随机向量及其分布

§3.1 随机向量及其分布
第4页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
随机向量( X,Y )的联合分布函数 F(x, y) = P ( X≤x,Y≤y ), (x,y)∈R2。 定义3.1.2 设（X1, X2, … , Xn ）是（Ω，ℱ，P）上的一个 n 维随机向量，则 n 元函数
FXi ( xi ) F (,, , xi , ,, ) , i 1,2,, n. 如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数： FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
定义3.1.3 如果二维随机向量 ( X,Y ) 只取有限个或可列个 值，则称 ( X,Y ) 为二维离散型随机向量。
显然，( X,Y )为二维离散型随机向量，当且仅当X,Y 均为离
散型随机变量。
定义3.1.4 j = 1,2,…, 则 设( X,Y )的所有可能取值为( xi ,yj ), i = 1, 2, …;
P(Y y j ) P({X xi , Y y j }) pij p j , j 1, 2,.
i i
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 14 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
( X,Y ) 的联合概率分布的性质：⑴非负性 pij≥0 ； ⑵正则性
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p
i j
ij
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 13 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第9页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。 一般地，由( X1, X2, … , Xn ) 的联合分布函数 F(x1, x2, … , xn) 可导出 n 个随机变量 X1, X2, … , Xn 各自的分布函数：
xi

p i1

p i2

pij

p
j

ij
P(Y=yj )
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p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
( X,Y ) 的联合概率分布常用表3-1-1 的形式表示。并称之为 联合概率分布表。
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 12 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 16 页
例3.1.1
从一个装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球的袋中
随机地取 3 个球，设 X 和 Y 分别表示取出的红球数和白球数。 ⑴ 求 ( X,Y ) 的联合概率分布； ⑵ 求 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘概率分布； ⑶ 求“ 3 个球中恰有 1 个黑球”的概率。
i j
Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … …
P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X

p21

p22

…
…
p2j

…
…
2j
xi

p i1

p i2

pij

p
j

ij
P(Y=yj )
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
对离散型随机向量而言，联合概率分布比联合分布函数更加 直观，更容易确定 ( X,Y ) 取值于区域 D 上的概率。
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x y x y
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第6页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
随机向量( X,Y )的联合分布函数 F(x, y) = P ( X≤x,Y≤y ), (x,y)∈R2。 如果( X,Y )的联合分布函数 F(x, y)已知，则由 F(x, y)可导出
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X

p21

p22

…
…
p2j

…
…
2j
xi

p i1

p i2

pij

p
j

ij
P(Y=yj )
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
1。
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§3.1 随机向量及其分布
第1页
§3.1 随机向量及其分布目录
§3.1.1 随机向量及其分布函数
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
§3.1.3 二维连续型随机向量及其联合概率密度
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§3.1 随机向量及其分布
第2页
§3.1 随机向量及其分布
随机变量 X 和随机变量 Y 各自的分布函数 FX(x) 和 FY(y)：
如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数：
FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
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§3.1 随机向量及其分布
第7页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。
如果( X,Y )的联合分布函数 F(x, y)已知，则由 F(x, y)可导出
F(x1, x2, … , xn) = P(X1≤x1, X2≤x2, … , Xn≤xn) 称为随机向量（X1, X2, … , Xn）的联合分布函数。
上面的 (x1, x2, … , xn) 为 Rn 中任一点，X1≤x1, … , Xn≤xn 表示 n 个事件 { X1≤x1 } , … , { Xn≤xn } 的积事件。
p(xi,yj ) = P(X=xi ,Y=yj ), i = 1, 2, …; j = 1,2,…。 称为随机向量( X,Y ) 的联合概率分布。p(xi,yj ) 可简记为 pij 。
( X,Y ) 的联合概率分布常用表3-1-1 的形式表示。并称之为 联合概率分布表。
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§3.1 随机向量及其分布
第 15 页
i j
P ( X ,Y ) D
特别地， F ( x, y) P( X ≤ x, Y ≤ y)
( xi , y j )D
xi ≤ x , y j ≤ y
p( x , y ) p( x , y )
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§3.1 随机向量及其分布
第 11 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X

p21

p22

…
…
p2j

…
…
2j
随机变量 X 和随机变量 Y 各自的分布函数 FX(x) 和 FY(y)：
如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数：
FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
FXi ( xi ) F (,, , xi , ,, ) , i 1,2,, n .
FX i ( xi ) 称为随机向量 ( X1, X2, … , Xn ) 关于 Xi 的边缘分布函数。
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§3.1 随机向量及其分布
第 10 页
p p
j j
1j
x2
X

p21

p22

…
…
p2j

…
…
2j
xi

p i1

p i2

pij

p
j

ij
P(Y=yj )
j
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
P( X xi ) P({X xi , Y y j }) pij pi , i 1, 2,; (X,Y)关于X 的边缘概率分布
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§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。 一般地，由( X1, X2, … , Xn ) 的联合分布函数 F(x1, x2, … , xn) 可导出 n 个随机变量 X1, X2, … , Xn 各自的分布函数：
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X

p21

p22

…
…
p2j

…
…
2j
xi

p i1

p i2

pij

p
j

ij
P(Y=yj )
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
对离散型随机向量而言，联合概率分布比联合分布函数更加 直观，更容易确定 ( X,Y ) 取值于区域 D 上的概率。
§3.1.1 随机向量及其分布函数
定义3.1.1 设 X1, X2, … , Xn 是定义在概率空间（Ω，ℱ，P） 上的 n 个随机变量，则称（X1, X2, … , Xn）是（Ω，ℱ，P）上的 一个 n 维随机向量。 定义3.1.2 设（X1, X2, … , Xn ）是（Ω，ℱ，P）上的一个 n 维随机向量，则 n 元函数
F(x1, x2, … , xn) = P(X1≤x1, X2≤x2, … , Xn≤xn) 称为随机向量（X1, X2, … , Xn）的联合分布函数。
易见，随机变量可以看成一维随机向量；而对于二维随机向 量，为简单起见，往往记为( X,Y )。
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
随机向量( X,Y )的联合分布函数 F(x, y) = P ( X≤x,Y≤y ), (x,y)∈R2。 且有： ⑴ 0≤F(x, y)≤1； ⑵ F(x, y)关于 x 和 y 均单调不减、右连续； ⑶ F (, y ) lim F ( x, y ) 0, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0, x y F (, ) lim F ( x, y ) 0, F (, ) lim F ( x, y ) 1. ⑷ 对任意的 x1≤x2,y1≤y2, 有 P(x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)。
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§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
定义3.1.1 设 X1, X2, … , Xn 是定义在概率空间（Ω，ℱ，P） 上的 n 个随机变量，则称（X1, X2, … , Xn）是（Ω，ℱ，P）上的 一个 n 维随机向量。 定义3.1.2 设（X1, X2, … , Xn ）是（Ω，ℱ，P）上的一个 n 维随机向量，则 n 元函数
F(x1, x2, … , xn) = P(X1≤x1, X2≤x2, … , Xn≤xn) 称为随机向量（X1, X2, … , Xn）的联合分布函数。
易见，随机变量可以看成一维随机向量；而对于二维随机向 量，为简单起见，往往记为( X,Y )。
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