普通物理学 第七版 第二章

2、方向 I与P的方向相同
与P1、P2及变力F的方向无关
3、对于碰撞、冲击等问题，可由作用效果
估算F平 均 冲力1
F
t2 t1
t2
t1
Fdt
mv2
t2
mv1 t1
F
t1
t2 t
4、仅适用于惯性系，v应相对于同一惯性系
例 动量定理解释了“逆风行舟”
前 进 方
0
风吹来
P0
P
向
I P
，m2长 度200k g
的船的l 船4头m上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船移
动的距离。（假定水的阻力不计。）
解：
y
设 表cb示船
x1
x1
本身的质心
o x2 x2
cb d
cb
x
当人站在船的左端时
当人站在船的右端时
对船和人这一系
统，在水平方向上不 y
受外力，因而在水平 方向的质心不变。
x m1x1 m2 x2
(1) N 3103 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.1)
1.92105牛顿
(2) N 3103 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01)
1.92106牛顿
动量定理
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程， 动量变化为零。
重力作用时间为 2h / g
支持力的作用时间为
牛顿第二定律描述了力 的瞬时效果 力作用一段时间后会产生什么效果？ 一、冲量
作量用力恒F力＝的恒冲矢量,作 用时间t1 t2 力对质点的冲量 : I F (t2－t1 )
变力的冲量
在时间t1t2间隔内，力F是变化的 求t1t2时间间隔内的总冲量
将区间t1t2分成无穷多小段；
取其中一小段dt, F 冲力与时间的关系
外力之和
Fi fi
内力之和
二、 质心
Y
质点系的质
量中心，简称
质心。具有长
度的量纲，描
述与质点系有
C
关的某一空间 点的位置。
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于N个质点组成的质点系：
mr11,,rm2 ,2,, ,rim,i ,rNmN M mi
直角坐标系中
y mN
xc mi xi / M yc mi yi / M m1 rN
船
前 进 方 向
取一小块风dm为研究对象
初 末
P0 P
0ddmm
由牛顿第 三定律
I P
风对帆的冲量大小
I P
方向与 P 相反
P
F t
例1、质量m=1kg的质点从o点开始沿半径R=2m的圆
周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动
方这程 段为 时间s 内0质.5点 t所2 受m。合试外求力从的t冲1 量。2 s到 t2 2 s
30v1
v2
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mv2
mv 15
15
(mv) m
30
mv1
42 22 2 4 2 cos 75
3.98m 3.98kt(m / s)
设这些矿砂在 t时间内的平
mv2
均作用力为 F ，根据动量定
理 ，Ft (mv)
mv 15
30
F (mv ) 3.98kt 79.6N
t
t
mv1
的位矢是：
rc
mi ri
m1rm 1 i
m2 r2
mn rn
m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心的加速度为
ac
d vc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛mmm顿12na第aa12n二定mmm1律2ndd得ddddvtvv1tt2nFFF12n f1f2f2n12 f1f3f2n33
注意：
（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个 质点的动量不变，（系统内的动量可以相互转移） 而是指系统动量总和不变。
（2）守恒条件： F合外=0 或F内>>F外（如：碰撞，打击等）
（3）动量守恒定律中所有的质点的动量必须相对 于同一个惯性参考系
（4）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的 定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观 领域。
解：
s1
1 2
2
2
s2
1 2
22
2
1
s1 R
2
mv1
2
s2 R
o
mv2
v ds t
mv1
dt
v1 2 (m s1)
o
v2 2 (m s1)
I mv2 mv1 (mv )
mv2
I mv1 2 mv2 2
tg mv2 2
mv1
6
(mv )
mv2
mv1 2 5444
c
m1 m2
x m1x1 m2 x2
c
m1 m2
x1
x1
xc xc
o x2 x2
cb cb d
x
m1x1 m2 x2 m1x1 m2 x2
l-d
d
m1(x1 x1) m2 (x2 x2 )
d m1 l 0.8(m)
m1
y
m2
x1
x1
o x2 x2
cb d
cb
x
§2－2 动量定理 动量守恒定律
f1n
f2n
f nn1
对于内力 f12 f21 0,, fin fni 0,
ac
mi
ai
miai
mi
F
i
ac
Fi mi
Fi
M
质心运
Fi Mac
动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力
作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
体分布 d m dV
y
c
rc dm
r
O
x
z
y
注意：
c rc dm
质心的位矢与参考系的选取有关。
r
O
x
刚体的质心相对自身位置确定不变。
z
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n个质点组成，它的质心
例题 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，求此半 圆形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系。 任取一小段铁丝， 其长度为dl，质量 为dm，以λ表示铁丝 的线密度
d m d l, xc 0
π
yc
ydl
0
R sin
Rd
2 R 2
2 R 2
m
m
m πR
yc 2R / π
例 一质量 m1 的5人0kg站在一条质量为
例：设炮车以仰角发射炮弹，炮弹出膛速度相
对于炮车速度为 炮u 车和炮弹的质量为M和 m。
