ：()L R R x 2221-=-=(3)打在QE 段之间的粒子在磁场中运动时间最长，均为半周期：qBm T t m π==21三、“圆形磁场区”情景下的临界问题 【例4】（2012，揭阳调考）如图，相距为R 的两块平行金属板M 、N 正对放置，s 1、s 2分别为M 、N 板上的小孔，s 1、s 2、O 三点共线且水平，且s 2O ＝R 。
磁场区域问题-临界
2011级高二上学期物理提高班学案之五磁场区域范围问题----洛伦兹力的临界问题编制：潘涛一、知识储备带电粒子在磁场中做匀速圆周运动处理思路：确定圆心、确定半径、几何关系求半径、利用半径周期公式计算轨道半径公式：R= 周期：T=结论：圆形磁场区域内粒子运动特点：带电粒子沿圆形磁场的径向射入将沿径向射出如从同一边界射入的粒子,从同一边界射出时,速度与边界的夹角相等。
临界问题的处理方法：找到临界条件二、典型习题v从o点沿y轴正方向射入磁感强度为B的1、一质量为m、带电量为q的粒子以速度一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；（3）b点的坐标。
2、如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。
（重力忽略不计）3、如图所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度从A点沿等边三角形ABC的AB 方向射入磁感应强度为B。
方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC方向，求圆形磁场区域的最小面积。
（粒子重力忽略不计）4、如图所示，直角坐标系xoy 中，现有一质量为m ，电量为e 的电子x 轴上的点Q （0,4L )以与x 轴负方向成300角、大小为v 332的速度进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y 轴、x 轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O ，并沿y 轴的正方向运动，不计电子的重力。
求该匀强磁场的磁感应强度B 和磁场的最小面积S 。
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，所以常常出现临界和极值问题。
1．临界问题的分析思路临界问题分析的是临界状态，临界状态存在不同于其他状态的特殊条件，此条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破口。
2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：(1)根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；(2)借助几何知识确定极值所对应的状态，然后进行直观分析3．四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
【典例】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。
粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）【应用练习】1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。
则粒子在磁场中运动的最长时间为（）3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
磁场临界问题详解
放缩法 将半径放缩，运用“
”探索出
临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求 解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半 径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的 大小关系确定范围。
2．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感 应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为 m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各 个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的 相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区
临界问题
高二物理
1.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂 直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边 中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角 θ=300 、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、 电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不 计。求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。 ⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子 在磁场中运动的最长时间。
x R cos600 1 R 2
y R sin 60 0 3 R 2
x P( 1 R, 3 R) 22
4.电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术 实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆 形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁 场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将 通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏 幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ， 此时磁场的磁感应强度B应为多少？
3、注意题设中的隐含条件和临界条件
.a L s b
