72.最大张角：米勒问题

72．最大张角：米勒问题

命题：设直线1L 、2L 相交于点O ，M 、N 是直线2L 上两个定点，点P 是直线

1L 上的动点．当且仅当OM OP =2·ON 时，MPN ∠最大．

证明 设过点M 、N 的圆C 与直线1L 切于点P ．对于直线

1L 上的任意的一点Q ，总在圆C 外．由圆外角定理：

MPN ∠MQN ∠≥．

【数学史上100个著名的极值问题：米勒（Christian Roder 、德）定理．1431～？】 例1 （04、全国19、2011、武汉、四月15）在直角

坐标系中，给定两点)41(，M 、)21(，

-N ．在x 轴上求

一点P ，使MPN ∠最大．

解 MN 所在的直线方程：3+=x y ，与x 轴交于

)03(，-C ．24||=CM ，22||=CN

由米勒定理：||||2CM CP =·||CN ⇒

4||=CP ⇒)01(，P ．

因为||||2CM CP =·||CN ，所以过点M 、N 两点的圆与x 轴切于点)01(，P ．设点Q 是x 轴上任意一点，由圆外角定理：MPN ∠MQN ∠≥．

所以所求的点为)01(，P ．

例2（05、浙江）已知E 、F 是椭圆1242

2

=+y x 的左右焦点，直线L 是椭圆的

准线．点P ∈L ，设α＝EPF ∠，则α的最大

值＝________________；

解 22===c b a ，，222

=c a ．

由6||||||=

=FQ EQ PQ ，取)622(，P ， 再由夹角公式求得：α030=．

例3 足球场宽为80m，球门宽4m．运动员带球沿边线推进．应在距离底线多少米时，能使射门角度最大？

例4 炬形黑板高为a米，下底边沿距离地面b米．设眼睛距离地面c米．当对黑板的视角最大时，应坐在距离黑板正对面__________________米．