不计地面摩擦力，求炮车反冲速度 。v
解：炮弹相对于地的速度为：
V uv
vM
V
由水平方向动量守恒：
m u
v
V
u
m(u cos v) Mv 0
解得： v mu cos
M m
例 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且 以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质 量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度(大 小和方向)。
(m3v3 )2 (m1v1 )2 (m2v2 )2
由于 m1 m2 m, m3 2m ,所以v 3 的大小为
v3
1 2
v12 v22 21.2m/s
由于v1 和v 3 所成角由下式决定：
1800
因 tg v2 1, 450, 所以
v1
m3v3
m1v1
135
m2v2
§2-1 质点系的内力和外力 质心
质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
外力: 系统外部对质点系内部质点i 的作用力 质点系
f
F
约定：系统内任一质点受力之和写成
F 的方向与 (mv) 的方向相同
mv
sin 75
mv2
sin
29
动量定理
例4 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻 压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间
(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
解：以重锤为研究对象，分析受
力，作受力图：
N
h
Mg
解:物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力， 它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此 可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍 等于零，即
m1 v1 m2 v 2 m3 v 3 0
m1v1
m3v3
m2v2
所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块 的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方向相 反，如图所示。因为v1和v2相互垂直所以
例2、一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力 大小为F=400-4105t/3，子弹从枪口射出时 的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力 刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所 用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的 冲量I。（3）子弹的质量。
解：（1）
F 400 4105 t 0 3
t 3 400 0.003 s 4 105
这一小段内力的冲量
F
dI Fdt
0
t
t1 dt
t2
t1t2的总冲量为上式的积分
I
dI
t2
Fdt
t1
其大小等于
冲力与时间的关系
F
图上面积S
F
S
0
t
t1 dt
t2
二、动量定理
F dt d p
I
t2
Fdt＝
t2
dP
dt
P2
dP
t1 I
t2
t1
Fdt
t1
dt P2
P1
P1
P
P2
P1
质点动量定理： 物体在运动过程中所受合外力的冲量，
等于该物体动量的增量。
注意： I
t2 t1
Fdt
P2
P1
P
1、某方向上的冲量只改变该方向上的动量 而不改变与它垂直方向上的动量
I x
t2 t1
Fx dt
m v2 x
mv1x
I y mv2 y mv1y I z mv2z mv1z
根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即
N Mg( 2h / g ) 0
得到解法一相同的结果
N Mg M 2gh /
三、动量守恒定律
t2
t1
n Fi 合外dt
i 1
n mi vi
i 1
n mi vi 0
i 1
若系统所受的合外力＝0 系统总动量守恒
n
Fi 合外 0
i 1
n
mivi0
n
mivi
恒矢量
i 1
i 1
分量式
n
n
n
Fix 0, 系统x方向动量守恒 mivix0 mivix
i 1
i1
i1
n
n
n
Fiy 0, 系统y方向动量守恒 miviy0 miviy
i 1
i1
i1
n
n
n
Fiz 0, 系统z方向动量守恒 miviz0 miviz
i 1
i1
i1
即 v和1 及v3 都v成2 且1三35者都在同一平面内。
动量定理
解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均 冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。
在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
(N Mg) Mv Mv0
初状态动量为M 2gh ,末状态动量为0。
得到
(N Mg) 0 (M 2gh)
解得
N Mg M 2gh /
代入M、h、的值，求得：
c ri
rc
zc mi zi / M
rc miri / M
r1
r2 O
z
mi
m2 x
对于质量连续分布的物体
rc
rdm dm
rdm m
直角坐标系下
xc x d m / M yc y d m / M
zc z d m / M 线分布 d m d l
面分布 d m d S
带B与水平成 15 ° 角，其速度 v2 2m / s 。如传送 带的运送量恒定，设为 k 20Kg / s 。 求 落到传送
带B上的矿砂在落上时所受的力。
30v1
v2
15
解：设在极短的时间 t内落在传送带上矿砂的质量为m ，
即 m kt ，这些矿砂动量的增量 (mv ) mv2 mv1
（2） I
Fdt
0.003 0
400
4
105 3
t
dt
4 105 t 2 0.003
400t
0.6 N s
23
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2 g v 300
例3：矿砂从传送带A落到另一传送带B，如图，其速
度 v1 4m / s，方向与竖直方向成 30° 角，而传送