解:粒子带正电,故在磁场中沿逆 时针方向做匀速圆周运动,用R表 示轨道半径,有
带电粒子在磁场中运动的临界问题课件
研究结果可以应用于空间探测、天气 预报、通讯和导航等领域。
地球磁场可以影响太阳风等离子体的 运动和散布，空间物理研究有助于了 解太阳系中的环境和天体现象。
05
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的临 界问题的挑战和展望
研究方法和技术的改进和创新
引入新的数学模型和计算方法， 以更精确地描述带电粒子在磁场
促进学术交流和合作，以便更好地推动带电粒子在磁 场中运动的研究和应用发展。
THANKS
谢谢
临界条件的实验验证和方法改进
实验验证
通过实验可以验证临界条件的正确性。例如，可以使用粒子加速器和磁场装置来模拟带电粒子在磁场中的运动， 并视察其轨迹是否满足临界条件。
方法改进
根据实验结果和理论分析，可以对临界条件的推导和分析方法进行改进。例如，可以使用更精确的数学工具来推 导和分析临界条件；也可以通过改变磁场强度或边界形状等参数来调整临界条件。
03
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的临 界问题
临界条件的定义和分类
定义
带电粒子在磁场中运动的临界条件是指粒子在磁场中运动时，其轨迹恰好不与 边界相切或相离，而是恰好与边界相切或相交。
分类
根据不同的标准，临界条件可以分为不同的类型。例如，根据粒子的速度方向 与磁场方向的关系，可以分为横向和纵向临界条件；根据粒子的能量大小与磁 场强度的大小关系，可以分为高能临界和低能临界。
中的运动。
开发先进的模拟软件和计算程序 ，以便更好地预测和模拟带电粒
子的行为。
推动实验技术的发展，以便更好 地测量和验证带电粒子在磁场中
的运动。
理论和实验的进一步验证和完善
开展更多的理论研究和实验验证，以进 一步揭示带电粒子在磁场中运动的规律
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
磁场中的临界问题
（1）两种思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研 究问题的一般规律和一般解的形式，然后 再分析、 讨论临界条件下的特殊规律和特 殊解；
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界 条件，从而通过临界条件求出临界值
（2）两种方法
一是物理方法：①利用临界条件求极值； ②利用问题的边界条件求极值；③利用矢 量图求极值。
（2）三个角：速 度偏转角、圆心角、弦切 角，其 中偏转角等于圆心角，也等于弦切 角的2倍。
4．几点注意
（1）当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，
但射入方向变化时，粒子做 圆周运动的轨道半径
R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以
以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨 迹，从而探索出临界条件。 （2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时
在涉及多个物理过程问题中，依据发生的 实际物理场景，寻求不同过程中相衔接和联系 的物理量，采用递推分析或者依据发生的阶 段，采用顺承的方式针对不同阶段进行分析， 依据不同的运动规律进行解决．
1．解决带电粒子的临界问题的技巧方法
找临界点的方法：以题目中的“恰好”“最大”“最 高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间 的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系， 找出临界点
（5）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径 时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时（所有的弦长中 直径最长），轨迹对应的偏转角最大
2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
3．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系
（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨 迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的 交点。
二是数学 方法：①利用三角函数求极值； ②利用二次方程的判别式求极值；③利用 不等式的性质求极值；④利用图象法等。
磁场临界问题
磁场临界问题磁场临界问题是一个涉及到物理学和工程学的重要话题。
磁场临界是指当一个物体处于磁场中时，磁场的强度达到一定的临界值，物体会发生一些特殊的变化或现象。
这个问题在科学界引起了广泛的关注和研究。
首先，我们来了解一下磁场的基本概念。
磁场是由带电粒子运动产生的一种力场，它具有方向性和强度。
磁场的强度可以通过磁感应强度来表示，单位是特斯拉（T）。
当物体处于磁场中时，它会受到磁场力的作用，这种力可以使物体发生位移或者产生其他的变化。
当磁场的强度达到一定的临界值时，物体会发生一些特殊的变化。
例如，当一个导体处于磁场中时，当磁场强度超过一定的临界值时，导体内部会产生涡流。
这种涡流会产生额外的能量损耗，并且会使导体发热。
这就是我们常说的涡流损耗。
另外一个例子是超导体。
超导体是一种在低温下具有零电阻和完全磁通排斥的材料。
当超导体处于磁场中时，当磁场强度超过一定的临界值时，超导体会失去超导状态，电阻会出现并且会排斥磁通。
这种现象被称为超导态到正常态的相变。
除了导体和超导体，其他材料也可能在磁场临界下发生变化。
例如，铁磁材料在磁场中会发生磁化现象，当磁场强度超过一定的临界值时，铁磁材料会变得更加难以磁化，并且会产生更强的磁化强度。
磁场临界问题对于科学和工程领域具有重要意义。
首先，对于材料的设计和选择来说，了解材料在磁场中的行为是非常关键的。
例如，在电机和发电机等设备中，了解导体和绝缘材料在高强度磁场下的性能是非常重要的。
其次，在能源领域，了解超导体在高强度磁场下的行为可以帮助我们设计更高效的能源传输和储存系统。
磁场临界问题还有很多未解之谜和待解决的问题。
例如，在高温超导领域，科学家们一直在努力寻找更高临界温度的超导材料。
另外，在纳米技术领域，科学家们也在研究如何利用纳米材料来调控和控制磁场临界现象。
总之，磁场临界问题是一个非常复杂和有趣的话题，它涉及到物理学、工程学以及材料科学等多个领域。
通过对磁场临界问题的深入研究，我们可以更好地理解物质在高强度磁场下的行为，并且可以为科学和工程领域的发展做出贡献。
带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
带电粒子在有界磁场中的临界极值问题1、入射速度方向确定，大小不确定，从而使得轨迹多样，并且出射点不确定，引起的临界问题。
例1如图所示，在POQ 区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里,有一束负离子流沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点射入磁场，已知OA=S，∠POQ=30°，负离子的质量为m,带电量为—q，要使负离子不从OP边射出,负离子进入磁场时的速度最大不能超过多少?若为正离子呢？2、入射速度大小确定,方向不确定，从而引起的临界问题。
例2:如图，磁感应强度为BD 匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内的各个不同方向射出,它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（离子的重力不计)。
练2:如图,真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0。
60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是,已知α粒子的电荷与质量之比,现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。
3、磁场中运动的最短时间例3：一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d，在垂直B的平面内的A点，有一个电量为-q、质量为 m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（粒子的轨迹半径大于d）练3如图所示，一带负电荷的质点，质量为m,带电量为q,从M板附近由静止开始被电场加速,又从N板的小孔α水平射出,垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为B，入射速度方向与OP成45°角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U为多少？4、最小磁场区域一带电质点，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a 点射入图中第Ⅰ象限所示的区域（下图所示）．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径,重力忽略不计．练4如图所示,一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外,粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴,速度方向与x轴正方向的夹角为300。
旋转圆法解决磁场临界问题
旋转圆法解决磁场临界问题旋转圆法是解决磁场临界问题的一种常见方法，它主要基于电磁学原理和数学计算方法，通过构建旋转圆的方式来求解磁场临界值。
本文将从以下几个方面展开介绍旋转圆法的主要内容。
一、旋转圆法的基本原理旋转圆法是一种基于电磁学原理和数学计算方法的解决磁场临界问题的方法。
其基本思想是：在磁场中存在一个旋转圆，通过对旋转圆内外两侧的磁场进行分析，可以得到磁场在旋转圆上的切向分量和法向分量，并进而求解出磁场临界值。
二、旋转圆法的具体步骤1. 绘制旋转圆：首先需要根据实际情况绘制出一个合适大小和位置的旋转圆。
2. 确定计算区域：根据实际情况确定计算区域，并将其划分为内外两侧。
3. 计算切向分量：对于内外两侧的磁场，可以通过高斯定理或安培环路定理等方法计算出其切向分量。
4. 计算法向分量：根据旋转圆的法向方向，可以将内外两侧的磁场分别投影到法向方向上，从而得到其法向分量。
5. 求解临界值：根据切向分量和法向分量的计算结果，可以求解出磁场在旋转圆上的大小和方向，并进而求解出磁场临界值。
三、旋转圆法的优缺点旋转圆法作为一种常见的解决磁场临界问题的方法，具有以下优缺点：1. 优点：旋转圆法简单易行，适用范围广泛；计算结果相对准确，能够满足实际需求；计算过程可视化，易于理解和掌握。
2. 缺点：旋转圆法需要对计算区域进行划分，并对内外两侧的磁场进行精确测量或估算；计算过程中需要考虑多种因素，如边界条件、材料特性等；在某些情况下可能存在误差或不确定性。
四、总结与展望旋转圆法是一种基于电磁学原理和数学计算方法的解决磁场临界问题的方法。
通过构建旋转圆并对其内外两侧的磁场进行分析，可以求解出磁场临界值。
旋转圆法具有简单易行、适用范围广泛、计算结果相对准确等优点，但也存在一些缺点和不足。
未来，随着科学技术的不断发展和进步，旋转圆法或许会得到更多的改进和完善，在实际应用中发挥更加重要的作用。
磁场临界及多解问题
．
r
O’
r
3000 5 2m 5m t1 T 0 360 6 eB 3eB 600 1 2m m t2 T 3600 6 eB 3eB
4m t 2 t1 t 2 3eB
针对训练．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁 场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多 质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面 内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒 子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经 过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的? A
针对训练．如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁 场，质量为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速 度v0向着圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒 子才能在最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量 和动能均无损失） B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒 碰撞从原孔射出，其运动轨迹具 有对称性．当发生最少碰撞次数 n=2时 0 R
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
例3、如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂
直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,
穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹
角为300.求: (1)电子的质量 m (2)电子在磁场中的运动时间t B e vθ θv3qBd m v
30 d t T 360 3v
2、磁场对带电粒子的作用力及运动情况分析 带电粒 子静止 磁场不给 作用力 保持静止
速度与 磁场垂直
带电粒 速度与磁场 子在磁 成一角度 场中运动
洛沦兹力 洛沦 兹力 磁场不给 作用力
匀速圆 周运动
螺旋线
速度与 磁场平行
匀速 直线
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【解析】 ①带电粒子在 O 点所受洛伦兹力方向垂 直于 v0，即图中 OO1 方向，所有粒子的轨道圆心均应在 直线 OO1 上．
【答案】
qBl qBl (1)3m<v0< m
5πm (2)3qB
②因矩形区域 abcd 足够长，所以当轨道与 cd 相切时， 其半径应是所有从 ab 上射出的粒子中最大的，对应粒子 的速度也最大．设上述切点为 M，则该粒子轨道的圆心 必在过 M 且与 cd 垂直的直线上．
【答案】
(1)q3Bml<v0<qmBl
5πm (2)3qB
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
磁场的临界问题
练习1. 如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面
向里的匀强磁场，圆形磁场区域的半径r，磁感应强
度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射 入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原
入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不 计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：
（1）粒子的速度v大小 ； （2）电子在磁场中运动的时间t
r1
跟踪训练
如图所示，一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强 度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边 的中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度 方向射入一带正的电粒子．已知粒子质量为m，带 电荷量为q，ad边长为l，不计粒子重力．求： (1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的范围是 多少？ (2)粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
2.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如 图所示，磁场强度为B，板间距离也为L，板不带电，现 有质量为m，电量为q的带负电粒子（不计重力），从左 边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，则粒子入射速度v应满足什么条件？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v<qBL/4m v>5qBL/4m
B O
r
vθ
v
解： （1）由如图所示几何关系可知，
evB mv2 / R
tan
r
2R
v
eBr m tan
θ 2
（2）设电子做匀速圆周运动的周期为T，则
T 2 R 2 m
v eB
BO v
r θ
由如图所示的几何关系得圆心角
v
t T m 2 eB
R O1
(1)综合③④结论知，所有从 ab 上射出的粒子的入射 速度 v0 的范围应为q3Bml<v0<qmBl.
(2)带电粒子在磁场中运动的时间 t＝ωθ ＝vθ＝qθBRR＝ Rm
θqmB，由此可知，t 取决于粒子在磁场中转过的角度，从上 面的分析可以推知，当粒子轨道半径 R≤R2 时，粒子均
从 ad 边上射出，转过的角度均为53π，这些粒子在磁场中 运动的时间最长，tmax＝53πqmB .
m
v
BL
q
L
v
r1
O
练习、如图所示，M、N两板相距为d，板长为5d，两板不 带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，一大群电子沿平行 于板的方向从各处位置以速率v0射入板间，为了使电子都 不从板间穿出，磁感应强度B的大小范围如何？（设电子 质量为m，电量为e，且N板接地）
B < 2mv0q/d
B >q mv0/13d
(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射速度 最小为多大？
(2)如果电子源 S 发射电子的速度为第(1)问中的 2 倍， 则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？
【解析】 (1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中 的轨迹不同，每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S 为圆心、半径 r＝mBev的圆弧上，如图所示．欲使电子有 可能击中挡板，电子的轨道半径至少为L2，如图所示．
由 Bev＝mvr2和 r＝L2可解得 v＝B2emL 即电子源的发射速度至少为B2emL. (2)当发射速度 v′＝2v＝BmeL时，电子圆周运动的轨 道半径为 r′＝mBve′＝L.
此时，从电子发射源发出的电子能击中挡板的最左 位置 A 和最右位置 C，如图所示，虚线圆是一系列轨迹 圆的圆心．
③设轨道与 cd 相切的粒子，其轨道半径为 R1，由几 何关系可得
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.